основные Теоретические выкладки

 

Для решения решения данной задачи необходимо использовать метод квадратичной локальной интерполяции.

При локальной квадратичной интерполяции в качестве интерполяционной функции на отрезке () берем квадратный трехчлен (графиком которого является парабола):

(3.1)

где содержится три неизвестных коэффициента, для нахождения которых

необходимы три уравнения. Функцию строим по трем точкам (напомним, что парабола однозначно строится по трем точкам), поэтому последовательно подставляем их в (3.1)

Рисунок 3.1 – Локальная квадратичная интерполяция

 

Получаем следующую систему (для простоты опускаем индексы при неизвестных коэффициентах)

Отсюда получаем

Теперь, для определения значения функции в точке необходимо найти интервал (), содержащий данную точку, рассчитать коэффициенты a, b, с и подставить значения в (3.1).

РУЧНОЙ СЧЕТ

 

P	P[i-1]	P[i]	P[i+1]	µ[i-1]	µ[i]	µ[i+1]	a	b	c	µ
4,5	3,9	4,9	5,9	1,0279	0,941	0,8686	0,0073	-0,1507	1,5054	0,9740
10,5	7,9	8,9	10,9	0,7566	0,7127	0,635	0,0017	-0,0722	1,2218	0,6495

 

БЛОК-СХЕМА АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

 

 

 

 

Рисунок 3.2 – Блок-схема к заданию №3

 

Аналогичный алгоритм для вычисления µ2.

 

 

ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

 

program imr3; const n=10; type mas1=array[1..n] of real; var a1, b1, c1, a2, b2, c2, p1, p2, NY1, NY2:real; f1, f2, f3:text; P, NY:mas1; i:integer; begin assign(f1,'dano.txt'); assign(f2,'tab.txt'); assign(f3,'vivod.txt'); reset(f1); reset(f2); rewrite(f3); read (f1, p1, p2);   for i:=1 to n do begin readln(f2, P[i], NY[i]); if (P1=P[i]) then begin NY1:=NY[i]; writeln(f3,' ny1=',ny1:6:6); end; if (P2=P[i]) then begin NY2:=NY[i]; writeln(f3,' ny2=',ny2:6:6); end; end;   for i:=2 to n-1 do begin if (P1>P[i-1]) and (P1<P[i+1]) then begin a1:=((ny[i+1]-ny[i-1])/(p[i+1]-p[i-1])-(ny[i]-ny[i-1])/(p[i]-p[i-1]))/(p[i+1]-p[i]); b1:=(ny[i]-ny[i-1])/(p[i]-p[i-1])-a1*(p[i]+p[i-1]); c1:=ny[i-1]-a1*sqr(p[i-1])-b1*p[i-1]; NY1:=a1*sqr(p1)+b1*p1+c1; writeln(f3,' a1=',a1:6:6,' b1=',b1:6:6,' c1=',c1:6:6,' ny1=',ny1:6:6); end; if (P2>P[i-1]) and (P2<P[i+1]) then begin a2:=((ny[i+1]-ny[i-1])/(p[i+1]-p[i-1])-(ny[i]-ny[i-1])/(p[i]-p[i-1]))/(p[i+1]-p[i]); b2:=(ny[i]-ny[i-1])/(p[i]-p[i-1])-a2*(p[i]+p[i-1]); c2:=ny[i-1]-a2*sqr(p[i-1])-b2*p[i-1]; NY2:=a2*sqr(p2)+b2*p2+c2; writeln(f3,' a2=',a2:6:6,' b2=',b2:6:6,' c2=',c2:6:6,' ny2=',ny2:6:6); end; end; close(f1); close(f2); close(f3); end.

РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

 

Ответ:

μ1=0,9740 мПа·с

μ2=0,6495 мПа·с

 

ЗАДАНИЕ №4

 

УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ

 

Найти распределение давления в остановленной газовой скважине от поверхности до глубины км. При решении использовать метод Рунге-Кутта.

Использованы следующие обозначения: - зависимость плотности газа от давления, h-шаг, км; -давление на поверхности, МПа; с - коэффициент пропорциональности в дифференциальном уравнении.

