Система управління запасами з оптовими знижками цін

У багатьох реальних випадках при закупівлі великих партій товару застосовуються пільгові ціни. Ці знижки іноді мають такий вигляд: нехай задані числа Якщо розмір закупівлі дорівнює , то ціна товару для кожної одиниці із партії дорівнює , тобто вартість q одиниць дорівнює і Загальна вартість закупівлі q одиниць має вигляд, як показано на рис. 2.8. Подібні знижки на розмір замовлення називаються оптовими, оскільки знижка нараховується на кожну партію товару, що закуповується.

Розглянемо модель у якій припустимо, що є декілька рівнів цін в залежності від розміру закуповуваних партій.

Введемо позначення:

– ціна закупівлі одиниці товару;

інтенсивність попиту в одиницю часу;

– витрати на створення або поставку однієї партії товару, які не залежать від обсягу партії, грош. од.;

– витрати на зберігання одиниці запасу, грош. од.

Рис. 2.8. Зміна вартості закупівлі продукції

Подібні знижки на розмір замовлення будемо називати оптовими, оскільки

вартість товару залежать від розміру замовлення, то виникає необхідність включити вартість самого товару у вираз змінних витрат, що впливає на стратегію управління запасами. Загальні витрати на закупівлю, постачання і зберігання одиниць запасу в одиницю часу дорівнюють

(2.49)

Можна вважати, що вираз (2.49) визначає криву витрат для усіх значень q, а не тільки для q в інтервалі . При цьому можна одержати кривих витрат, які відповідають кожному значенню . Відмітимо, що ці криві не перетинаються і що для всіх q.

Розглянемо дану модель у випадку двох рівнів цін. Оскільки значення функцій відрізняються тільки на постійну величину, то їх мінімум, відповідно до формули Уілсона, досягається в точці .

Рис. 2.9.

Рис. 2.9 показує, що визначення оптимального обсягу замовлення залежить від того, де знаходиться точка розриву ціни по відношенню до вказаних на рисунку зон 1, 2, 3, які визначені як інтервали відповідно. Розташування зон визначається шляхом визначення невідомого Y (при відомому ) з рівняння

.

Зони розподіляються таким чином:

(2.50)

В залежності від розташування точки розриву ціни q, оптимальний розмір замовлення визначається в такий спосіб:

(2.51)

Алгоритм визначення оптимального значення можна подати в такому вигляді.

v визначити . Якщо (зона 1), то рішення отримане і алгоритм завершується. В іншому випадку переходимо до кроку 2.

v визначити Y із рівності і встановити, де відносно зон 2 або 3 знаходиться значення :

а) якщо (зона 2), то ; (2.52)

б) якщо (зона 3), то

Приклад 2.9. Автомобільна майстерня спеціалізується на заміні мастила в автомобілях. Майстерня закуповує автомобільне мастило у великій кількості по грош. од. за кг. Ціна може бути знижена до грош. од. за кг., при умові, що майстерня закуповує більше кг. За день у майстерні обслуговується біля автомобілів і на кожний із них необхідно кг. мастила. Майстерня зберігає на складі великі обсяги мастила, що обходиться їй у грош. од. в день за один кг. Вартість розміщення замовлення на великий обсяг мастила дорівнює грош. од. Строк виконання замовлення дорівнює дні.

Потрібно визначити оптимальну стратегію управління запасами.

Розв’язання. За умовою точка знижки ціни, тобто точка розриву ціни, кг. Визначаючи точку мінімуму функцій – і границю зони 2 – , знайдемо оптимальний обсяг поповнення запасів.

Алгоритм реалізації моделі

v задаємо вхідні дані моделі

v визначаємо денне споживання мастила b;

v визначаємо точку , яка є точкою мінімуму функцій ;

v записуємо вирази для функцій витрат і рівняння W(Y)=0, де ;

v застосовуючи описаний вище алгоритм, знаходимо оптимальне значення ;

v визначаємо точку замовлення .

Алгоритм у Mathcad

грош. од.

Коментар. Оскільки знаходиться у зоні 2 (, то оптимальний обсяг поновлення запасів кг. Із порівняння значень функцій і видно, що значення дає мінімальні витрати.

При заданому терміні виконання замовлення 2 дня точка поновлення замовлень дорівнює кг. Отже оптимальна стратегія управління запасами формулюється наступним чином: замовляти кг мастила, коли рівень запасу знижується до 1500 кг. ▲

Контрольні запитання

1. Дати характеристику обмежень для найпростішої системи управління запасами без дефіциту.

2. В чому полягає основна задача оптимального управління запасами.

3. Чи приводить збільшення витрат на оформлення замовлення до зменшення оптимального розміру замовлення.

4. Навести формулу оптимального розміру партії поповнення запасу у моделі без дефіциту (формулу Уілсона) і дати її економічне тлумачення.

