Сравнение бесконечно малых функций, эквивалентные функции

О.1. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А (сколь большим бы мы его не взяли) существует номер N такой, что при n›N выполняется неравенство | х_п| › А, т.е. какое бы большое число А мы не взяли, найдется такой номер, начиная с которого все члены последовательности окажутся больше А.

Определение 6. Последовательность {α_п} называется бесконечно малой, если для любого положительного числа ε (сколь малым бы мы его не взяли) существует номер N такой, что при n›N выполняется неравенство | α_п| ‹ε.

1. Последовательность {п} является бесконечно большой.

2. Последовательность { } является бесконечно малой.

Теорема 1. Если {х_п} - бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от нуля, х_п ≠0, то последовательность {α_п}= - бесконечно малая, и, обратно, если {α_п} бесконечно малая последовательность, α_п≠0, то последовательность {х_п}= бесконечно большая.

Сформулируем основные свойства бесконечно малых последовательностей в виде теорем.

Свойства бесконечно малых функций:

1. Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая;

2. Произведение конечного числа бесконечно малых функций, а также бесконечно малой функции на ограниченную функция, есть величина бесконечно малая;

3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нолю, если величина бесконечно малая.

10. Неопределенные выражения. Приемы раскрытия неопределенных выражений.

 

Неопределенные выражения (неопределенности). Иногда при формальной подстановке числа а вместо аргумента х под знак функции у = f (x) и дальнейшем проведении алгебраических действий над получившимся выражением или при переходе к пределу получаются выражения типа:
(*)

Эти выражения бессмысленны с алгебраической точки зрения. Иногда, исходя из понятий математического анализа, таким выражениям удается придать определенный удобный смысл.

Чаще всего, в случае непрерывности функции у = f (x) в некоторой окрестности точки х = а, исключая саму эту точку, под f (a) понимают .

Более того, неопределенные выражения часто возникают при вычислении пределов функций, построении графиков и т.д. В этих случаях имеется ряд приемов «раскрытия неопределенностей».

Иногда неопределенными называют выражения, предел которых не может быть найден путем непосредственного применения теорем о пределе.

 

 

11. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции и их классификация.

 

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке, если она:

1) определена в точке и в некоторой ее окрестности;

2) имеет в этой точке односторонние пределы, равные значению функции в точке, т.е.

Можно дать другое определение непрерывности функции в точке, основанное на понятии приращения функции.

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке, если она определена в этой точке и в некоторой ее окрестности и бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

На основании этого определения можно доказать непрерывность основных элементарных функций в произвольной точке своей области определения.

Функция y = f(x) называется непрерывной в интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Точка а называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) в этой точке не является непрерывной. Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а. Тогда а назыввается:

1) точкой устранимого разрыва функции f(x), если существует, но либо f(x) не определена в точке а, либо f(a)¹A (если положить f(a)=A, то функция f(x) станет непрерывной в точке а, т.е. разрыв будет устранен);

2) точкой разрыва первого рода функции f(x), если существуют f(a+ 0 ) и f(a -0 ), но f(a+ 0 ) ¹ f(a- 0 );

3) точкой разрыва второго рода функции f(x), если в точке а не существует по крайней мере один из односторонних пределов функции f(x).

Теорема. Функция y = f(x), непрерывная на замкнутом интервале [ a,b ], обладает следующими свойствами:

1) она достигает на [ a,b ] своего наименьшего и наибольшего значений;

2) она ограничена на этом замкнутом интервале;

3) для любого числа А, удовлетворяющего неравенству, существует такая точка cÎ[a,b], для которой f =A;

 

 

12. Основные свойства функции, непрерывной в точке. Непрерывность функции на отрезке.

 

Свойства непрерывных функций.

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х₀ функций – есть функция, непрерывная в точке х₀.

2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х₀.

3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Это свойство может быть записано следующим образом:

Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х₀, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывная функция в этой точке.

Непрерывность функции на интервале и на отрезке:

Определение. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).

При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

1) Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a, b] выполняется условие –M £ f(x) £ M.

Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке х₀, ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок [a, b] на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке х₀, то образуется некоторая окрестность точки х₀.

2) Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Т.е. существуют такие значения х₁ и х₂, что f(x₁) = m, f(x₂) = M, причем m £ f(x) £ M

Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например – f(x) = sinx).

Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.

--Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.

-- Если функция f(x) непрерывна в точке х = х₀, то существует некоторая окрестность точки х₀, в которой функция сохраняет знак.

--Если функция f(x)- непрерывная на отрезке [a, b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x) = 0.

-- Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.

 

13. Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая формы комплексного числа.

 

С алгебраической формой комплексного числа мы уже познакомились, – это и есть алгебраическая форма комплексного числа. Почему речь зашла о форме? Дело в том, что существуют еще тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел, о которых пойдет речь в следующем параграфе.

Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.

Сложение комплексных чисел

Пример 1

Сложить два комплексных числа ,

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Просто, не правда ли? Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях.

Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.

Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: – от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вычитание комплексных чисел