Неустановившаяся фильтрация упругой жидкости

В упругой пористой среде

 

Неустановившиеся процессы возникают при пуске и остановке скважин, либо при изменении темпов отбора флюидов. Такие процессы характеризуются перераспределением давления, а также изменением скоростей фильтрационных потоков и дебитов во времени и зависят от упругих свойств пластов и насыщающих их жидкостей. Т.е. основной формой пластовой энергии, обеспечивающей приток жидкости к скважине, – энергия упругой деформации жидкости и материала пласта. При снижении пластового давления объём сжатой жидкости увеличивается, а объём порового пространства сокращается за счет расширения материала пласта, что определяет вытеснение жидкости из пласта в скважину. Хотя коэффициенты сжимаемости жидкости и пласта малы (, ,

), но зато велики объемы пластов и за счет этого при упругом режиме, могут быть значительные притоки жидкости.

Характерной особенностью упругого режима является то, что процесс перераспределения пластового давления очень медленный. Это связано с тем, что при фильтрации вязкой жидкости в пласте возникают большие силы сопротивления.

Подсчет упругого запаса жидкости в пласте.

Выделим V₀ – элемент объема пласта. Тогда, V_0ж – объем жидкости насыщающей этот элемент пласта при начальном давлении р₀ равен:

V_0ж = m V₀ (7.1)

В соответствии с законами Гука, изменение упругого запаса жидкости DV_з в объеме V₀ при изменении давления на D р определяется как:

(7.2)

где - коэффициент упругоемкости пласта, численно равный изменению упругого запаса жидкости в единице объема при изменении пластового давления на единицу.

Продифференцировав (7.2) по времени и учитывая, что , получим:

(7.3)

Если формулы (7.1) - (7.3) относить к разрабатываемому в условиях замкнуто-упругого режима нефтяному месторождению, то под V₀ следует понимать объем пласта, в котором к данному моменту времени произошло изменение давления на величину D р, при этом, , где - начальное пластовое давление; - средневзвешенное по объему возмущенной части пласта V₀ давление. Вычислить средневзвешенное пластовое давление можно, если известна геометрия возмущенной части пласта и конкретное распределение давления в ней, по формуле:

. (7.4)

Уравнение пьезопроводности получено при совместном решении системы уравнений теории изотермической фильтрации и законов сжимаемости жидкости и пористой среды:

1) уравнение неразрывности,

(7.5)

 

2) закон Дарси,

; (7.6)

3) уравнение состояния сжимаемой жидкости:

; (7.7)

4) зависимость пористости от давления:

. (7.8)

Подставив (7.6 – 7.8) в (7.5) и пренебрегая членами второго порядка малости, получим уравнение пьезопроводности:

- в дек. системе координат (7.9)

или

- в случае осевой симметрии (7.10)

где: - коэффициент пьезопроводности пласта, характеризующий темп перераспределения пластового давления в условиях упругого режима.

Некоторые точные решения уравнения пьезопроводности.

1. Плоско-параллельный случай, приток упругой жидкости в полубесконечном пласте к прямолинейной галерее скважин.

Для рассматриваемого одномерного движения жидкости уравнение пьезопроводности запишется в виде:

(7.11)

Уравнение (7.11) решается при следующих начальных и граничных условиях:

(7.12)

Условия (7.12) можно интерпретировать таким образом: в начальный момент времени t = 0 пластовое давление было всюду в пласте одинаковым и равным р_к. При пуске скважины в момент времени t > 0 на галерее при х = 0 давление мгновенно упало до величины р_г, при этом на бесконечности x = ¥ давление остается постоянным и равным начальному пластовому р_к.

Решение задачи (7.11) - (7.12) получено методом автомодельной переменной и имеет следующий вид, рис.24:

(7.13)

где: - автомодельная переменная, а

- интеграл вероятности или интеграл Гаусса, который табулирован и имеется в математических справочниках.

Дебит галереи Q при x = 0 выражается в виде:

, (7.14)

т.е. с течением времени Q убывает ~

2. Плоско-радиальный случай реализуется в задаче о притоке упругой жидкости к скважине (точечному стоку или источнику) на плоскости в неограниченном пласте с постоянной мощностью и абсолютной проницаемостью.

В этом случае уравнение пьезопроводности имеет вид:

, (7.15)

и решается при следующих граничных и начальных условиях:

(7.16)

Условия (7.16) интерпретируются иначе чем (7.12): в начальный момент времени t = 0 пластовое давление было всюду в пласте одинаковым и равным р_к. В момент времени t > 0 в точке r = 0 начинает работать добывающая скважина с постоянным объемным дебитом Q₀, на бесконечности r = ¥ давление остается неизменным и равным р_к.

Уравнение (7.15) при граничных условиях (7.16) также решается методом автомодельной переменной:

. (7.17)

Перераспределение давления в пласте выражается, рис.25:

, (7.18)

где: - интегрально показательная функция, которая табулирована и имеется в математических справочниках.

(7.19)

Перераспределение дебита Q(r,t) в пласте:

(7.20)

Определение коллекторских свойств пласта по данным исследования скважин при упругом режиме. Кривые восстановления (падения) давления.

1. Метод касательной. После пуска или остановки скважины при помощи скважинных манометров снимают зависимость забойного давления от времени и строят график такой зависимости: при остановке скважины - кривую восстановления давления, при пуске скважины кривую падения давления. Обработка таких кривых основана на полученном решении (7.18), которое преобразуют, разложив интегрально-показательную функцию в ряд и ограничиваясь первыми двумя членами разложения:

(7.21)

При условии, что значение давления замеряют на забое и r = r_c, формула (7.18) записывается в виде:

(7.22)

где: , (7.23)

(7.24)

Обычно кривую восстановле-ния (падения) давления строят в координатах D р_с от lg(t). По прямому участку полученной кривой находится отрезок А, отсекаемый его продолжением на оси D р_с и тангенс угла наклона j, равный i, рис.26. Затем по (7.23) и (7.24) определяют коэффициент гидропроводности пласта и коэффициент пьезопроводности пласта c, по которым в свою очередь можно оценить фильтра-ционноемкостные характеристики горных пород.

Если скважина была пущена в эксплуатацию с постоянным дебитом Q и через промежуток времени T остановлена, но продолжает работать с тем же дебитом Q, то, используя метод суперпозиции, можно получить обобщенную формулу для обработки КВД методом касательной:

(7.25)

В таком случае, удобнее кривую восстановления (падения) давления строить и анализировать в координатах D р_с от ln(t×T/(t+T)).

2. Метод последовательной смены стационарных состояний (ПССС). Метод основан на предположении, что давление в пласте меняется во времени значительно медленнее, чем по координатам. Поэтому производную по времени можно в первом приближении отбросить, в результате чего для давления получается уравнение Лапласа, описывающее стационарный процесс.

В каждый момент времени вся область движения жидкости, в действительности охватывающая весь пласт, условно разделяется на две области - возмущенную и невозмущенную. При этом предполагается, что в возмущенной области, начинающейся от стенки скважины, давление распределяется так, как будто бы движениё жидкости в ней установившееся: внешняя граница этой области служит в данный момент контуром питания. В невозмущенной области пласта давление всюду постоянно и равно начальному.

В соответствии с методом ПССС принимаем, что через время t после пуска скважины вокруг нее образуется возмущенная область радиусом R(t), где давление будет распределяться по стационарному закону:

(7.26)

Закон движения подвижной границы раздела возмущенной и невозмущенной областей определяется при помощи уравнения.материального баланса (7.3) и граничных условий:

(7.27)

Формула для анализа КВД принимает вид:

(7.28)

А кривую восстановления (падения) давления удобней строить в координатах D р_с от ln(t).

3. Метод Хорнера. В методе Хорнера реализован метод суперпозиции (наложения фильтрационных потоков) в теории упругого режима, что позволяет решать задачи, связанные с пуском, остановкой или с изменением темпа добычи скважины. Например, если скважина была пущена в эксплуатацию с постоянным дебитом Q и через промежуток времени T остановлена, но продолжает работать с тем же дебитом Q, то для обработки кривых восстановления давления скважин можно получить следующую формулу:

, (7.29)

где T – время работы скважины с расходом Q.