5. Чи зменшується оптимальний розмір замовлення поставки на поповнення запасу із збільшенням втрат від дефіциту.

6. Чи зростає оптимальний розмір поповнення запасу при зростанні витрат на зберігання запасу.

7. На яку величину збільшується оптимальний обсяг партії поповнення запасу в моделі з дефіцитом у порівнянні з моделлю без дефіциту.

8. Чому дорівнюють витрати на постачання партії запасу обсягу q у детермінованій моделі управління запасами.

9. Чому дорівнюють витрати на зберігання запасу за період функціонування системи при інтенсивності споживання з урахуванням кількості поставок k(q).

10. Навести формулу оптимального розміру партії постачання у системі управління запасами з дефіцитом і дати її економічне тлумачення.

11. Навести формулу для оптимального максимального рівня запасів у системі управління запасами з дефіцитом.

12. Дати означення поняття щільності збитків від дефіциту у моделі системи управління запасами з дефіцитом.

13. Чи приводить максимізація середнього річного доходу до тієї ж стратегії функціонування, що і мінімізація середніх річних витрат, якщо вимоги, які надходять у систему при відсутності запасу, втрачаються.

14. Чи залежить доход у системі управління запасами з дефіцитом від тривалості стану дефіциту і, отже, від стратегії функціонування.

15. За якою формулою визначається кількість циклів у системі управління запасами з дефіцитом.

16. Чи доцільно не допускати дефіцит у системі управління запасами з дефіцитом, якщо штрафи за дефіцит великі.

17. За якою формулою визначається оптимальний розмір партії постачання у системі управління запасами з обмеженою продуктивністю.

18. Як визначається оптимальний розмір поставки у системі управління запасами з різними рівнями цін у залежності від розташування точок розриву цін.

Задачі

2.1. Фірма поповнює запас деякого виробу, замовляючи його в кількості, достатній для покриття одномісячного попиту. Річний попит на виріб дорівнює Q од. Кожне розміщення замовлення оцінюється витратами в грн. Витрати на зберігання одного виробу протягом місяця становлять грн. заборгованість не допускається. Визначити:

Ø оптимальний розмір замовлення , кількість замовлень і інтервал часу між моментами розміщення замовлень;

Ø мінімальні витрати системи управління запасами ;

Ø розходження в річних витратах на зберігання системи при оптимальній і застосовуваній стратегіях. Остання передбачає розміщення замовлень у розмірі місячної потреби протягом року.

Параметри моделі:

2.2. Потреба сервісного автоцентру в деталях деякого типу складає Q деталей у рік, причому ці деталі витрачаються рівномірно протягом року. Деталі постачаються партіями однакового обсягу і їх дефіцит не допустимий. Поставка однієї партії деталей коштує грн.; вартість однієї деталі дорівнює грн. Зберігання однієї деталі на складі обходиться у грн. (, де І – коефіцієнт витрат зберігання). Термін виконання замовлення дорівнює дням.

Визначити оптимальну стратегію управління запасами:

Ø оптимальний розмір замовлення , кількість замовлень і інтервал часу між моментами розміщення замовлень;

Ø мінімальні витрати системи управління запасами ;

Ø точку поновлення запасів .

Параметри моделі:

2.3. Одна фірма дотримується практики, щоб у неї ніколи не було дефіциту. Відділ збуту провів для цієї мети аналіз по певному типу продукції. Попит невипадковий, постійний у часі і дорівнює Q одиниць у рік. Вартість подачі замовлення дорівнює грн. Вартість одиниці продукції складає грн. не залежно від розміру замовлення. Коефіцієнт витрат зберігання запасу дорівнює I. Вартість обліку одиниці продукції складає грн. в неділю. Термін виконання замовлення дорівнює дням.

Визначити оптимальну стратегію управління запасами:

Øоптимальний розмір замовлення , кількість замовлень і інтервал часу між моментами розміщення замовлень;

Ø мінімальні витрати системи управління запасами ;

Ø точку поновлення запасів .

Ø річні втрати із-зі прийняття політики недопущення дефіциту, якщо відділ збуту правильно визначив відповідні параметри.

2.4.Одна фірма дотримується практики, щоб у неї ніколи не було дефіциту. Відділ збуту провів для цієї мети аналіз по певному типу продукції. Попит невипадковий, постійний у часі і дорівнює Q одиниць у рік. Вартість подачі замовлення дорівнює грн. Вартість одиниці продукції складає грн. не залежно від розміру замовлення. Коефіцієнт витрат зберігання запасу дорівнює I. Вартість обліку одиниці продукції складає грн. в неділю. Термін виконання замовлення дорівнює дням.

