Лабораторная работа № 1. Расчет ставок простых и сложных процентов

1. Содержание работы.

ü Наращение простых и сложных процентов.

ü Дисконтирование по простым и сложным процентам.

ü Номинальная и эффективная процентные ставки.

ü Эквивалентность во времени денежных сумм.

2. Теоретический материал.

2.1. Наращение простых и сложных процентов.

Годовую ставку процента обозначим через i, первоначальную сумму средств Р, S – будущая наращенная сумма, n - период, срок (в годах).

При простых процентах к концу n -ого года наращенная сумма станет равной: . Наращенные суммы представляют собой возрастающую арифметическую прогрессию, каждый год сумма увеличивается на величину

При наращении сложных процентов к концу n -ого года наращенная сумма станет равной: . Предполагается, что в конце каждого года происходит капитализация процентов, т.е. их присоединение к начальной сумме. Наращенные суммы представляют геометрическую прогрессию.

Обе формулы наращения процентов могут применяться и для нецелых периодов. Пусть вклад лежал n лет и еще период Δn - срок меньше года. Тогда: в общем случае или при смешанном начислении процентов.

Если сложные проценты начисляют m раз в году при номинальной годовой процентной ставке равной i, тогда наращенная сумма за n лет равна:

Мультиплицирующий множитель или множитель наращения по сложным процентам показывает, во сколько раз возрастает за n лет сумма, положенная в банк под i процентов годовых. Для облегчения расчетов, особенно со сложными процентами, составлены таблицы мультиплицирующих множителей: и . При начислении процентов m раз в год .

При начислении процентов m раз в год вводится также годовой множитель наращения: , тогда .

2.2. Дисконтирование по простой и сложной ставке процента.

Дисконтирование – процесс обратный во времени процессу наращения. Дисконтирование можно производить как по простым процентам, так и по сложным процентам. Чтобы через n лет иметь на счету сумму S, надо положить сейчас на счет (в случае простых процентов), или (в случае сложных процентов).

Для облегчения расчетов при дисконтировании по сложным процентам используются дисконтирующие множители: .

При начислении процентов m раз в год вводится годовой дисконтный множитель: .

2.3. Номинальная и эффективная процентные ставки.

Пусть годовая процентная ставка равна i. При сложных схемах начисления процентов применяют номинальную и эффективную процентные ставки. В общем случае номинальной называется годовая процентная ставка, используемая для расчетов при начислении сложных процентов несколько раз в году, а действительная годовая ставка, которая получается при выбранной схеме начисления процентов, называется эффективной. Если начислять сложные проценты m раз в год по ставке i/m, то эффективная годовая процентная ставка равна: .

2.4. Эквивалентность во времени денежных сумм.

Денежные суммы S(T) в момент Т и s(t) в момент t называются эквивалентными по ставке сравнения i, если . При T > t эквивалентность сумм S(T) и s(t) означает, что сумма S(T), уменьшающаяся при движении в прошлое за каждый единичный промежуток в 1/(1+i) раз, к моменту t превратится как раз в сумму s(t). Такой пересчет называют приведением ее или нахождением ее современной величины. Сама же формула сравнения денежных сумм в любые моменты времени называется математическим дисконтированием.

3. Порядок работы.

3.1. Описание работы на листе Excel.

Рекомендуется скопировать приведенную таблицу на лист Excel, вставить формулы в выделенные цветом ячейки, убедившись при этом, что получены те же значения. Используя построенный лист, решить задачи, приведенные в лабораторной работе, для чего следует скопировать необходимые строки на новое место на листе.

Будем выбирать формат “процентный” для процентных ставок и формат “денежный” для денежных сумм (2 знака после запятой). Для поля n – (количество лет) выбираем формат “числовой с 2 знаками после запятой”, так как период может быть не целым числом лет. Для поля m(p) – формат целый.

Для решения четырех задач следует ввести формулы для простых и сложных процентов. В каждой строке есть выделенное поле, которое и должно быть вычислено по значениям в остальных полях.

Вначале создаем таблицу для расчетов с простыми процентами. Для расчета используется формула простых процентов: . Из этой формулы легко получаются формулы для вычисления значений Р, n, i.

1) Задано: начальный платеж Р, ставка процента i и срок n. Находится конечная сумма вклада .

2) Задано: требуемая конечная сумма S, ставка процента i и срок n. Находится начальный платеж .

3) Задано: начальный платеж Р, срок n, требуемая сумма S. Находится желательная ставка процента .

4) Задано: начальный платеж Р, ставка процента i и требуемая сумма S. Находится требуемый срок хранения вклада .

Далее переходим к расчету сложных процентов, которые могут начисляться несколько раз в год.

1) Задано: начальный платеж Р, ставка процента i и срок n. Находится конечная сумма вклада S и эффективная процентная ставка i_эф: (можно также использовать специализированную функцию Excel – S = БС(i/m; n*m; 0; -P)); i_эф =ЭФФЕКТ(i; m). В случае отсутствия функции ЭФФЕКТ() в перечне финансовых функций необходимо ее установить дополнительно через параметры программы. Кнопка оffice/параметры Excel/надстройки/перейти/Пакет анализа/ОК

2) Задано: требуемая конечная сумма S, ставка процента i и срок n. Находится начальный платеж Р и эффективная процентная ставка i_эф:

Р = -ПС(i/m; n*m; 0; S); i_эф =ЭФФЕКТ(i; m).

