Система управління запасами з дефіцитом

У попередній моделі ми прийняли припущення, що дефіцит не допускається. Це означало повне задоволення попиту на продукт, що запасається, тобто збіг інтенсивності попиту та інтенсивності витрачання запасу. У даній моделі припустимо, що дефіцит можливий. Це означає, що при відсутності запасу товару попит зберігається з тією ж інтенсивністю b(t), що і раніше, але споживання запасу нема, у наслідок чого накопичується дефіцит.

Очевидно, що якщо дефіцит у системі не приводив би до додаткових витрат, пов’язаних із можливими штрафами або втратою прибутку, то оптимально було б не мати взагалі наявного запасу. З іншого боку, якщо ці витрати досить великі, то взагалі не слід допускати дефіциту. При проміжних значеннях витрат, пов’язаних із дефіцитом, оптимально допустити його у кінці циклу.

Припустимо, що інтенсивність попиту b(t), вартість поповнення запасу , витрати на зберігання запасу і витрати у наслідок дефіциту задані у вигляді наступних функцій: , , де t – час, q – обсяг партії поповнення запасу. У загальному випадку вказані функції включають постійні складові і складові, пропорційні часу або обсягу поставки. Зокрема, витрати з урахуванням дефіциту, пропорційні часу відсутності запасу при наявності попиту.

Модель 1.

Введемо позначення:

Q – загальний обсяг споживання товару протягом часу Т;

q – обсяг поставки;

інтенсивність витрачання запасу;

s – максимальний рівень запасу;

– обсяг дефіциту (кількість незадовільнених вимог, зареєстрованих до моменту поставки);

– інтервал часу, коли в системі є наявний запас;

– інтервал часу, протягом якого у системі є дефіцит товару;

– витрати на створення або поставку однієї партії товару, які не залежать від її обсягу, грош. од.;

– витрати на зберігання одиниці запасу в од. часу, грош. од.;

– витрати, пов’язані з дефіцитом запасу, грош. од.

Інші параметри моделі мають такий же смисл, як і в попередній моделі.

Графік зміни рівня запасу представлений на рисунку 2.3.

 

 

 

Рис. 2.3. Зміна рівня запасу

Припустимо, що в момент перед поставкою поповнення запасу в системі кожний раз є дефіцит у незадоволених вимог. Після поставки поповнення в обсязі q одиниць ці вимог негайно задовольняються і наявний запас у системі складе s одиниць.

Убування графіка нижче осі абсцис в область від’ємних значень характеризує накопичення дефіциту. На рисунку 2.3 видно, що кожний період розбивається на два часових інтервали, тобто , де – час, протягом якого відбувається споживання запасу, – час, коли запас відсутній і накопичується дефіцит, який буде покритий в момент надходження наступної партії. Із графіка легко встановити, що

В даній моделі у функцію сумарних витрат C (витрат за період T) поряд з витратами на поповнення запасу і витратами на зберігання запасу необхідно ввести витрати , пов’язані із дефіцитом. Тоді функція витрат дорівнюватиме

Витрати за період T, який складається із k циклів, як і раніше, визначаються за формулою

.

Витрати на зберігання середнього запасу за час споживання дорівнюють

.

Відповідно ці витрати за період T складуть

При розрахунку витрат будемо вважати, що штраф за дефіцит на кожну одиницю продукту в одиницю часу складає . Оскільки середній рівень дефіциту за період дорівнює то витрати за цей період складуть а за весь період T з урахуванням (2.3) дорівнюватимуть

Тепер загальні витрати за формулою дорівнюють

(2.15)

Неважко помітити, що при q = s формула (2.15) співпадає з раніш одержаною формулою (2.4) в моделі без дефіциту.

Таким чином, задача управління запасами в моделі з дефіцитом зводиться до пошуку такого обсягу партії q і максимального рівня запасу s, при яких функція витрат С(q, s) приймає мінімальне значення.

Іншими словами, необхідно дослідити функцію двох змінних на екстремум. Прирівнюючи частинні похідні та до нуля, після перетворень одержимо систему рівнянь

Розв’язавши цю систему відносно q і s, отримаємо формули найбільш економічного обсягу партії і максимального рівня запасу для моделі з дефіцитом.