Визначити оптимальну стратегію управління запасами:

Ø оптимальний розмір замовлення , кількість замовлень і інтервал часу між моментами розміщення замовлень;

Ø мінімальні витрати системи управління запасами ;

Ø точку поновлення запасів .

Ø річні втрати із-зі прийняття політики недопущення дефіциту, якщо відділ збуту правильно визначив відповідні параметри.

2.5. Торгівельний центр (ТЦ) побутової техніки продає телевізори, щоденний попит на які складає Q одиниць. Інтенсивність попиту є лінійною функцією часу t вигляду . По мірі вичерпання запасу склад ТЦ поповнюється новими партіями телевізорів. Витрати на постачання є лінійною функцією обсягу партії постачання q – грн. Зберігання одного телевізора протягом одного дня обходиться в грн. Термін виконання замовлення дорівнює дням.

Визначити оптимальну стратегію управління запасами:

Ø найбільш економічний розмір партії поповнення запасу телевізорів , який мінімізує функцію витрат C(q);

Ø оптимальне число замовлень (округлене до найближчого цілого числа), яке фірма повинна розміщувати щорічно та інтервал часу між поставками , припускаючи, що TЦ дотримується стратегії, яка не допускає дефіцит;

Ø мінімальні витрати системи управління запасами ;

Ø точку поновлення запасів .

Параметри моделі: приймають наступні значення:

2.6. Потреба торгівельного підприємства в деякому товарі складає Q одиниць на рік. Інтенсивність витрачання запасу протягом року постійна і рівномірна. Товар замовляються раз на рік і постачається партіями однакового обсягу, вказаному у замовленні. Постачання відбувається на початку кожного періоду. Витрати на постачання партії товару розміру q є лінійною функцією від q: грн. Вартість зберігання одиниці продукції на складі коштує грн. Відсутність на складі потрібного товару приносить збиток у розмірі Термін виконання замовлення дорівнює дням.

Визначити оптимальну стратегію управління запасами:

Ø найбільш економічний розмір партії товарів , який мінімізує функцію витрат C(q), кількість поставок та інтервал між поставками ;

Ø мінімальні витрати системи управління запасами ;

Ø точку поновлення запасу

Параметри моделі:

.

2.7. Попит на мобільні телефони у місті N складає Q апаратів в день. Інтенсивність попиту є лінійною функцією часу t вигляду Витрати на постачання кожної партії товару на склад фірми залежить від обсягу партії q і дорівнюють грн. Витрати на зберігання одного телефона в день складають грн. Дефіцит одного телефона приносить збитки у розмірі грн. в день. Термін поставки замовлення u складає один місяць

Визначити оптимальну стратегію управління запасами:

Ø оптимальний розмір замовлення , оптимальний рівень запасу в момент поставки, кількість замовлень і інтервал часу між моментами розміщення замовлень;

Ø мінімальні витрати системи управління запасами ;

Ø точку поновлення запасів .

Параметри моделі:

2.8. Система управління запасами має наступні характеристики: обсяг замовлень – Q одиниць на рік; вартість створення одиниці запасу – c₁ грн.; коефіцієнт витрат утримання запасів – І (розмірність – вартість в одиницю часу на одиницю капіталу, вкладеного в запаси); вартість утримання одиниці запасів – грн.; витрати у наслідок втрати замовлення без врахування втраченого прибутку – грн.; витрати, пропорційні тривалості дефіциту – грн.; період роботи системи – Т років; час поставки поповнення запасу t місяців.

Визначити оптимальну стратегію управління запасами:

Ø оптимальний обсяг поставки оптимальний рівень запасів кількість поставок час між поставками

Ø точку замовлення , виходячи із фіктивного рівня запасів, точку замовлення виходячи із рівня чистого запасу.

Параметри моделі:

2.9. Система управління запасами має наступні характеристики: обсяг замовлень – Q одиниць у рік; Витрати на постачання кожної партії товару на склад фірми залежать від обсягу партії q і дорівнюють грн.; коефіцієнт витрат утримання запасів – І (розмірність – вартість в одиницю часу на одиницю капіталу, вкладеного в запаси); збитки із-за втрати замовлення без врахування втраченого прибутку – грн.; витрати, пропорційні тривалості дефіциту – грн.; період роботи системи – Т років; час поставки поповнення запасу u місяців.

Визначити оптимальну стратегію управління запасами:

Ø оптимальний розмір замовлення , оптимальний рівень запасу в момент поставки, кількість замовлень і інтервал часу між моментами розміщення замовлень;

Ø мінімальні витрати системи управління запасами ;

Ø точку замовлення , виходячи із фіктивного рівня запасів, точку замовлення виходячи із рівня чистого запасу.

