Физические (механические) приложения определенного интеграла

а) Путь, пройденный телом, перемещающимся со скоростью v = v (t), за промежуток времени[ t ₁; t ₂ ], выражается формулой: , (1)

б) Работа переменной силы, заданной функцией F = F (x) и направленной вдоль оси Ох на отрезке [ a; b ], равна интегралу (2)

в) Давление жидкости на горизонтальную пластину равно

весу столба этой жидкости (“закон Паскаля”), т.е. P = g g Sh, где g – ускорение свободного падения, g - плотность жидкости, S – площадь пластинки, h – глубина ее погружения.

г) Давление жидкости на вертикальную пластину,

ограниченную линиями x = a, x = b, y ₁ = f ₁ (x) и y ₂ = f ₂ (x)

вычисляется по формуле Р = g g . (3)

г) Статические моменты относительно коодинатных осей, моменты инерции и координаты центра тяжести плоской дуги y = f (x), a £ x £ b, находятся соответственно по формулам: , , (4)

, , (5)

где dl = – дифференциал дуги;

, (6)

где х_с, у_с – координаты центра тяжести, а m – масса кривой.

 

Пример 1. Автобус начинает двигаться с ускорением a (t) =1 м / c ². Какой путь пройдет автобус за 12 секунд от начала движения?

Скорость движения автобуса выражается формулой v (t) = = = = t м / с. Согласно формуле (1)

путь, пройденный автобусом за время от t ₁ = 0 до t ₂ = 12 сек.: = = 72 м.

Задание для самостоятельного решения

1. Скорость тела меняется по закону v = 0,03 t ² м / c. Какой путь пройдет тело за 10 с? Чему равна средняя скорость движения?
2. Скорость автобуса при торможении изменяется по закону (15 – 3 t) м / c. Какой путь пройдет автобус от начала торможения до полной остановки?

Пример 2. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину на10 см,если сила в20 Нрастягивает пружину на5 см?

 

Согласно закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т.е.

F (x) = k x, где k – коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи сила F = 8 Н растягивает пружину на х = 0,05 м. Следовательно, 20 = k ∙ 0,05 => k = 400, F = 400 x. Искомая работа на основании формулы (2) равна

A =

 

Пример 3. Найти работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать жидкость

плотности g из цистерны, имеющей форму параболического цилиндра, размеры

которого указаны на рисунке.

Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту h, равна р h.

Но различные слои жидкости в цистерне находятся на различных глубинах и

высота поднятия до края цистерны различных слоев не одинакова. Для решения

задачи можно применить т. н. «метод дифференциала». Введем систему коорди-

нат так, как указано на рисунке.

 

Работа, затрачиваемая на выкачивание слоя жидкости толщиной D х с высоты х, считая от края цистерны

(х Î [ 0, H ]), есть функция от х, т. е. A = A (x) (A (0) = 0, A (H) = A ₀).

Ввиду малости D х = dх считаем, что «элементарный слой» жидкости находится на одной глубине х. Тогда дифференциал функции A (x): D А = d A = dp × dx, где dp – вес этого слоя. Он равен dp = g g dv, где g – ускорение свободного падения, g – плотность жидкости, dv – объем «элементарного слоя» жидкости. Но dv = b ∙ MN ∙ dx. Найдем MN: MN – ордината точки М (H – x; y), лежащей на параболе АОВ, уравнение которой в выбранной системе координат у ² = 2 р х. Параметр р найдем из условия, что точка А принадлежит параболе:

= 2 рН = > p = , т.е. уравнение параболы есть у ² = х. Точка М (H – x; y) лежит на параболе. Следовательно, у ² = (H – х). Отсюда: у = = MN, т.е. MN = . Следовательно,

dv = b dx, dp = g g b a dx и d A = g g b a x dx. Интегрируя это равенство в пределах от х = 0 до х = Н, находим искомую работу:

A = = = =

= ∙ = ∙ Н ² = g g b a Н ².

Задание для самостоятельного решения

1. Какую работу надо затратить на преодоление силы тяжести при насыпании кучи песка

2. (плотность g) конической формы с радиусом основания R и высотой H?

3. Для растяжения пружины на 4 см необходимо совершить работу в 24 Дж. На какую длину можно растянуть пружину, совершив работу в 150 Дж?