, (2.16)

(2.17)

Величина

(2.18)

називається щільністю збитків через незадоволення попиту та відіграє важливу роль в аналізі систем управління запасами. Відмітимо, що в реальних системах управління запасами Якщо значення мале у порівнянні з , то величина ρ близька до нуля; коли значно більше , то ρ близька до 1.

Недопустимість дефіциту ототожнюється з припущенням, що або

Враховуючи (2.16) і (2.17) можна записати

та .

Тому твердження про те, що щільність збитків у наслідок незадовільненого попиту дорівнює означає, що впродовж ρ100% часу від повного періоду τ система буде бездефіцитна, а впродовж (1–ρ)100% часу запас буде відсутній. У ймовірнісних термінах це означає, що ймовірність вичерпання запасів дорівнює

Одержувана звідси формула

(2.19)

дозволяє оцінити за відомою ймовірністю вичерпання запасу

Із формул (2.6) і (2.16) випливає, що оптимальні обсяги партій для моделі з дефіцитом і моделі без дефіциту (обчислений за формулою Уілсона), пов’язані співвідношенням

(2.20)

Це означає, що оптимальний обсяг партії в моделі з дефіцитом у раз більше ніж в моделі без дефіциту.

У цій моделі, як і у попередніх, ми припускали, що поставки здійснюються миттєво в момент подачі замовлення. Якщо припустити, що поставка здійснюється з деякою затримкою то замовлення на поставку товарів повинно здійснюватись при зниженні запасу до рівня, який би давав можливість задовольняти попит на товари протягом часу Визначаючи щоденну потребу в товарі (інтенсивність витрати запасу) за формулою (2.1), рівень запасу , при якому робиться замовлення обчислюємо за формулою

.

В принципі точку замовлення у даній моделі визначають таким же чином, як і в розділі 2.1. Але треба по-новому визначити поняття “рівень запасів”. Поняття “наявний запас” вже не годиться, тому що в момент подачі замовлення наявний запас може бути відсутнім, а враховані замовлення можуть бути. Зручно замінити наявний запас різницею наявного запасу і обсягу врахованих вимог, яка називається чистим запасом. Якщо є наявний запас, то врахованих вимог не буде і чистий запас буде додатним. Якщо є враховані вимоги, то не буде наявного запасу, а чистий запас буде від’ємним. При використанні поняття чистого запасу точка замовлення буде дорівнювати

,

де m означає найбільше ціле число, менше або рівне де u – час поставки, – тривалість циклу, = b u – обсяг попиту за час поставки (тобто кількість замовлених одиниць товару з моменту подачі замовлення і до моменту поставки), – обсяг дефіциту. Величина може приймати від’ємні значення. З іншого боку, це означає, що замовлення подається в момент, коли обсяг врахованих вимог досягає величини . Сума наявного запасу і замовленого товару замінюється тепер сумою наявного запасу мінус обсяг врахованих замовлень при дефіциті товару. Ця сума називається фіктивним рівнем запасів у системі. При використанні фіктивного рівня запасів точка замовлення дорівнює , причому може приймати також від’ємні значення.

Приклад 2.4. Визначимо оптимальний розмір партії, максимальний рівень запасу, оптимальну кількість поставок і оптимальний інтервал часу між поставками для моделі з дефіцитом за даними прикладу 2.3. Введемо додаткову умову, що відсутність на складі потрібного товару приносить збиток у розмірі 3,5 грн. на одиницю товару.

Визначимо також: a) на скільки відсотків збільшаться витрати на створення і зберігання запасу в обсязі що замовляється, відмінного від оптимального розміру ; b) точку замовлення партії товару, коли строк виконання замовлення дорівнює днів.

Розв’язання. За умовою задачі Q=3650, T=365, , , , .

Алгоритм реалізації моделі

v задаємо початкові значення параметрів моделі і обчислюємо щільність збитків ;

v визначаємо інтенсивність витрачання запасів b, записуємо формули для кількості поставок k і інтервалу часу між поставками ;

v записуємо функції витрат і функцію загальних витрат ;

v визначаємо оптимальний обсяг поставки , оптимальний рівень запасу , оптимально допустимий обсяг дефіциту кількість партій постачання і довжину інтервалу між послідовними замовленнями на поповнення запасу

v визначаємо мінімальне значення функції витрат ;

v визначаємо відносну зміну витрат, коли розмір замовлення відрізняється від оптимального ;

v визначаємо точку замовлення , коли строк поставки не дорівнює оптимальному.