3) Задано: начальный платеж Р, срок n, требуемая сумма S. Находится желательная ставка процента i и эффективная процентная ставка i_эф:

i = СТАВКА(n*m; 0; P; -S)*m; i_эф =ЭФФЕКТ(i; m).

4) Задано: начальный платеж Р, ставка процента i и требуемая сумма S. Находится требуемый срок хранения вклада n и эффективная процентная ставка i_эф:

n = ОКРВВЕРХ(КПЕР(i/m; 0; -P; S);1)/m; i_эф =ЭФФЕКТ(i; m).

В случае нескольких начислений в год, следует аккуратно вводить процентную ставку и количество периодов, не забывая, что i – годовая процентная ставка. Если производится m начислений в год, то ставка за период равна i/m, а количество периодов n*m.

Подробнее специальные функции Excel описаны ниже. Следует отметить, что указанные функции могут выполнять более широкий спектр задач, поэтому для нашей цели некоторые параметры взяты нулями, некоторые опущены. При использовании функции ПЗ следует взять результат со знаком минус.

3.2. Лист Excel.

Лабораторная работа № 1. Расчет ставок простых и сложных процентов
Простые проценты	P - начальный вклад
P	i%	n	S	i - годовая ставка процента
1000,00р.	8,00%	2,00	1160,00р.	n - количество лет
816,33р.	9,00%	2,50	1 000,00р.	S - наращенная сумма
500,00р.	8,28%	4,00	665,50р.	m - число начислений % в год
500,00р.	5,00%	6,40	660,00р.	iэф - эффект. годовая ставка
Сложные проценты
P	i%	n	m	S	iэф
500,00р.	5,00%	2,00	3,00	552,13р.	5,08%	Наращение
887,76р.	4,00%	3,00	2,50	1 000,00р.	4,05%	Дисконтирование
500,00р.	8,59%	4,00	2,00	700,00р.	8,78%
744,50р.	6,00%	8,00	12,00	1 200,00р.	6,17%

 

3.3. Используемые финансовые функции.

ü S = БС(i/m; n*m; 0; -P)

Возвращает будущее значение вклада S на основе сложных процентов с годовой процентной ставкой i, если вклад Р лежит n лет, а проценты начисляются m раз в год. Здесь Р – количество вложенных в банк средств, оно вводится со знаком минус.

ü Р = -ПС(i/m; n*m; 0; S)

Возвращает начальный объем вклада Р. S - это общая сумма, которую вы будете иметь через n лет, если проценты начисляются m раз в году, i - это годовая процентная ставка.

ü i = СТАВКА(n*m; 0; -P; S)*m

Возвращает годовую процентную ставку, под которую следует положить начальную сумму Р, чтобы через n лет получить общую сумму вклада S. Здесь Р – количество вложенных в банк средств, оно вводится со знаком минус.

ü n = ОКРВВЕРХ(КПЕР(i/m; 0; -P; S);1)/m

Функция КПЕР возвращает количество лет, которое должен храниться вклад при годовой ставке i, чтобы при начальном вкладе Р к концу срока вклад возрос до значения S. Так как количество периодов может оказаться не целым, требуется использовать функцию округления с избытком до целых. После деления количества периодов на m – количество периодов начисления процентов в год получается искомое количество лет, которое, конечно же, может и не оказаться целым. Как и в предыдущей функции Р – количество вложенных в банк средств, оно вводится со знаком минус.

ü ЭФФЕКТ(i; m)

Возвращает фактическую годовую процентную ставку, если заданы i - номинальная годовая процентная ставка и m - количество периодов, составляющих год.

 

 

4. Задачи к лабораторной работе.

1. Через сколько лет начальная сумма удвоится, если начисляются простые проценты по ставке 10 % годовых?

2. Через сколько лет начальная сумма удвоится, если начисляются сложные проценты по ставке 10 % годовых?

3. Определить сумму вклада, которую нужно положить в банк сроком на 2 месяца под 10% годовых (простые проценты), чтобы получить 1200 руб.

4. 7 марта в банк положили 10000 руб. под ставку 10 % годовых. Какую сумму снимет вкладчик 30 апреля? Считать, что начисляются сложные проценты методом 365/365.

5. Какая сумма предпочтительнее при ставке 6 % годовых: 1000 руб. сегодня или 2000 руб. через 8 лет? При какой ставке финансовые результаты эквивалентны?

6. Определить, какое помещение денег на срок 6 месяцев выгоднее: под простую ставку в 10% годовых или под сложную в 9% годовых при ежеквартальном начислении процентов.

7. Под какой годовой процент достаточно положить 1000 руб., чтобы через 3 года с ежеквартальным начислением сложных процентов получить 1300 руб.?

8. Номинальная процентная ставка 12 % годовых. Какова эффективная процентная ставка, если проценты начисляются ежеквартально?