Поняття множини. Операції над множинами. Числові множини.

ЛЕКЦІЯ № 8

з навчальної дисципліни

Вища математика

Тема. Елементарні функції.

Заняття. Функції. Границя функції.

Навчальний час – 2 години.

Напрямку підготовки – 6.050903 – телекомунікації

Для студентів спеціальності – інформаційні мережі зв’язку

Навчальна та виховна мета:

 

1. Студенти повинні знати теоретичні питання з теми «Функції: означення, способи задання, властивості»: основні поняття з даної теми, види елементарних функцій, властивості.

2. Студенти повинні вміти будувати графіки елементарних функцій, описувати їх властивості.

3.Розвиток мислення студентів, залучення до вивчення математики, як необхідної складової фахівця технічного університету

 

Обговорено та схвалено на засіданні кафедри “___” _________ 20___ року Протокол №____

 

 

Київ – 20 __

План.

1. Поняття множини. Операції над множинами. Числові множини.

2. Сталі та змінні величини. Поняття функції. Способи задання функції.

3. Основні елементарні функції, їх властивості і графіки. Елементарні функції та їх класифікація.

4. Найпростіші властивості функцій.

5. Функції, задані неявно. Обернені функції. Функції, задані параметрично

6. Границя послідовності та функції.

7. Нескінченно великі та нескінченно малі величини, їх властивості. Порівняння нескінченно малих величин.

8. Основні теореми про границі.

9. Перша та друга визначні границі, наслідки.

10. Неперервність функції, точки розриву та їх класифікація.

 

 

ЛІТЕРАТУРА:

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів. – К.: ЦУЛ, 2002 – 401 с.

2.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Москва: Наука, – 1988 – 432 с.

3.Валєєв К.Г., Джалладова І.А.Вища математика. НМП для самостійного вивчення дисципліни. – К.: КНЕУ, 2002 – 606с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч 1-2. Москва.: Высшая школа, 1986.

5. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика. Практикум. - К.:ЦУЛ, 2003 – 536 с.

6. Овчинніков П.Ф., Яремчик Ф.П., Михайленко В.М. Вища математика. – К.: Техніка, ч.І 596 с., ч.ІІ 792 с., 2000.

 

 

Конспект лекції

 

Числові множини. Множина дійсних чисел.

Означення. Множини, елементами яких є числа називаються числовими.

Основні числові множини:

- множина натуральних чисел

- множина цілих чисел

- множина раціональних чисел

- множина дійсних чисел , де - цифри деякої системи числення

Між цими множинами існує зв’язок: :

Сталі та змінні величини.

Основні елементарні функції, їх властивості і графіки.

Найпростіші властивості функцій

Парність і непарність.

Означення. Функція називається парною, якщо для будь – якого х з області визначення вона задовольняє умову

Означення. Функція називається непарною, якщо для будь – якого х з області визначення вона задовольняє умову

Зауваження. Графік парної функції симетричний відносно осі , непарної – відносно початку координат.

Періодичність.

Означення. Функція називається періодичною, якщо існує таке число Т, що виконується рівність . Число Т називається періодом функції.

Якщо Т – період функції, то періодами є також числа , Найменший з додатних періодів, якщо він існує, називається основним.

Приклад.

1) - основний

2) - основний

3) - (с – стала) Т – довільне ненульове число, не існує основного періоду.

Обмеженість.

Означення. Функція , визначена на множині називається обмеженою на цій множині, якщо існує таке число , що для всіх виконується нерівність .

Значення обмеженої функції не виходять за межі відрізка , тому її графік лежить між прямими та .

Приклад. обмежені на R.

Означення. Функція , визначена на множині називається обмеженою зверху (знизу), якщо існує таке число , що виконується нерівність

Приклад. Функція обмежена знизу прямою (віссю Ох) і необмежена зверху. Функція необмежена.

Зауваження. Обмеженість функції характеризує множину значень цієї функції.

Монотонність.

Означення. Якщо для двох довільних різних значень з області визначення функції з нерівності випливає, що

1) , то функція називається зростаючою.

2) , то функція називається неспадною.

3) , то функція називається спадною.

4) , то функція називається незростаючою.

Функції зростаючі, незростаючі, спадні і неспадні називаються монотонними, а функції зростаючі і спадні називаються строго монотонними.

Якщо функція не є монотонною в усій області визначення, то вона може бути монотонною на деякій кількості проміжків, які не перетинаються, а в об’єднані співпадають з областю визначення. Такі проміжки називаються проміжками монотонності функції.

Приклад. Функція не монотонна на R, але має два проміжки монотонності: на вона спадає, на зростає.

Функції мають нескінченну кількість проміжків монотонності.

 

 

Функції, задані неявно.

Означення. Якщо функція задана рівнянням , розв’язаним відносно змінної , то кажуть, що функція задана явно (є явною).

Означення. Якщо функція задана рівнянням , не розв’язаним відносно змінної , то кажуть, що функція задана неявно (є неявною).

Приклад. - явна функція;

- неявна функція

Обернені функції.