Алгоритм у Mathcad

грош. од.

Абсолютна і відносна зміна розміру партії постачання запасу

Абсолютна і відносна зміна витрат

Точка замовлення h, коли строк поставки u не дорівнює оптимальному

Розрахунок параметрів даної моделі дає нам інформацію про найбільш економічно вигідний обсяг запасу деталей на складі. Дефіцит деталей на складі призводить до збитків у вигляді штрафу за дефіцит.

Коментар. Дані розрахунки показують, що щільність збитків із-за незадоволеного попиту дорівнює ρ = 0,91, найбільш економічний розмір поставки партії деталей становить деталей, максимальний рівень запасу одиниць, кількість замовлень , інтервал між замовленнями доба. Сумарні витрати на зберігання запасу дорівнюють грош. од.

Відносна зміна сумарних витрат при збільшенні замовлення на одиниць дорівнює . Точка замовлення партії, якщо її поставка затримується на днів дорівнює одиниць. ▲

Модель 2.

Дана модель є подальшим узагальненням попередньої моделі на випадок, коли функція витрат на поповнення запасу і функція інтенсивності споживання запасу є лінійними функціями відповідно часу t і обсягу поставки q: , . Функція накопичення дефіциту z(t) є також лінійною функцією часу. Припускається, що дефіцит пропорційний попиту із заданим коефіцієнтом a, який визначається як частка врахованих вимог. Усі інші параметри моделі зберігають свій смисл. Функції можуть бути визначені на основі експериментальних даних у вигляді рівнянь регресії.

Сумарні витрати на постачання, як і раніше, дорівнюють

,

де .

Обсяг витраченого товару за час t дорівнює . Обсяг товару, що зберігається на складі в момент t, дорівнює різниці між обсягом запасу на початку періоду і обсягом витраченого товару за час t:

Час за який відбувається повне вичерпання запасу знаходиться із рівняння

Таким чином, витрати на зберігання запасу за період функціонування системи T, з урахуванням кількості поставок , дорівнюють

Визначимо інтенсивність накопичення дефіциту як величину, пропорційну інтенсивності витрати запасу: де коефіцієнт a визначає частку попиту b(t), який враховується. Тоді, оскільки дефіцит товару на момент часу t дорівнює величині z(t), то миттєві штрафні витрати за дефіцит у цей момент дорівнюють . Час за який відбувається накопичення дефіциту до величини визначається із рівняння .

Таким чином витрати, пов’язані з дефіцитом, за період Т функціонування системи, дорівнюють

Враховуючи формули для і рівність k(q) =Q/q, загальні витрати за період T дорівнюватимуть

(2.21)

Знаходячи частинні похідні від функції Сq, s) по q і s і розв’язуючи систему рівнянь

визначаємо оптимальні значення розміру партії постачання і максимального рівня запасу відповідно і які доставляють мінімум функції

Розв’язання системи рівнянь здійснюємо за функцією Minerr(q, s) у блоці алгоритму, який задається директивою Given. Мінімальне значення функції знаходимо, підставляючи в неї значення і , одержуємо .

Приклад 2.5. Визначимо оптимальний розмір партії постачання, максимальний рівень запасу, а також оптимальну кількість поставок і оптимальний інтервал часу між поставками для моделі з дефіцитом з додатковою умовою, що попит на продукцію при відсутності запасу, є лінійною функцією часу і пропорційний функції споживання запасу при його наявності, тобто де a – коефіцієнт пропорційності, який визначає кількість врахованих заявок на товар при його відсутності.

Розв’язання. Маємо такі значення вхідних величин:

Алгоритм реалізації моделі

v задаємо початкові значення параметрів моделі

v визначаємо функції і щільність витрат ;

v визначаємо рівень запасу в момент часу t;

v визначаємо час вичерпання запасу u(s), розв’язуючи рівняння Розв’язання здійснюємо за оператором solve;

v визначаємо час за який відбувається накопичення дефіциту до рівня q – s, розв’язуючи рівняння

v визначаємо функцію витрат і її частинні похідні

, ;

v розв’язуємо систему рівнянь D1(q, s) = 0, D2(q, s) = 0 і визначаємо значення при яких функція витрат приймає мінімальне значення;

v визначаємо оптимальну кількість поставок і інтервал часу між поставками

v визначаємо мінімальне значення функції витрат .

