Тема 6. Проблема истинности математического знания

 

Что такое математика: теория или рабочий аппарат, теория или язык для других наук? Формальная доказуемость и содержательная истинность в математике. Точность в математике и естественных науках. Истинность и точность, истинность и правильность.

Понятие истинности в аксиоматизированных теориях. Проблема истинности в формализованных системах. Метод интерпретаций. Истинность и непротиворечивость.

Критерии истинности в математике: очевидность, интуитивная ясность, простота, непротиворечивость. Специфика роли практики как критерия истины в математике.

Тема 7. Математика и научное познание

 

Основные тенденции в развитии современной науки: дифференциация, интеграция, математизация, компьютеризация. Р. Декарт и Г.В. Лейбниц об универсальности математического метода.

Объективная основа, сущность и условия математизации науки. Возможность и необходимость этого процесса. Метод экстраполяции, метод математической гипотезы. Метод математического моделирования, его основные этапы.

Границы применимости математических методов в частных науках.

Тематика рефератов и методические указания

По их выполнению

 

Целью реферата является углубленное овладение отдельными разделами учебного курса на основе самостоятельного изучения студентами научной литературы (статей, монографий, материалов научных конференций). Наряду с подготовкой к семинарским занятиям и промежуточному контролю знаний реферат является формой самостоятельной работы студента в течение учебного семестра.

Требования к реферату

1.По содержанию:

· должен иметь план, раскрывающий содержание темы;

· изложение должно соответствовать плану, быть логически последовательным, аргументированным, стилистически ясным, грамматически правильным;

· содержать элементы самостоятельного анализа, собственных размышлений и выводов автора;

· используемые цитаты, таблицы и пр. должны иметь ссылки на источник. Цитирование имеет несколько целей: точное выражение мыслей автора источника, пояснение собственных идей, демонстрация мнения авторитетного ученого;

· во введении к реферату следует раскрыть актуальность темы, предмет исследования, цель работы;

· завершается работа заключением, в котором подводятся итоги анализа, формулируются выводы и предложения;

· после заключения приводится список использованной литературы в алфавитном порядке с указание места издания, названия издательства и года издания.

2. По оформлению (см. образец оформления ниже):

· объем реферата 20 – 25 стр. рукописного текста или 15 стр. печатного текста;

· для выполнения реферата нужно использовать 2 – 3 монографии, несколько статей из научных журналов и сборников статей, энциклопедии и словари по отраслям знаний;

· начинается реферат титульным листом, затем следует оглавление с постраничным указанием введения, глав, параграфов, заключения;

· реферат выполняется на одной стороне листа стандартного формата; текст печатается через 1,5 интервала шрифтом Times New Roman 14 либо пишется ясным, разборчивым почерком с использованием шаблона;

· каждый используемый источник должен содержать:

- фамилию, и. о. автора;

- заглавие книги, статьи, источника, место и год издания (например: Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. – М., 1986.).

Реферат должен быть сдан лаборанту кафедры философии за 15 дней до окончания аудиторных занятий (до даты зачета).

Этапы работы:

· выбор темы (из предложенного списка);

· подбор литературы к теме;

· изучение литературы, сопровождаемое составлением конспекта, куда включается материал, относящийся к теме реферата (основные положения, факты, цитаты, собственные выводы и обобщения);

· составление плана реферата, определяющего логическую последовательность изложения материала;

· написание текста реферата.

Темы рефератов

1. Специфика математики как науки.

2. Роль практики в возникновении и развитии математики.

3. Соотношение объекта и предмета математики.

4. Источники и движущие силы развития математики.

5. Предмет и методы прикладной математики.

6. Роль математики в развитии естественных наук.

7. Природа математической абстракции.

8. Понятие бесконечности в философии и математике.

9. Аксиоматический метод.

10. Проблема истины в математике.

11. Проблема интуиции в философии и математике.

12. Принцип соответствия в математике.

13. Взаимодействие философии и математики в их историческом
развитии.

14. Борьба материализма и идеализма в философии математики.

15. Философские проблемы обоснования математики.

16. Интуиционизм – направление в обосновании математики.

17. Философские и математические взгляды пифагорейцев.

18. Д. Беркли – критик дифференциального исчисления.

