Расчет токов во всех ветвях схемы методом наложения

По методу наложения ток в любой ветви рассматривается как алгебраическая сумма частных токов, созданных каждой ЭДС в отдельности.

1.3.1 Определим частные токи во всех ветвях, приравняв нулю ЭДС Е₁ в соответствии с рисунком 4.

Рисунок 4 – Схема электрической цепи к расчету методом наложения при ЭДС Е₁ = 0

Тогда система уравнений, составленных на основании первого и второго законов Кирхгофа, будет иметь вид

 

0 = I₁ + I₂ ─ I₃,

0 = I₁ + I₄ ─ I₅,

0 = I₂ + I₅ ─ I₆,

Е₂ = ─ I₁∙(R₁ + r₀₁) + I₂∙(R₂ + r₀₂) ─ I₅∙R₅,

0 = I₁∙(R₁ + r₀₁) + I₃∙R₃ ─ I₄∙R₄,

0 = I₄∙R₄ + I₅∙R₅ + I₆∙R₆

 

Подставляем в полученные уравнения числовые значения ЭДС и сопротивлений.

 

0 = I₁ + I₂ ─ I₃,

0 = I₁ + I₄ ─ I₅,

0 = I₂ + I₅ ─ I₆,

20 = ─ I₁∙46 + I₂∙54 ─ I₅∙61,

0 = I₁∙46 + I₃∙32 ─ I₄∙24,

0 = I₄∙24 + I₅∙61 + I₆∙15

 

Полученную систему уравнений решаем с использованием определителей.

 

= 823634,

 

= ─ 71200,

 

= 192480,

 

= 121280,

 

= 25240,

 

= ─ 45960,

 

= 146520

Затем вычисляем частные токи в ветвях

 

I'₁ = Δ1 / Δ = ─ 71200 / 823634 = ─ 0,0864,

I'₂ = Δ2 / Δ = 192480 / 823634 = 0,2337,

I'₃ = Δ3 / Δ = 121280 / 823634 = 0,1472,

I'₄ = Δ4 / Δ = 25240 / 823634 = 0,0306,

I'₅ = Δ5 / Δ = ─ 45960 / 823634 = ─ 0,0558,

I'₆ = Δ6 / Δ = 146520 / 823634 = 0,1779

1.3.2 Определим частные токи во всех ветвях, при ЭДС Е₂ = 0 в соответствии с рисунком 5).

 

 

Рисунок 5 – Схема электрической цепи к расчету методом наложения при ЭДС Е₂ = 0

 

Тогда система уравнений, составленных на основании первого и второго законов Кирхгофа, будет иметь вид

 

0 = I₁ + I₂ ─ I₃,

0 = I₁ + I₄ ─ I₅,

0 = I₂ + I₅ ─ I₆;,

─Е1 = ─ I₁∙(R1+r01) + I₂∙(R2+r02) ─ I₅∙R5,

Е1 = I₁∙(R1+r01) + I₃∙R3 ─ I₄∙R4,

0 = I₄∙R4 + I₅∙R5 + I₆∙R6

 

Подставляем в полученные уравнения числовые значения ЭДС и сопротивлений.

 

0 = I₁ + I₂ ─ I₃,

0 = I₁ + I₄ ─ I₅,

0 = I₂ + I₅ ─ I₆,

─40 = ─ I₁∙46 + I₂∙54 ─ I₅∙61,

40 = I₁∙46 + I₃∙32 ─ I₄∙24,

0 = I₄∙24 + I₅∙61 + I₆∙15

 

Полученную систему уравнений решаем с использованием определителей .

 

= 823634,

 

= 391000,

 

= ─ 142400,

 

= 252600,

 

= ─ 278840,

 

= 116160,

 

= ─ 26240

Затем вычисляем частные токи в ветвях I", А

I"₁ = Δ1 / Δ = 395000 / 823634 = 0,4796,

I"₂ = Δ2 / Δ = ─ 142400 / 823634 = ─ 0,1729,

I"₃ = Δ3 / Δ = 252600 / 823634 = 0,3067,

I"₄ = Δ4 / Δ = ─ 278840 / 823634 = ─ 0,3385,

I"₅ = Δ5 / Δ = 116160 / 823634 = 0,141,

I"₆ = Δ6 / Δ = ─ 26240 / 823634 = ─ 0,0319

Определяем токи ветвей исходной цепи в соответствии с рисунком 2, выполняя алгебраическое сложение частных токов с учетом их знаков.

I₁ = I'₁ + I"₁ = ─ 0,0864 + 0,4796 = 0,3932,

I₂ = I'₂ + I"₂ = 0,2337 ─ 0,1729 = 0,0608,

I₃ = I'₃ + I"₃ = 0,1472 + 0,3067 = 0,4539,

I₄ = I'₄ + I"₄ = 0,0306 ─ 0,3385 = ─ 0,3079,

I₅ = I'₅ + I"₅ = ─ 0,0558 + 0,141 = 0,0852,

I₆ = I'₆ + I"₆ = 0,1779 ─ 0,0319 = 0,146

 

Сравнительная оценка результатов расчетов токов в ветвях различными методами

 

Результаты расчетов токов в ветвях заданной схемы представлены в таблице 1.

 

Таблица 1 – Результаты расчетов токов в ветвях цепи различными методами

 

Методы вычислений токов в ветвях цепи, А	Метод узловых и контурных уравнений	Метод контурных токов	Метод наложения
частные токи (Е1=0)	частные токи (Е2=0)	сумма частных токов
I1	0,3931	0,3931	-0,0864	0,4796	0,3932
I2	0,0608	0,0608	0,2337	-0,1729	0,0608
I3	0,4539	0,4539	0,1472	0,3067	0,4539
I4	-0,3079	-0,3079	0,0306	-0,3385	-0,3079
I5	0,0852	0,0852	-0,0558	0,141	0,0852
I6	0,146	0,146	0,1779	-0,0319	0,146

 

Анализ полученных результатов показывает полное совпадение значений токов в ветвях при расчете их различными методами (согласно пунктов 1.1, 1.2 и 1.3).

Расчет баланса мощностей для заданной электрической цепи

 

Источники ЭДС Е₁ и Е₂ вырабатывают электрическую энергию, так как направление ЭДС и тока в ветвях с источниками совпадают. Баланс мощностей для заданной цепи рассчитаем с помощью следующего выражения

Е₁∙I₁ + Е₂∙I₂ = I₁²∙(R₁+r₀₁) + I₂²∙(R₂+r₀₂) + I₃²∙R₃ + I₄²∙R₄ + I₅²∙R₅ + I₆²∙R₆.

Подставляем в полученное выражение числовые значения и вычисляем

40∙0,3931+20∙0,0608 = (0,3931)²∙(45+1)+(0,0608)²∙(53+1) + (0,4539)²∙32 +

+ (─ 0,3079)²∙24 + (0,0852)²∙61 + (0,146)²∙15.

16,94 Вт = 16,94 Вт.

Из полученного равенства очевидно, что баланс мощностей выполняется.