Алгоритм у Mathcad

Рівень запасу в момент часу t;

Час накопичення дефіциту до рівня

Функція витрат

Розв’язання системи рівнянь D1(q, s) = 0 і D2(q, s) = 0 і визначення оптимального обсягу поставки, оптимального рівня запасу, оптимальної кількості поставок і часу між поставками

Мінімальне значення функції витрат

грош. од.

Коментар. Оптимальна політика управління запасами наступна: оптимальний розмір поставки одиниць, максимальний рівень запасу одиниць, кількість замовлень . Пропорційно зменшенню частоти поставок у порівнянні з моделлю без дефіциту, зменшився інтервал часу між поставками, який дорівнює доби. Мінімальне значення функції витрат дорівнює грош. од. ▲

Модель 3.

У даній моделі приймемо, що витрати , пов’язані з дефіцитом запасу, включають постійну складову і складову пропорційну тривалості дефіциту.

Витрати на поповнення і зберігання запасу, як і в моделі 1, дорівнюють

Витрати у наслідок дефіциту за цикл дорівнюють

де враховано, що .

За період T ці витрати складають

.

Середні сумарні витрати за період Т, які включають витрати на постачання і утримання запасу, а також витрати, пов’язані з дефіцитом запасу дорівнюють

,

тобто

. (2.22)

Задача полягає у тому, щоб визначити обсяг поставки q і максимальний рівень запасів s, при яких загальні витрати були б мінімальні.

є функцією двох змінних q і s. Треба знайти абсолютний мінімум С(q, s) в області Оскільки функція С(q, s) диференційовна у всій області її визначення, то і повинні задовольняти рівнянням

Розглянемо тепер алгоритм розв’язання цієї системи рівнянь. Із (2.22) одержуємо

Після перетворень цього виразу, одержимо

або

.

Далі маємо

.

Звідки

.

Одержали наступну систему рівнянь

(2.23)

Розв’язуючи систему, одержуємо формули для найбільш економічного обсягу партії і максимального рівня запасів для моделі з дефіцитом, втрати від якого пропорційні часу відсутності запасів

(2.24)

(2.25)

Величина дорівнює розміру дефіциту. Коли коефіцієнт , формули (2.23) і (2.24) мають вигляд:

і збігаються із формулами (2.17) і (2.18).

Визначивши визначаємо інші параметри системи:

Чисельний розв’язок системи рівнянь (2.23) можна також одержати за допомогою функції Mathcad Minerr(q, s), застосовуючи блок розв’язання Given. Відповідний алгоритм наведемо при розв’язанні прикладу 2.6. Крім того, засоби Mathcad дозволяють одержати систему рівнянь, аналогічну (2.23), у неявному вигляді за допомогою операцій символьного диференціювання.

Приклад 2.6. Розглянемо систему управління запасами із наступними характеристиками: обсяг замовлень Q = 200 одиниць на рік; вартість створення одиниці запасу c₁ = 500 грош. од.; коефіцієнт витрат утримання запасів І = 0,1 (розмірність – вартість в одиницю часу на одиницю капіталу, вкладеного в запаси); вартість утримання одиниці запасів грош. од.; витрати у наслідок втрати замовлення без врахування втраченого прибутку грош. од.; витрати, пропорційні тривалості дефіциту грош. од.; період роботи системи рік; час поставки поповнення запасу t = 9 місяців.

Визначимо оптимальний обсяг поставки оптимальний рівень запасів кількість поставок час між поставками точку замовлення , виходячи із фіктивного рівня запасів, точку замовлення виходячи із рівня чистого запасу і обсяг дефіциту .

Розв’язання. Розглянемо два алгоритми визначення величин і – за формулами (2.24), (2.25) і чисельним алгоритмом розв’язання системи рівнянь (2.23), застосовуючи функцію Mathcad Minеrr().

Алгоритм реалізації моделі у Mathcad аналогічний попередньому алгоритму.

Алгоритм у Mathcad