Суть методу штучного базису.

Більшість задач не можна звести до вигляду, коли система обмежень задачі лінійного програмування містила одиничну матрицю порядку m. В такому разі застосовується метод штучного базису. Якщо задача подана в канонічному вигляді і система обмежень не містить одиничної матриці, то отримати одиничну матрицю можна, якщо до кожного рівняння в системі обмежень задачі додати одну змінну . Такі змінні називають штучними. Згідно з симплексним методом до базису вводять змінні, які покращують значення цільової функції. Для задачі на максимум вони мають його збільшувати. Отже, для того, щоб у результаті процедур симплексних перетворень виключалися з базису штучні змінні, потрібно ввести їх у цільову функцію з від’ємними коефіцієнтами. Тобто цільова функція набуде вигляду: У результаті додавання змінних у рівняння системи область допустимих розв’язків задачі розширилась. Задачу з такою системою обмежень називають розширеною, або М-задачею. Якщо в оптимальному плані розширеної задачі штучні змінні , то план є оптимальним планом початкової задачі. Припускається, що величина М є досить великим числом. Тоді якого б малого значення не набувала відповідна коефіцієнту штучна змінна , значення цільової функції буде від’ємним для задачі на максимум та додатним для задачі на мінімум і водночас значним за модулем. Якщо в оптимальному плані розширеної задачі існує хоча б одне значення , то це означає, що початкова задача не має розв’язку, тобто система обмежень несумісна.

 

44. Як впливає на оптимальний план введення додаткового обмеження?

Оцінку рентабельності продукції, що виготовляється на підприємстві, можна здійснювати за допомогою двоїстих оцінок та обмежень двоїстої задачі, які характеризують кожний вид продукції.

Ліва частина кожного обмеження двоїстої задачі є вартістю відповідних ресурсів, які використовують для виробництва одиниці j -ї продукції. Якщо ця величина перевищує ціну одиниці продукції (с_j), то виготовляти таку продукцію невигідно, вона нерентабельна і в оптимальному плані прямої задачі відповідна їй змінна х_j = 0. Якщо ж загальна оцінка всіх ресурсів дорівнює ціні одиниці продукції, то виготовляти таку продукцію доцільно, вона рентабельна і в оптимальному плані прямої задачі відповідна змінна х_j > 0.

Підставимо значення оптимального плану двоїстої задачі Y * у її систему обмежень. Якщо вартість ресурсів на виробництво одиниці продукції (ліва частина обмеження) перевищує ціну цієї продукції (права частина обмеження), то виробництво такої продукції для підприємства недоцільне. Якщо ж співвідношення виконується як рівняння, то продукція рентабельна.