4. Рессора прогибается под нагрузкой 2т на 1,5см. Какую работу нужно затратить для деформации рессоры на 3см? (Сила деформации пропорциональна величине деформации).

Пример 4. Определить величину давления морской воды на вертикальный круг радиуса R = 0,2 м, центр

которого погружен в воду на глубину H = 10 м. Плотность морской воды g = 1020 кг / м ³.

 

Поместим начало координат на поверхность воды, ось Оу направим горизонтально, а ось Ох – вертикально. Воспользуемся формулой (3). В данном случае пластинка (т.е. круг) ограничена линиями у ₁ = – ,

х = H – R, у ₂ = + , х = H + R. Поэтому Р = g g =

= 2 g g = = 2 g g =

= 2 g g =

= 2 g g = g g π R ² H.

Подставляя значения g, g, π, R, H, получаем: Р = 9,81 ∙ 1020 ∙ 3,14 ∙ 0,04 ∙ 10 = 12,6 кН.

 

Пример 5. Найти давление воды (плотность g) на вертикальную пластинку, имеющую вид равнобедренной трапеции. Высота ее равна h, большее основание – b, меньшее основание, лежащее на поверхности воды, равно а.

 

Введем систему координат как указано на рисунке. Давление жидкости на

различные слои пластинки разное: зависит от глубины погружения х. Для решения

задачи применим “метод дифференциала”.

Рассмотрим полоску пластинки на глубине х шириной D х = dх. Ввиду малости

dх можно приближенно считать полоску прямоугольником, все точки которого

находятся на одной глубине х. Тогда по закону Паскаля dp = g g | MN | dx × x.

Найдем | MN |. Очевидно, | MN | = а + 2 | MТ |. Длину | MТ | находим из подобия

треугольников МТА и ВСА: = => | MТ | = . Тогда

 

| MN | = а + и dp = g g x dx. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = h, получим:

 

Задание для самостоятельного решения

1 Найти силу давления воды (плотность g) на куглый иллюминатор диаметром D (в вертикальном борту судна) наполовину погруженный в воду.

2 Вычислить силу давления воды (плотность g) на прямоугольные ворота шлюза, ширина которых а, высота b, если шлюз заполнен водой на треть.

3 Вода полностью заполняет резервуар кубической формы с ребром, равным 0,5 м. Найти силу давления воды на:

а) дно резервуара; б) боковую стенку.

Пример 6. Найти статический момент однородной пластины плотности g дуги кривой y = cos x,0 £ x £ p / 2, относительно оси Ох.

 

Согласно формуле (4) имеем: d = dx = dx = dx = > S_x = γ dx =

= γ d (sin x) = γ = γ =

= γ ( + ln | 1 + |).

Пример 7. Вычислить массу и момент инерции плоского однородного стержня плотности g = 1и длины l относительно его конца.

Совместим стержень с отрезком оси Ох, 0 ≤ x ≤ l (левый конец стержня – в точке О). Для нахождения массы стержня используем формулу (6), положив в ней у = 0, у′ = 0: m = dx = g x | = g l. Этот результат из-за однородности стержня очевиден.

Момент инерции стержня равен моменту инерции его относительно оси Оу. Применим формулу (5):

М_у = g dx = γ = , т.е. М_у = = , где m – масса стержня.

Пример 8. Найти центр тяжести одной арки однородной (g = const) циклоиды , 0 ≤ t ≤ 2 π.

Первая арка циклоиды симметрична относительно прямой х = πа. Поэтому абсцисса центра тяжести кривой равна πа, т.е. х_с = πа. По формулам (4) и (6) находим: у_с = , где S_x = , m = . Если кривая задана параметрически, то в нашем случае dl = dt, где 0 ≤ t ≤ 2 π. Т. о. имеем:

у_с = = = =

= = –а = –а а. Т.о. х_с = πа., у_с = а.

Задание для самостоятельного решения

1. Найти координаты центра тяжести однородной дуги (g = const) окружности х ² + у ² = R ², расположенной в третьей координатной четверти.
2. Вычислить момент инерции относительно оси Оу окружности х ² + у ² = R ², масса которой равна m.

3. Найти координаты центра тяжести однородной дуги (g = const) астроиды x = cos³ t, y = sin³ t,

расположенной левее оси Оу.