ВОПРОС 14. Модель фирмы (модель поведения производителей)

Пусть производственная фирма выпускает один продукт (или много продуктов, но с постоянной структурой). Годовой выпуск в натурально-вещевой форме X - это количество единиц продукта одного вида (ли количество багатономенклатурних агрегатов).

Использованные ресурсы: L - живая труд (в виде средней численности занятых за год или отработанных за год человеко-часов); K - средства труда (основные производственные фонды); M - предметы труда (израсходованное за год топливо, энергия, сырье, материалы, комплектовочные изделия и т.п.).

Каждый из агрегованих видов ресурсов (работа, фонды, материалы) имеет определенное количество разновидностей.

Обозначим вектор-столбик возможных объемов затрат разных видов ресурсов через x = (x ₁, …, x_n)¢. Тогда технология фирмы будет определяться ее производственной функцией, которая выражает связь между затратами ресурсов и выпуском:

X = F (x). (8.1)

Допускает гипотеза, которая F(x) дважды неперервно дифференцированная и неоклассическая, и вдобавок матрица ее вторых производных есть від'ємно определенной.

Если w = (w ₁, …, w_j, …, w_n) — вектор-строка цен ресурсов, а р — цена продукции, то каждому вектору затрат х отвечает прибыль:

П (х) = pF (x) – wx. (8.2)

У (8.2) R = pX = pF (x) — стоимость годового выпуска фирмы или ее годовой доход, C = wx — затраты производства или стоимость затрат ресурсов за год.

Если не вводить других ограничений, кроме неотъемлемых затрат ресурсов, то задача на максимум прибыли наберет вида:

(8.3)

Это задача нелинейного программирования с n условиями неотъемлемости x 0, необходимыми условиями ее решения есть условия Куна-Таккера: (8.4)

Если в оптимальном розв'язку используются все виды ресурсов, то есть x* > 0, то условия (8.4) будут иметь вид:

(8.5)

или

то есть в оптимальной точке стоимость предельного продукта данного ресурса должна равняться его цене.

Такой самый (по форме) розв'язок имеет задача на максимум выпуска за заданного объема затрат

(8.6)

Это задача нелинейного программирования с одним линейным ограничениям и условием неотъемлемости сменных.

Построим функцию Лагранжа:

L (x, l) = F (x) + l (C – wx),

теперь максимизируем ее при условии неотъемлемости сменных.

Для этого необходимо, чтобы выполнялись условия Куна-Теккера:

(8.7)

Как видим, условия (8.7) целиком совпадают с (8.4), если положить

 

15. ВОПРОС 15.Модель поведения фирмы на конкурентных рынках (два конкурента).

За совершенной конкуренции, если участников рынка много, цены на рынке не зависят от действий отдельных производителей и потребителей. Если же, наоборот, участников рынка немного, цены на рынке зависят от стратегий, что их придерживаются эти участники.

Рассмотрите пример с двумя конкурентами, которые вырабатывают одну и одну и ту же продукцию, каждый согласно с своей производственной функцией:

(8.22)

В этом случае цена продукции зависит от обоих выпусков (обоих участников):

(8.23)

причем она снижается с возрастанием выпуска:

Цены на ресурсы зависят от объемов их купли:

(8.24)

Цены возрастают за возрастание спроса:

Каждая фирма стремится максимизировать свою прибыль. Например, первая фирма должна действовать таким чином:

(8.25)

при условии

Функция Лагранжа имеет вид:

Исключив l с 1-го уравнение, получим (n + 1) уравнение для определения стратегии первой фирмы:

(8.26)

Розв'язок этих уравнений зависит от

Последние есть ожидаемой реакцией второй фирмы на стратегию первой.

Делая разные предположения и предполагая гипотезы относительно этой реакции, получим разные розв'язки задачи конкуренци.

Проанализируйте разные варианты розв'язку задачи в упрощенной постановке, если не рассматривается конкуренция на рынке ресурсов.

Затраты обоих фирм есть одинаковыми линейными функциями выпуска (с - предельные затраты, d - постоянные затраты):

цена продажи - линейная функция от общего выпуска (Х) обоих фирм:

р (X) = a – bX, X = X ₁ + X ₂

(b - спадание цены при условии возрастания на единицу общего выпуска).

Тогда выражения для прибылей конкурирующих фирм наберут вида:

(8.27)

Где X ₀ = (a – c) / b — величина общего выпуска, за которой прибыль каждой фирмы есть отрицательным и равняется - d.

Имеем

(8.28)

отсюда выпуск, который максимизирует прибыль, равняется:

(8.29)

Аналогічно

(8.30)