Учебно-методическое обеспечение курса

Список литературы

Основной:

1. Александров А.Д. Математика и диалектика/А.Д. Александров// Математика в школе. 1972. №1, 2.

2. Барабашев А.Г. Диалектика развития математического знания/ А.Г. Барабашев. - М.: Изд-во МГУ, 1983.

3. Беляев Е.А., Перминов В.Я., Киселева Н.А. Некоторые особенности развития математического знания/ Е.А. Беляев, В.Я. Перминов, Н.А. Киселева. - М.: Изд-во МГУ, 1975.

4. Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты / под ред. Барабашева А.Г. – М.: Янус, 1977.

5. Бурбаки Н. Очерки по истории математики/ Н. Бурбаки. - М., 1963.

6. Жуков Н.И. Философские основания математики/ Н.И. Жуков. – Минск, 1990.

7. Кедровский О.И. Взаимосвязь философии и математики в процессе исторического развития/ О.И. Кедровский. - Киев, 1974.

8. Киселёва Н.А. Математика и действительность/ Н.А. Киселева. - М.: Изд-во МГУ, 1967.

9. Колмогоров А.Н. Математика/ А.Н. Колмогоров // БСЭ. Т. 26.

10. Молодший В.Н. Очерки по философским вопросам математики/ В.Н. Молодший. - М., 1969.

11. Рузавин Г.И. О природе математического знания/ Г.И. Рузавин. - М., 1968.

12. Рузавин Г.И. Философские проблемы основания математики/ Г.И. Рузавин. - М., 1983.

13. Рузавин Г.И. Математизация научного знания./ Г.И.Рузавин. – М., 1984.

14. Рыбников К.А. История математики / К.А. Рыбников. – М., 1994.

15. Энгельс Ф. Анти-Дюринг // Маркс К., Энгельс Ф. Соч. Т.20. (Отдел 1, гл. 3.).

Дополнительный:

1. Арнольд В.И. Что такое математика/ В.И. Арнольд. – М., 2004.

2. Асмус В. Ф. Проблема интуиции в философии и математике/ В.Ф. Асмус.- М., 1965.

3. Беркли Дж. Сочинения. (Работы: «О бесконечных», «Аналитик …»)/ Дж. Беркли. - М.: Мысль, 1978.

4. Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики/ Е.А. Беляев, В.Я. Перминов. – М.: Изд-во МГУ, 1981.

5. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко А.Г. Прикладная математика: предмет, логика, особенности подходов/ И.И. Блехман, А.Д. Мышкис, А.Г. Пановко. – М., 2005.

6. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в
современном мире/ Б.В. Гнеденко. - М.: Просвещение, 1985.

7. Грязнов Б. С. Предмет математики и специфика её объектов / Б.С. Грязнов // Философские проблемы естествознания. - М.: Изд-во МГУ, 1967.

8. Жмудь Л. Я. Наука, философия и религия в раннем пифагорействе/ Л.Я. Жмудь. - СПб., 1994.

9. Жуланов А.Л. Проблема определения предмета математики / А.Л. Жуланов // Диалектический материализм и вопросы естествознания. – Пермь, 1977.

10. Жуланов А.Л. Концепция априорности знания и ее критика / А.Л. Жуланов // Новые идеи в философии. Вып. 16: Актуальные проблемы научной философии: межвузов.сб. науч. трудов. Перм. ун-т. – Пермь, 2007.

11. Клайн М. Математика. Утрата определенности/ М. Клайн. – М., 1984.

12. Клайн М. Математика. Поиск истины/ М. Клайн. - М., 1988.

13. Нысанбаев А. Принцип соответствия и математика / А. Нысанбаев // Вопросы философии. 1965. №7.

14. Панов М.И. Методологические проблемы интуиционистской математики/ М.И. Панов. – М.: Наука, 1984.

15. Перминов В.Я. Философия и основания математики/ В.Я. Перминов. – М., 2002.

16. Реньи А. Диалоги о математике/ А. Реньи. – М., 1969.

17. Сагатовский В. Н. «Точность» как гносеологическое понятие / В.Н. Сагатовский // Философские науки. 1974. №1.

18. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики/ Д.Я. Стройк. – М., 1997.

