ВОПРОС 8. Виды производственных функций (производственные функции Леонтьева, Кобба-Дугласа, линейная).

Функция с фиксированными пропорциями факторов (функция Леонтьєва).

, (5.1)

где а ₁, а ₂ — параметри.

Известно несколько альтернативных систем (гипотез), которые виокремлюють функции этого вида:

а) предельная производительность первого фактора есть двухуровневой кусков-постоянной невозрастающей функцией от соотношения с нулевым нижним уровнем. Предельная производительность второго фактора - ненисходящая кусков-постоянная функция от с нулевым нижним уровнем;

б) функция есть розв'язком такой задачи математического программирования:

де у — сменная, которую оптимізують;

в) функция есть однородной, а эластичность замены факторов равняется нулю;

г) функция может быть получена из функции с постоянной эластичностью вида

 

путем предельного перехода:

Функция Леонтьєва предназначена в основном для моделирования строго детермінованих технологий, которые не допускают отклонения от технологических норм и нормативов относительно использования ресурсов на единицу продукции. Как правило, она используется для формализованного описания мелкомасштабных или целиком автоматизированных объектов.

Функция Кобба-Дугласа

. (5.2)

Здесь также используется несколько систем гипотез, которые виокремлюють класс функций Кобба-Дугласа среди дважды дифференцированных функций от двух сменных:

а) эластичности выпуска за факторами есть постоянными:

.

Розв'язок этой системы дифференционных уравнений в частинних производных первого порядка належит к классу функций Кобба-Дугласа;

б) эластичность функции за одним из факторов есть постоянной, и функция есть однородной;

в) функция есть однородной, а эластичности уменьшения факторов за Алленом и Михайловським равняются единицы;

г) предельная производительность каждого фактора есть пропорциональной его средней производительности;

д) функция есть однородной как функция от х ₁, х ₂ и как функция от х ₁ за любого фиксированного х ₂;

е) функция может быть получена из функции с постоянной эластичностью путем осуществления замены вида

и предельного перехода а ₃ ® 0. Функция Кобба-Дугласа наиболее частое используется для формализованного описания середньомасштабних хозяйственных объектов и экономики страны.

Линейная функція

. (5.3)

Предпосылки и гипотезы:

а) предельные производительност факторов есть постоянными:

,

а в нуле функция приобретает нулевого значения;

б) предельная производительность одного из факторов есть постоянной, и функция однородная первой степени:

;

в) функция однородная, и эластичность замены факторов, за Алленом, есть бесконечной;

г) эластичность выпуска за факторами обратно пропорциональная их средний производительности.

Линейная функция применяется для моделирования крупномасштабных систем (большая область, народное хозяйство в целом), в которых выпуск продукции есть результатом одновременного функционирования большого количества разнообразных технологий. Особую роль сыграет гипотеза постоянности предельных производственных факторов ли их неограниченного замещения.