Вычисление площадей плоских фигур

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной

сверху графиком функции у = f (x) (f (x) ≥ 0), слева и

справа соответственно прямыми x = a и x = b, снизу –

отрезком [ a; b ] оси Ох, вычисляется по формуле

S = .

Если f (x) ≤ 0 при х [ a; b ], то S = .

Площадь фигуры, ограниченной кривыми у = f (x) и

у = g (x), причем f (x) ≥ g (x), прямыми x = a и x = b

вычисляется по формуле

S = .

 

Пусть криволинейная трапеция ограничена кривой х = f (у),

прямыми у = с, у = d и отрезком [ с; d ] оси Оу. Тогда площадь

этой трапеции вычисляется по формуле

S = .

Если криволинейная трапеция ограничена сверху кривой, заданной параметрическими уравнениями , y (t) ≥ 0, t [ t ₁; t ₂], прямыми x = a и x = b и отрезком [ a; b ] оси Ох, то ее площадь вычисляется по формуле

S = ,

где t ₁ и t ₂ определяются из равенств a = x (t ₁), b = x (t ₂).

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой

заданной в полярных координатах уравнением r = r (φ) идвумя

лучами φ = α и φ = β, вычисляется по формуле

S = .

Замечание. Площадь всякой плоской фигуры может быть составлена из

площадей криволинейных трапеций (секторов) .

 

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y = sin x, прямыми х = – π, х = , у = 0.

S = – + = –cos + cos –

– cos = 1 – + 1 + 1 – + 1 = (8 – – ).

Задание для самостоятельного решения

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

1) у = х ², у = – 9 х.

2) y = arccos x, x = – 1, x = 0, y = 0.

3) y = tg ² x, x = π /4, y = 0.

 

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = – x ² + 5 х – 6 и y = x ² – 6.

 

Найдем абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для этого

решим систему уравнений . Находим: х ₁ = 0, х ₂ = 2,5. Т.о.

S = = = = .

 

Задание для самостоятельного решения

 

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

1) у = sin x, у = 2sin х, x = 0, у = 7/4 π.

2) y = x ², x = 1/ x ², y = 0, x = 0, x = 3.

3) y ² = 2 x + 1, y = x – 1.

4) y = – x ² + 3 x + 6, y = x ² – x + 1.

5) y = x ², y = 2 x, y = x.

6) y = x ² – 2 x + 3, y = 3 x – 1.

7) y = x ³ – 3 x, y = x.

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y ²= x ³, y = 8, х = 0.

S = = = = .

Искомую площадь можно найти как разность прямоугольника ОАВС и трапеции ОВС:

S = 4 ∙ 8 – = 32 – = 32 – = .

Задание для самостоятельного решения

 

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

1) у = arcsin x, πx = 2 y.

2) xy = 8, y = 8 x ³, y = 27.

3) y ² = (4 – x) ³, x = 0.

4) (y – x) ² = x ³, x = 1.

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой x = a cos³ t, y = a sin³ t.

 

Найдем сначала четвертую часть искомой площади:

S = = = =

= – a ² = 3 a ² = 3 a ² = 3 a ² =

= a ² = a ² =

= a ² = a ² = a ² ∙ = .

Значит, S = .

Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной «трехлепестковой розой» r = a sin3 φ.

S = = a ² = =

= = = . Значит, S = .

 

Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r = a (1 – cos φ) и

окружностью r = a.

 

Найдем точки пересечения кардиоиды с окружностью. Для этого решим сис-

тему уравнений и получим две точки: А ₁ и А ₂ .

Половина искомой площади равна сумме площадей криволинейных секторов

Om А ₁ O и OА ₁ n O. В первом секторе полярный угол изменяется от 0 до π /2, а

во втором – от π /2 до π. Т.о.

S = S ₁ + S ₂ = + = a ² + a ² =

= + = + = .