Переход детерминированных систем к хаотическому поведению.

Может ли случайный процесс быть детерминированным, а в детерминированном процессе обнаруживаться элементы случайного, хаотического поведения? А первый взгляд – это два взаимоисключающих понятия. Случайный процесс – это такой процесс, точное предсказание которого принципиально невозможно. Можно лишь ставить вопрос о вероятности того или иного варианта его развития. С дугой стороны, детерминированный процесс — это по определению процесс, каждый шаг которого предопределен некоторыми закономерностями, которые нам заведомо известны. Иными словами, это означает, что можно со 100-процентной вероятностью предсказать его будущее развитие во времени.

Например, если речь идет о механической системе, то хорошо известно, что задание начальных условий — координат и импульсов — однозначно определяет последующую ее эволюцию. Именно поэтому, во времена преобладания механистического взгляда на природу вещей, появилось известное изречение Лапласа: «Дайте мне начальные условия, и я предскажу будущее мира». Эта уверенность в правоте Лапласа и предсказуемости поведения систем, описываемых классической механикой, сохранялась вплоть до самого последнего времени в сознании большинства естествоиспытателей. Однако исследования последних 20 лет произвели настоящую революцию в этой области и показали, что не все так просто и что детерминированная механическая система может вести себя совершенно непредсказуемо. И, наоборот, в основе нерегулярного, хаотического поведения часто лежит вполне детерминированное описание. Оно, однако, вовсе не означает практическую возможность долговременного прогноза эволюции процесса.

В природе и в повседневной практике много таких процессов, которые, на первый взгляд, выглядят совершенно случайными, хаотическими. Простейший пример такого рода – это турбулентное движение жидкости, например, в горной реке или в чайнике, когда он кипит на сильном огне. Турбулентные конвективные потоки воздуха в атмосфере Земли затрудняют долгосрочный прогноз погоды. Форма горных рельефов и облаков на небе тоже кажется очень сложной, непредсказуемой, а поэтому случайной.

Яркий пример представляет собой наша память, которая работает по каким-то пока неведомым нам законам. Электроэнцефалограммы головного мозга в состоянии бодрствования представляют собой случайный сигнал. Может быть поэтому, на первый взгляд, совершенно случайно, в нашем мозгу иногда появляется какое-то постороннее воспоминание, совершенно не связанное с ходом наших мыслей в настоящий момент. Говорят, что в такие моменты мы "отвлекаемся" и, чтобы сосредоточиться на главном, стараемся как можно больше отгородиться от окружающего нас внешнего мира. Но часто это не помогает. Говорят также, что великие открытия, озарения как раз и происходят случайно. Вдруг в какой-то момент человек находит в один миг решение задачи, над которой бился многие годы.

Несмотря на сложность поведения этих и других систем, демонстрирующих хаос, в основе многих из них лежат достаточно простые уравнения. Например, турбулентные конвективные потоки воздуха в атмосфере Земли описываются уравнением Hавье-Стокса, которое вместе с уравнением теплопроводности и уравнением состояния идеального газа в поле силы тяжести Земли, дополненное начальными условиями, полностью определяют поведение системы. То же относится и к турбулентному движению жидкости, возникающему, когда так называемое число Рейнольдса R превышает некоторое критическое значение Rc. Hапротив, согласно тем же уравнениям Hавье-Стокса, при R<Rc движение жидкости является ламинарным и вполне предсказуемым.

Уравнения Киргоффа также вполне однозначно описывают поведение всякого рода усилителей и других радиотехнических схем. Колебания маятника под воздействием периодической вынуждающей силы описываются достаточно простым дифференциальным уравнением второго порядка, выражающим собой II закон Ньютона. Оказывается, что никаких случайных сил или шумов во всех этих уравнениях учитывать не нужно, чтобы решение при определенных значениях параметров выглядело случайным.

Когда было осознано, что во многих случаях система, обнаруживающая на практике хаотическое, непредсказуемое поведение, допускает тем не менее вполне детерминированное математическое описание, для многих это было настоящим потрясением. Было трудно поверить в то, что «случайный» процесс может быть решением одного или нескольких, часто с виду простых, дифференциальных уравнений. И хотя некоторые из подобных результатов были к тому времени хорошо известны избранному кругу лиц, пристального внимания большинства они не привлекали. Таким образом, можно констатировать, что 20 лет назад произошел своеобразный фазовый переход в научном сознании, когда у ученых открылись глаза, и на уже известные факты они посмотрели по-новому. После этого благодаря наличию мощных компьютеров началась настоящая революция в этой области. Одним из самых неожиданных результатов был вывод о практической непредсказуемости долговременного поведения детерминированных хаотических систем и необходимости использования статистического описания.

Обычно считалось, что проявление статистических закономерностей у динамических систем связано с большим числом степеней свободы последних и возможности усреднения по ним. В физике такие системы принято называть макроскопическими. Однако сейчас стало ясно, что такое требование вовсе необязательно. Существуют важные классы динамических систем с небольшим числом степеней свободы (даже с двумя!), у которых строго детерминированная динамика тем не менее приводит к появлению статистических закономерностей. Раньше считалось, что раз процесс является детерминированным, то его эволюцию во времени можно предсказать на много лет вперед, если решить соответствующие уравнения и подставить туда начальные условия. Тогда вводить вероятностное описание поведения системы ненужно. Однако это почти очевидное утверждение оказалось неправильным. Еще в конце XIX века французский математик А. Пуанкаре обнаружил, что в некоторых механических системах, эволюция которых определяется уравнениями Гамильтона, возможно непредсказуемое хаотическое поведение. Впоследствии было показано, что на самом деле таких систем в механике, названных неинтегрируемыми, великое множество. И регулярное, предсказуемое поведение механических систем является скорее исключением, чем правилом.