Означення. Функція, що ставить кожному елементу з множини значень заданої функції у відповідність єдиний елемент з області визначення функції , для якого , називається оберненою для функції f.

Позначення: . За означенням

Функція є оберненою до функції , якщо

1) областю визначення функції є множина значень функції :

.

2) множина значень функції є областю визначення функції :

.

3) кожному значенню відповідає єдине значення .

Кожна з функцій і є оберненою до іншої.

Приклад.

1. на не має оберненої; на

2. має обернену

3. має обернену

не має оберненої.

Еквівалентні НМ функції.

Означення. Функції і нескінченно малі при , називаються еквівалентними НМ, якщо

Еквівалентність НМ функцій позначається так:

Властивості еквівалентних НМ функцій:

Теорема 1. Н Малі і еквівалентні при тоді і тільки тоді, коли різниця є НМалою вищого порядку, ніж кожна з функцій і .

Теорема 2. Сума скінченної кількості НМ функцій різних порядків еквівалентна доданку нижчого порядку.

Теорема 3. Нехай , при . Якщо існує , то існує і і ці границі рівні між собою.

Зауваження. Остання теорема дає змогу при знаходженні границі відношення двох заданих НМ функцій одну чи обидві функції заміняти еквівалентними Н Малими. У цьому допоможе таблиця еквівалентних НМВ:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

-1 , ,

 

Друга визначна границя.

;

Приклад

 

ЛЕКЦІЯ № 8

з навчальної дисципліни

Вища математика

Тема. Елементарні функції.

Заняття. Функції. Границя функції.

Навчальний час – 2 години.

Напрямку підготовки – 6.050903 – телекомунікації

Для студентів спеціальності – інформаційні мережі зв’язку

Навчальна та виховна мета:

 

1. Студенти повинні знати теоретичні питання з теми «Функції: означення, способи задання, властивості»: основні поняття з даної теми, види елементарних функцій, властивості.

2. Студенти повинні вміти будувати графіки елементарних функцій, описувати їх властивості.

3.Розвиток мислення студентів, залучення до вивчення математики, як необхідної складової фахівця технічного університету

 

Обговорено та схвалено на засіданні кафедри “___” _________ 20___ року Протокол №____

 

 

Київ – 20 __

План.

1. Поняття множини. Операції над множинами. Числові множини.

2. Сталі та змінні величини. Поняття функції. Способи задання функції.

3. Основні елементарні функції, їх властивості і графіки. Елементарні функції та їх класифікація.

4. Найпростіші властивості функцій.

5. Функції, задані неявно. Обернені функції. Функції, задані параметрично

6. Границя послідовності та функції.

7. Нескінченно великі та нескінченно малі величини, їх властивості. Порівняння нескінченно малих величин.

8. Основні теореми про границі.

9. Перша та друга визначні границі, наслідки.

10. Неперервність функції, точки розриву та їх класифікація.

 

 

ЛІТЕРАТУРА:

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів. – К.: ЦУЛ, 2002 – 401 с.

2.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Москва: Наука, – 1988 – 432 с.

3.Валєєв К.Г., Джалладова І.А.Вища математика. НМП для самостійного вивчення дисципліни. – К.: КНЕУ, 2002 – 606с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч 1-2. Москва.: Высшая школа, 1986.

5. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика. Практикум. - К.:ЦУЛ, 2003 – 536 с.

6. Овчинніков П.Ф., Яремчик Ф.П., Михайленко В.М. Вища математика. – К.: Техніка, ч.І 596 с., ч.ІІ 792 с., 2000.

 

 

Конспект лекції

 

Поняття множини. Операції над множинами. Числові множини.

Під множиною розуміють сукупність деяких об’єктів, що об’єднуються за певною ознакою чи властивістю. Синоніми: сімейство, клас, набір.

Об’єкти, з яких складається множина, називаються її елементами.

Множини позначають великими буквами латинського алфавіту: , а їх елементи – малими: . Запис означає, що елемент належить множині , запис означає, що елемент не належить множині .

Множину можна задати двома способами:

1) переліком її елементів. Позначення:

Приклад.

2) указанням властивості, яку мають всі елементи множини і тільки вони. Така властивість називається характеристичною. Позначення:

Приклад.

Означення. Множина, яка містить скінченну кількість елементів, називається скінченною. Множина, яка містить нескінченну кількість елементів, називається нескінченною.

Означення. Множина, що не містить жодного елемента, називається порожньою. Позначається .

Приклад. Множина дійсних коренів рівняння . Множина людей на Сонці.

Означення. Множину називають підмножиною множини , якщо кожен елемент множини є елементом множини . Позначення: або ( міститься в або містить )

Означення Дві множини називаються рівними, якщо вони містять одні й ті самі елементи. Позначення А=В. За означенням: й

Означення. Перерізом двох множин і називається множина , яка складається з елементів, кожен з яких належить множинам і водночас.

Означення. Об’єднанням двох множин і називається множина , яка складається з елементів, кожен з яких належить хоча б одній з множин або .

Означення. Різницею двох множин і називається множина , яка складається з елементів, кожен з яких належить множині і не належить множині .