Некоторые признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов I рода

1. Признак сравнения. Если на промежутке [ a; +∞) непрерывные функции f (x) и g (x) удовлетворяют условию 0 ≤ f (x) ≤ g (x), то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

2. Предельный признак сравнения. Если при х [ a; +∞), f (x) > 0, g (x) > 0 и существует конечный предел = k ≠ , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

3. Если сходится интеграл , то сходится и интеграл , который в этом случае называется абсолютно сходящимся.

 

Пример 1. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

По определению несобственного интеграла I рода имеем: = =

= = + = 1. Исходный интеграл сходится и равен 1.

 

Замечание. Интеграл сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1. Следовательно, его можно использовать в качестве интеграла в признаках сравнения.

Задание для самостоятельного решения

 

Найти значения несобственных интегралов или установить их расходимость:

Пример 2. Исследовать сходимость несобственного интеграла .

По определению несобственного интеграла I рода имеем: = =

= || || = = 0 – a sin a + 1 – cos a.

Интеграл расходится, т.к. a sin a и cos a не существуют.

 

Задание для самостоятельного решения

Исследовать сходимость несобственного интеграла: .

 

Пример 3. Вычислить несобственный интеграл .

Подынтегральная функция f (x) = определена и непрерывна на всей числовой оси. Кроме того, она является четной. Следовательно. = 2 = 2 ∙ = 2 ∙ arctg =

= 2 ∙ = π. Исходный интеграл сходится и равен π.

 

Задание для самостоятельного решения

Найти значение несобственного интеграла или установить его расходимость:

Пример 4. Исследовать на сходимость интеграл .

Здесь f (x) = > 0 при х [1; +∞), при этом > . Но интеграл расходится (см. замечание к признакам сравнения: р = < 1). Следовательно, по признаку сравнения сходится и интеграл от «меньшей» функции, т.е. исходный интеграл.

Задание для самостоятельного решения

Найти значение несобственного интеграла или установить его расходимость:

Пример 5. Исследовать на сходимость интеграл .

Здесь f (x) = > 0 при х [1; +∞). Рассмотрим функцию g (x) = . Вычислим = = = ≠ . По предельному признаку сравнения, т.к. интеграл = = сходится (см. замечание к признакам сравнения: р = 5 > 1), то по предельному признаку сравнения сходится и исходный интеграл.

Задание для самостоятельного решения

Исследовать сходимость несобственного интеграла:

 

2.2. Интегралы от неограниченных функций (II рода)

Если функция у = f (x) непрерывна в промежутке [ a; b) и имеет разрыв 2-го рода («убегает» в бесконечность) при x = b, то несобственный интеграл от неограниченной функции определяется следующим образом:

.

Если предел справа существует, то несобственный интеграл II рода называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Аналогично, если функция у = f (x) терпит бесконечный разрыв в точке x = а, то полагают . Если функция у = f (x) терпит разрыв

2-го рода во внутренней точке с [ a; b ], то несобственный интеграл II рода определяется формулой + . В этом случае интеграл называется сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.