 

 

Примеры математических моделей в химии, биологии, экологии, экономике.

Пример 1. Модель клеточного автомата (игра «Жизнь»).

Игра «Жизнь» (англ. Conway's Game of Life) - клеточный автомат, приду­манный английским математиком Джоном Конвеем в 1970 г. Джон Конвей заин­тересовался проблемой, предложенной в 1940-х годах известным математиком Джоном фон Нейманом, попытавшимся создать гипотетическую машину, которая может воспроизводить сама себя. Джону фон Нейману удалось создать математи­ческую модель такой машины с очень сложными правилами. Конвей попытался упростить идеи Неймана и создал правила игры «Жизнь». Данная игра относится к категории моделирующих, которые имитируют процессы, происходящие в реаль­ной жизни. Основная идея игры состоит в том, чтобы, начав с какого-нибудь про­стого расположения живых клеток, проследить за эволюцией исходной позиции.

Место действия этой игры - «вселенная»: размеченная на клетки поверх­ность, безграничная, ограниченная (замкнутая). Каждая клетка на этой поверхно­сти может находиться в двух состояниях: быть живой или быть мертвой (пустой). Клетка имеет восемь соседей (окрестность Мура). Распределение живых клеток в начале игры называется первым поколением. Каждое следующее поколение рас­считывается на основе предыдущего по правилам (генетические законы Конвея):

а) мертвая клетка рядом с тремя живыми клетками-соседями оживает;

б) если у живой клетки есть две или три живые соседки, то эта клетка про­должает жить; в противном случае (если соседей меньше двух или больше трех) клетка умирает (от «одиночества» или от «перенаселенности»).

Игрок не принимает прямого участия в игре, а лишь расставляет «живые» клетки, которые взаимодействуют согласно правилам уже без его участия. Вскоре после опубликования правил, было обнаружено несколько интересных шаблонов (вариантов расстановки живых клеток в первом поколении), в частности глайдер (рис. 2).

 

 

Рис. 2. Глайдер

Некоторые такие фигуры остаются неизменными во всех последующих по­колениях, состояние других периодически повторяется, в некоторых случаях со смещением всей фигуры. Существует фигура (Diehard) всего из семи живых кле­ток, потомки которой существуют в течение 130 поколений, а затем исчезают.

Пример 2. Задача на смеси.

В сосуде, объем которого равен Vo л, содержится р%-ный раствор соли. Из сосуда выливается а л смеси и доливается а л воды, после чего раствор перемеши­вается. Эта процедура повторяется n раз. Спрашивается, по какому закону меняет­ся концентрация соли в сосуде, т. е. какова будет концентрация соли после n про­цедур?

Решение. Первоначальное количество соли в растворе равно р/100*V₀.

После того как отлили а л смеси, в растворе осталось р/100 х Vo - р/100 * а = р/100 *Vo (1 - a/Vo) соли, а ее концентрация после добавления а л воды стала равной c₁= р/100*(1 - a/V₀). После того как отлили еще а л смеси (но уже с концентрацией c₁), в растворе осталось соли 1/100*V₀ (1 - a/V₀) – c₁ a = р/100*V₀ (1 - a/V₀)², а ее концентрация после добавления а л воды стала равной сг - р/100*(1 - a/Vo)². Нет надобности еще раз проделывать ту же процедуру, чтобы убедиться, что концентрация соли в растворе после n переливаний определяется формулой c_n=р/100*(1 - a/Vo)ⁿ.

Пример 3. Модель популяции в условиях сбора урожая.

Рассмотрим популяцию рыб, из которой в текущий момент времен изымает­ся часть популяции («сбор урожая»).

Решение. Модель имеет вид: Xj+1 = xj + axj - kxi, Xo = с, где a - коэффициент прироста популяции рыб; к - коэффициент сбора урожая (скорость изъятия особей).

Пример 4. Модель влияния факторов роста на урожайность.

Пусть у_max - максимально возможная (наблюдавшаяся) урожайность некото­рой сельхозкультуры, y(x(t)) - действительно получаемый урожай к моменту вре­мени t, у=у(х), х - доля фактора роста, например, при орошении, х = x(t).

Решение. Модель роста урожайности y(t) в зависимости от фактора роста x(t), y_i =y(х_i), x_i =x(t_i): y_i+1 = y_i+k(y_max- у_i), где у(0) = у₀- заданное начальное зна­чение урожая.

Пример 5. Задача на рост производительности.

1. Выработка продукции за первый год работы предприятия возросла на р %, а за следующий год по сравнению с первоначальной она возросла на 10 % больше, чем за первый год. Определить, на сколько процентов увеличилась выработка за первый год, если известно, что за два года она увеличилась в общей сложности на 48, 59 %?

Решение. За первый год выработка возросла в (1 + р/100) раз по сравнению с первоначальной, за второй год - в (1 + (р + 10)/100)раз по сравнению с началом второго года и в (1 + р/100)(1 + (р + 10)/100) по сравнению с первоначальной и со­ставила 1,4859: (1 + р/100)(1 + (р + 10)/100) = 1,4859.

Отсюда р= 17%.

Все указанные модели могут подвергаться уточнению и модификации.