19. Суханов К.Н. Критический очерк гносеологии интуиционизма/ К.Н. Суханов. – Челябинск, 1973.

20. Успенский В.А. Теорема Гёделя о неполноте/ В.А. Успенский. – М., 1982.

21. Шляхин Г.Г. Математика и объективная реальность/ Г.Г. Шляхин. –
Ростов: Изд-во Ростовского ун-та, 1977.

22. Яновская С. А. Методологические проблемы науки/ С.А. Яновская. -
М.: Наука, 1962.

6.2. Методические рекомендации студентам

Усвоение содержания предлагаемого спецкурса представляет для студентов значительные трудности, обусловленные его синтетическим характером: требуется достаточно свободное владение как категориальным аппаратом философии, так и содержанием математики, ее основных концепций в их исторической связи. Курс истории математики, согласно учебному плану факультета, читается, к сожалению, только в следующем семестре и не охватывает новейшей истории математики, а именно она представляет наибольший интерес с точки зрения философии. С учетом этого обстоятельства студентам следует актуализировать философские познания, полученные двумя годами ранее, и математические познания за предыдущие годы обучения на факультете. Подспорьем в этой работе могут служить энциклопедические словари по данным отраслям знаний. Но главным источником являются приведенные в списке литературы монографии и статьи. Ссылки на эти источники будут делаться в лекционном курсе. Поэтому при систематической самостоятельной работе студент может достаточно расширить и углубить свои познания в обеих отраслях знания, а главное, выработать ясное понимание математики как специфической науки и ее места в системе наук и в духовной культуре в целом.

Одной из форм самостоятельной работы по спецкурсу является подготовка реферата (см. тематику рефератов, раздел 4). Изучение литературы и отбор материала для реферата также будут способствовать усвоению содержания спецкурса.

Итоговой формой контроля является зачет, вопросы для которого даются ниже (раздел II).

6.3. Методические рекомендации преподавателям

 

Спецкурс читается на четвертом курсе математического факультета, когда студенты уже получили значительный объем знаний по основным разделам математики, а также освоили курс философии. Опираясь на эти знания, преподавателю предстоит произвести синтез знаний студентов, то есть сформировать целостный образ математики как науки, используя в качестве логико-методологического инструментария категории философии.

Программа спецкурса предусматривает рассмотрение узловых проблем философии математики, проблем, которые были предметом дискуссий на протяжении почти всей истории ее существования: природа математической абстракции, что составляет предмет и объект математики, каково их соотношение, проблема истинности в математическом познании, обоснование математики и другие. Поскольку по каждой из этих проблем существует несколько вариантов решения, которые зачастую не просто несовместимы, но и противоположны, существует опасность «утонуть» в этом многообразии. У студента может сложиться хаотическое представление об этом многообразии мнений ученых. Спецкурс, напротив, должен дать студенту цельную, упорядоченную картину. Поэтому преподавателю следует определить для себя приоритетные позиции, дать им обоснование и с этих позиций вести анализ и критику других мнений. Однако следует предупредить и об опасности догматизма в этой работе. Следует поэтому не давать окончательных рецептов решения проблем, тем более что каждая эпоха их заново формулирует, а стремиться вскрыть предпосылки различных концепций и выяснить, почему именно такие идеи были предложены в тех или иных исторических условиях. Для такого анализа необходимо знать не только историю математики, но и духовную атмосферу той эпохи, в которую создавались те или иные математические идеи и теории. Именно такой подход и позволяет обнаружить взаимосвязь математического творчества с общим культурным прогрессом. Плюрализм философских концепций математики предстанет для студента не эклектической смесью мнений, а сложной диалектикой истории человеческого познания.

Поскольку не существует базового учебника по данному предмету, при изложении лекционного материала следует указывать студентам источники, в которых данная проблема рассматривается наиболее основательно.

Предложенная тематика рефератов несколько расширяет содержание лекционного курса, подготовка реферата позволит углубить представления студентов по отдельным проблемам.

Зачет целесообразно проводить в виде письменного изложения материала в соответствии с перечнем предложенных вопросов.

II. Материалы, устанавливающие содержание и порядок проведения промежуточных и итоговых аттестаций

Вопросы для зачёта