Тогда кривую восстановления давления строят в координатах D р_с от , рис. 27. При этом, по углу наклона j определяется гидропроводность скважины:

, (7.30)

а, экстраполируя прямолинейный участок кривой восстановления давления до пересечения с прямой, параллельной оси ординат и проведенной из точки , находят начальное пластовое давление .

Если дебит исследуемой скважины с момента пуска ее в эксплуатацию до момента остановки не оставался постоянным, то промежуток времени T можно подсчитать по приближённой формуле:

, (7.31)

где V – накопленная добыча жидкости из скважины с момента пуска до момента остановки, Q – текущий установившийся дебит скважины непосредственно перед ее остановкой.

 

Задачи к разделу 7

 

Задача 7.1

Нефтяная залежь площадью S = 500 га и мощностью h = 30 м имеет пористость m = 20% и водонасыщенность s = 30%. Сколько нефти можно отобрать за счёт объёмного упругого расширения жидкости при падении давления от 29,4 МПа до 19,6 МПа, если коэффициент сжимаемости нефти β_н = 1,53∙10^-9 м²/Н, воды β_в = 3,06∙10^-10 м²/Н. Пласт считать недеформируемым.

 

Задача 7.2

Определить коэффициент нефтеотдачи при упругом режиме - отношение объема добытой нефти за счёт упругого расширения нефти, воды и горной породы к первоначальному объему нефти в пласте, если площадь нефтеносности S_н =1000га, законтурная вода занимает площадь S_в = 10000га, мощность пласта h = 10 м, пористость пласта m = 25%, водонасыщенность в области нефтеносности s = 20%. Коэффициенты сжимаемости нефти, воды и породы соответственно равны β_н = 6,12∙10^-10 м²/Н, β_в = 4,28∙10^-10 м²/Н, β_с =2,04∙10^-10 м²/Н. Пластовое давление изменяется от 180 до 80 кгс/см².

 

Задача 7.3

Определить упругий запас нефти в замкнутой области нефтеносности площадью S = 4500 га, мощностью h = 15 м, пористостью m = 18% и насыщенностью связанной водой s = 20%, если средневзвешенное пластовое давление изменилось на 50 кгс/см². Коэффициенты сжимаемости нефти, воды и породы соответственно равны β_н = 2,04∙10^-9 м²/Н, воды β_в = 4,59∙10^-10 м²/Н, β_с = 1,02∙10^-10 м²/Н.

 

Задача 7.4

Определить время, за которое дебит галереи скважин, расположенной в полосообразном полубесконечном пласте, падает вдвое. Пласт шириной B = 700 м, мощностью h = 45 м, проницаемостью k = 0,8 Д, давление на галерее p_г = 9,8 МПа, на бесконечности (пластовое) p_к = 12,79 МПа. Коэффициенты сжимаемости жидкости и пласта равны соответственно β_ж = 1,53∙10^-9 м²/Н, β_с = 0,612∙10^-10 м²/Н, пористость m = 20%, вязкость жидкости μ = 1,5 мПа∙с.

 

Задача 7.5

В полосообразном полубесконечном пласте шириной B = 300 м, мощностью h = 15 м, пористостью m = 20%, сжимаемостью породы β_с =0,612∙10^-10 1/Па и проницаемостью k = 0,8 Д имеет место неустановившаяся фильтрация упругой жидкости с коэффициентом динамической вязкости μ = 1,5 мПа∙с и коэффициентом сжимаемости β_ж = 1,53∙10^-9 1/Па. Начальное пластовое давление и давление на галерее постоянны и, соответственно, равны p_к = 12,74 МПа и p_г =9,8МПа. Определить дебиты по точной формуле и по формуле, полученной по методу ПССС в момент времени t = 2 сут. Оценить погрешность при определении дебита по приближенной формуле.