 

					h	c
0,0009	0,74	-1,7198			0,1	0,08

 

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТЧЕСКИЕ ВЫКЛАДКИ

 

Распределение давление по стволу газовой скважины определяется из следующего отношения

,

Пусть , тогда

 

 

РУЧНОЙ СЧЕТ

Найдем давление, Р₁ на глубине 0,1 км:

K₁=h∙c∙ (a₀∙p₀²+a₁∙p₀+a₂)=0,1∙0,08∙ (0,0009∙60²+0,74∙60-1,7198)= 0,3674

 

K₂=h∙c∙ (a₀∙ (p₀+K₁/2)²+a₁∙ (p₀+K₁/2)+a₂)=

=0,1∙0,08∙ (0,0009∙ (60+0,3674/2)²+0,74∙ (60+0,3674/2)-1,7198)=0,3686

 

K₃:=h∙c∙ (a₀∙ (p₀+K₂/2)²+a₁∙ (p₀+K₂/2)+a₂)=

=0,1∙0,08∙ (0,0009∙ (60+0,3686/2)²+0,74∙ (60+0,3686/2)-1,7198)= 0,3686

 

K₄:=h∙c∙ (a₀∙ (p₀+K₃)²+a₁∙ (p₀+K₃)+a₂)=

= 0,1∙0,03∙ (0,0009∙ (60+0,3686)²+0,6767∙ (60+0,3686)-11,131)= 0,3699

 

∆P₁=(K₁+2∙K₂+2∙K₃+K₄)/6=(0,3674+2∙0,3686+2∙0,3686+0,3699)=

=0,369

 

p₁ = p₀+ ∆p₁=60+0,369=60,740

Аналогично считается давление на остальных глубинах:

 

P0			∆P	K1	K2	K3	K4
P1	60,369		0,369	0,3674	0,3686	0,3686	0,3699
P2	60,740		0,371	0,3699	0,3711	0,3711	0,3724
P3	61,113		0,374	0,3724	0,3736	0,3737	0,3749
P4	61,490		0,376	0,3749	0,3762	0,3762	0,3775
P5	61,868		0,379	0,3775	0,3788	0,3788	0,3801
P6	62,250		0,381	0,3801	0,3814	0,3814	0,3827
P7	62,634		0,384	0,3827	0,3840	0,3840	0,3853
P8	63,020		0,387	0,3853	0,3866	0,3866	0,3879
P9	63,410		0,389	0,3879	0,3892	0,3892	0,3906
P10	63,801		0,392	0,3906	0,3919	0,3919	0,3933

 

БЛОК-СХЕМА АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

 

Рисунок 4.1 – Блок-схема к заданию №4

 

 

ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

 

program imr4;

var a0, a1, a2, h1, p0, h, c, k1, k2, k3, k4, p:real;

i:integer;

f1,f2:text;

 

begin

assign(f1,'dano.txt');

assign(f2,'otvet.txt');

reset(f1);

rewrite(f2);

read(f1,a0,a1,a2,h1,p0,h,c);

writeln(f2,'p0= ',p0:6:3);

for i:=1 to 10 do

begin

k1:=h*c*(a0*sqr(p0)+a1*p0+a2);

k2:=h*c*(a0*sqr(p0+k1/2)+a1*(p0+k1/2)+a2);

k3:=h*c*(a0*sqr(p0+k2/2)+a1*(p0+k2/2)+a2);

k4:=h*c*(a0*sqr(p0+k3)+a1*(p0+k3)+a2);

p:=p0+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

writeln(f2,'p',i:1,'= ',p:6:3);

p0:=p;

end;

close(f1);

close(f2);

end.

 

 

РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ

 

 

p₀ = 60.000 МПа

p₁ = 60.369 МПа

p₂ = 60,740 МПа

p₃ = 61,113 МПа

p₄ = 61,490 МПа

p₅ = 61,868 МПа

p₆ = 62,250 МПа

p₇ = 62,634 МПа

p₈ = 63,020 МПа

p₉ = 63,410 МПа

p₁₀ = 63,801 МПа

 

ГРАФИК

 

 

Рисунок 4.2 - График зависимости давления газовой скважины от глубины