Тема 3. Аксиоматический метод

 

Понятие умозаключения, его типы. Виды дедуктивного умозаключения. Теория дедукции и теория доказательства у Аристотеля («Аналитика первая и вторая»).

Состояние математики в догреческий период ее развития (рецептурный, несистематизированный, авторитарный, прикладной характер математического знания).

Метод содержательной аксиоматизации геометрии в «Началах» Евклида (определения, аксиомы, постулаты, теоремы). Применение этого метода в других науках (гидростатика, классическая механика, термодинамика) и в философии («Этика» Спинозы). Критика «Начал» Евклида математиками Нового времени. Создание неевклидовых геометрий Н. И. Лобачевским и Б. Риманом. Система аксиом евклидовой геометрии Д. Гильберта и Г. Вейля.

Метод полуформальной аксиоматизации Д. Гильберта. Требования к системе аксиом: непротиворечивость, независимость, полнота, их логический смысл. Полуформальные системы аксиом арифметики натуральных чисел Дж. Пеано и евклидовой геометрии Д. Гильберта.

Формальная аксиоматическая система, её элементы (символы для терминов и логических операций над ними, правила образования и преобразования формул, аксиомы). Метод формальной аксиоматизации геометрии Д. Гильберта, его ограниченность. Логический смысл требований к системе аксиом при формальном аксиоматическом методе.

 

Тема 4. Проблема существования в математике

 

Внутренний и внешний вопросы существования (по Р. Карнапу): существование объекта в рамках определённой математической системы и существование самой системы математических объектов.

Внутренний вопрос существования: классическое и конструктивное направления в современной математике.

Внешний вопрос как вопрос о философских основаниях математического познания: в каком смысле можно говорить о существовании математических конструктов (числа, фигуры, функции и т.п.)? Проблема существования математического объекта как частный случай философской проблемы идеального. Варианты подходов к его решению: платонизм, кантианство, номинализм, эмпиризм, материализм.

Решение проблемы на основе анализа становления понятия натурального числа в процессе развития счёта. Первый этап – установление взаимно однозначного соответствия множеств, второй – введение эталонного множества, третий – образование названий для сосчитываемых множеств и, наконец, введение графических знаков (символов) и наиболее рациональных систем таких знаков (арабская позиционная система записи чисел).

Тема 5. Философский анализ

Проблемы обоснования математики

 

Обоснование математики как философская и логико-методологическая проблема (выбор исходных абстракций, методов построения, логических средств). Проблема критериев строгости доказательства.

Философское содержание основных направлений в обосновании математики.

Теоретико-множественное обоснование математики на основе теории Г. Кантора и его кризис в связи с открытием парадоксов теории множеств. Аксиоматическая теория множеств Цермело – Френкеля.

Программа логицизма в обосновании математики (Б. Рассел, А. Уайтхед), её положительные стороны и ограниченности.

Формалистическое направление в обосновании математики (Д. Гильберт, Дж. Нейман), его вклад в формирование современного уровня строгости математического доказательства. Теоремы К. Гёделя о неполноте и непротиворечивости формальных систем и невозможность реализации программ логицизма и формализма.

Интуиционистская программа обоснования (Л. Брауэр, Г. Вейль, А. Гейтинг). Интуиция как источник математических понятий. Реформа логического аппарата. Конструктивное направление в математике (построение математики на основе понятия алгоритма).