Указание. При использовании метода ПССС сначала вывести закон движения границы возмущенной области .

 

Задача 7.6

Определить изменение забойного давления на галерее в полосообразном полубесконечном пласте, если в момент t = 0 её начали эксплуатировать с постоянным дебитом Q = 500 м³/сут. Ширина галереи В = 400 м, мощность h = 18 м, коэффициент проницаемости k = 0,5 Д, коэффициенты сжимаемости жидкости β_ж = 2,04∙10^-9 м²/Н, породы β_с =0,51∙10^-10 м²/Н, коэффициент пористости m = 16%, коэффициент вязкости μ = 3 мПа∙с, начальное пластовое давление p_к = 14,7 МПа.

Задача 7.7

Определить коэффициенты гидропроводности и пьезопроводности пласта методом касательной по данным об изменении забойного давления совершенной скважины радиусом 10 см, дебит которой 100 м³/сут в условиях упругого режима. Начальное пластовое давление 150кгс/см². Изменение депрессии приведено ниже в таблице.

t	15 мин	1час	12час	1сут	5сут
D р, кгс/см^2	3,46	3,84	4,57	4,76	5,23

 

Задача 7.8

Определить коэффициенты гидропроводности и пьезопроводности пласта по данным в задаче 7.6, используя метод последовательной смены стационарных состояний.

Задача 7.9

Из совершенной скважины радиусом r_c = 0,1м, расположенной в бесконечном пласте, начали отбор нефти, поддерживая постоянное забойное давление p_с = 8,82 МПа. Начальное пластовое давление p_к = 11,76 МПа. Определить дебит скважины через 1час, 1 сутки и 1 месяц после начала эксплуатации, если коэффициент проницаемости k = 250мД, мощность пласта h = 12 м, коэффициент пьезопроводности пласта c =1,5×м²/с, вязкость жидкости μ = 1,3 мПа∙с, радиусом r_c = 0,1м.

Указание: При решении задачи использовать метод последовательной смены стационарных состояний, при этом вывести закон движения границы возмущенной области .

 

Задача 7.10

По следующим промысловым данным гидродинамических исследований двух независимых скважин определить максимальное количество неизвестных параметров.

Данные, используемые при интерпретации:
	Скважина № 1	Скважина № 2
Дебит перед остановкой, м^3/сут
Время режима до остановки T, сут
Обводненность, доли единиц
Мощность пласта, м	3,4
Объемный коэффициент	1,12	1,1
Вязкость нефти, сПз	1,35	1,35
Сжимаемость нефти, 1/атм	8,2 10^-5	1,99 10^-4
Сжимаемость породы, 1/атм	3,76 10^-6	4,1 10^-5
Пористость, доли единиц	0,21	0,2
Радиус скважины истинный, м	0,108	0,108
	Скважина № 1		Скважина № 2
	t, час	Рзаб, атм	t, час	Рзаб, атм		t, час	Рзаб, атм	t, час	Рзаб, атм
		103,42		174,69			113,57	24,98	142,34
	0,5	106,54		178,14		1,65	123,82	26,65	142,46
		111,01		179,82		3,32	131,04	28,32	142,51
		124,51	26,5	183,51		4,98	134,67	29,98	142,65
	2,5	127,27	31,5	185,39		6,65	136,59	31,65	142,83
		130,99		187,93		8,32	137,82	33,32	142,96
	3,5	134,16		188,17		9,98	138,74	34,98	143,02
		140,00	55,5	188,64		11,65	139,38	36,65	143,15
	4,5	147,25	70,75	189,54		13,32	140,05	38,32	143,25
		148,38	79,5	190,21		14,98	140,51	39,98	143,37
		155,03	94,5	190,61		16,65	140,76	41,65	143,45
		164,26	99,08	190,78		18,32	141,2	43,32	143,52
		168,48				19,98	141,54	44,98	143,61
		171,75				21,65	141,84	46,65	143,7
		174,69				23,32	142,12	48,00	143,76

 

Указание: При решении задачи использовать методы Хорнера и касательной.