Параметри моделі:

Q=350+10, T=1,

2.10. Фірма виробляє повний набір освітлювальних приладів для автомобілів. Прилади виробляються партіями, і для їх виробництва використовується одне і те ж устаткування. Річна інтенсивність попиту на прилади складає комплектів. Можна вважати, що попит відомий точно і його інтенсивність у часі не змінюється. Продуктивність фірми складає g комплектів у рік. Фіксовані витрати переналадки устаткування дорівнюють грн., а питомі витрати виробництва дорівнюють грн. Коефіцієнт витрат утримання запасів – І (розмірність – вартість в одиницю часу на одиницю капіталу, вкладеного в запаси). Термін постачання кожної партії u дорівнює два місяці (u/12 = 0, 167 року).

Визначити оптимальну стратегію управління запасами:

Ø оптимальний розмір замовлення , кількість замовлень і інтервал часу між моментами розміщення замовлень, максимальний рівень запасу в момент поставки;

Ø порівняти розміри партій при обмеженій і необмеженій продуктивності;

Ø мінімальні витрати системи управління запасами ;

Ø тривалість періоду витрачання запасу, тривалість виробництва товарів, час повного вичерпання товарів на складі, обсяг попиту за час поставки;

Ø точку замовлення .

Параметри моделі:

2.11. Фірма може виготовляти виріб або купувати його. Якщо фірма сама випускає виріб, то кожний запуск його у виробництво обходиться у грн. Продуктивність виробництва становить од. у день. Якщо виріб закуповується, то витрати на розміщення кожного замовлення рівні грн. Витрати на утримання виробу в запасі незалежно від того, закуповується він або виробляється, рівні грн. в день. Споживання виробу підприємством оцінюється в одиниць у рік. Фірма працює без дефіциту.

Визначити, що вигідніше: закуповувати або виробляти виріб.

Параметри моделі:

2.12. Автомобільна майстерня спеціалізується на заміні гальмових систем в автомобілях. Майстерня закуповує гальмові системи у великій кількості по грн. за комплект. Ціна може бути знижена до грн. за комплект при умові, що майстерня закуповує n комплектів. За день у майстерні обслуговується біля A автомобілів. Майстерня зберігає на складі велику кількість комплектів гальмових систем, що обходиться у грн. в день. Вартість розміщення замовлення на велику кількість гальмових систем дорівнює грн. Строк виконання замовлення дорівнює u днів.

Визначити оптимальну стратегію управління запасами.

Параметри моделі:

2.13. Сервісній комп’ютерний центр спеціалізується на заміні вінчестерів. Центр закуповує вінчестери у великій кількості по грн. Ціна може бути знижена до грн. за вінчестер при умові, що центр закуповує штук. За день у центрі обслуговується біля A комп’ютерів. Центр зберігає на складі велику кількість вінчестерів, що обходиться у грн. в день. Вартість розміщення замовлення на велику кількість вінчестерів дорівнює грн. Строк виконання замовлення дорівнює днів.

Визначити оптимальну стратегію управління запасами у сервісному центрі.

Параметри моделі:

2.14. Виріб закуповується за ціною грн., але за партію розміром більше n виробів надається 10% знижка. Фірма, яка споживає A виробів у день, хоче вирішити, чи варто скористатись знижкою. Витрати на розміщення замовлення на одну партію складають грн., витрати на зберігання одного виробу грн.. в день. Чи доцільно для фірми скористатися знижкою?

Параметри моделі:

2.15. Чи можна в моделях, розглянутих у даному розділі, ввести обмеження на загальні кошти, які витрачаються на закупівлю виробів або створення запасів? Розгляньте, при яких умовах таке обмеження можна використовувати.

2.16. Менеджер постачання, який спеціалізується на запасних деталях для комп’ютерів, повинен вибрати одного із трьох постачальників. Постачальник А продає деталі за середньою ціною грн. незалежно від розміру замовлення. Постачальник В не приймає замовлення менше, ніж на деталей, але продає їх по ціні грн., якщо замовлення поданий на або більше деталей. Постачальник С не приймає замовлення менше, ніж на деталей, але продає їх по ціні грн., якщо обсяг замовлення дорівнює деталей і більше. Річна потреба у цих деталях складає штук при коефіцієнті витрат на зберігання Кожний раз при подачі замовлення фіксовані витрати дорівнюють A грн. Якого постачальника слід вибрати? Чому дорівнюють річні витрати, пов’язані із замовленнями, зберіганням і закупівлею деталей?

Параметри моделі:

2.17. Товар продається зі складу за ціною р за одиницю, а попит за рік дорівнює одиниць. Якщо замовлення на поповнення дорівнює одиниць, то вартість виробу складає Вартість подачі замовлення дорівнює A, а коефіцієнт витрат зберігання дорівнює І. При якому розмірі замовлення на поповнення середній річний прибуток буде максимальним при умові, що дефіцит недопустимий?

Параметри моделі: