Основные теоретические выкладки

 

Метод наименьших квадратов.

Пусть в результате некоторого эксперемента ролучены значения функции в виде таблицы . Необходимо найти функцию , которая в узловых точках будет принимать некоторые значения , отличные от табличных значений , но приближенные к ним наилучшим образом. Для решения задачи аппроксимации рассматривают следующую величину:

(2.1)

Заметим, что F представляет собой сумму отклонений значений заданной и искомой функций в узловых точках. Возведение в квадрат используется для того, чтобы при суммировании отрицательные значения не компенсировались положительными. Тогда для нахождения функции используется очевидный критерий: величина F должна принимать наименьшее значение (в идеале равное нулю). Метод называется методом наименьших квадратов.

Как известно из курса высшей математики, необходимым условием минимума функции является равенство нулю всех ее частных производных. Поэтому находим производные функции по параметрам (коэффициентам многочлена).

В денном задании используется линейное приближение методом наименьших квадратов. Пусть аппроксимирующая функция является линейной относительно , т. е. . Она содержит два неизвестных коэффициента - и . Критерий принимает вид

. (2.2)

Приходим к следующей системе:

(2.3)

Система уравнений линейная, поэтому из неё легко получить значения и . Таким образом, получена новая функция .

 

 

РУЧНОЙ СЧЕТ

Введем следующие обозначения:

; ; ; .

Pпл	Pз	Q	Y	∑X^2	∑X	∑X*Y	∑Y	a	b	a+b*Q
34,371	24,34		1,963			1175,510	5,448	0,338	0,0055	1,976
	28,73		1,583							1,567
	31,72		1,170							1,157
	33,56		0,732							0,748

 

Подставляем в систему вида (2.3) с учётом наших обозначений

 

 

Решаем систему методом Крамера:

 

∆ = = 750² – 4∙168750 = 562500 – 675000 = - 112500

 

5,4485

∆а = = 1175,51 ∙ 750 – 168750 ∙ 5,448 = 881632,5 –

 

- 919350 = -37717,5

 

5,448

∆b= = 750 ∙ 5,448 - 4∙1175,51 = 4086 – 4702,04 =

 

= -616,04

 

a = ∆a/∆ = (-37717,5)/(-112500) = 0,33527

 

b = ∆b/∆ = (-616,04)/(-112500) = 0,0054759

 

 

БЛОК - СХЕМА АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

 

Рисунок 2.1 – Блок-схема к заданию №2

ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

program imr2; const n=4; type mas1=array[1..n] of real; var a, b, s1, s2, s3, s4, Y, Ppl, Delta, DeltaA, DeltaB:real; f1, f2, f3:text; Pz,Q:mas1; i:integer; begin assign(f1,'11.txt'); assign(f2,'12.txt'); assign(f3,'13.txt'); reset(f1); rewrite(f2); reset(f3); read (f3, Ppl); s1:=0; s2:=0; s3:=0; s4:=0; for i:=1 to n do begin readln(f1, Pz[i], Q[i]); Y:=(sqr(Ppl)-sqr(Pz[i]))/Q[i]; s1:=sqr(Q[i])+s1; s2:=Q[i]+s2; s3:=Y*Q[i]+s3; s4:=Y+s4; end; Delta:=sqr(s2)-s1*4; DeltaA:=s3*s2-s1*s4; DeltaB:=s2*s4-s3*4; a:=DeltaA/Delta; b:=DeltaB/Delta; writeln(f2,' a=',a:2:6,' b=',b:2:6); close(f1); close(f2); close(f3); end.

 

РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Ответ: , .

 

 

ГРАФИК

Рисунок 2.2 – График к заданию №2

ЗАДАНИЕ №3

 

Условие задачи

 

В результате проведенных лабораторных исследований получены значения вязкости нефти при различных значениях. Найти значения вязкости (мПа·с) при давлениях р₁ и р₂ (МПа), используя метод локальной квадратичной интерполяции.

 

 

р	3,9	4,9	5,9	6,9	7,9	8,9	10,9	11,9	12,9	14,9
μ	1,0279	0,941	0,8686	0,8079	0,7566	0,7127	0,635	0,6056	0,5788	0,531

 

р₁=4,5 р₂= 10,5