Построение интервального ряда распределения единиц выборки по выручке на 1 га С. -х. Угодий и его характеристика системой показателей

Интервальный ряд распределениястроится в следующей последовательности: а) определение группировочного признака, т. е. признака, по которому следует формировать группы;

В нашем примере группировочным признаком является выручка на 1 га с.х.угодий.

б) построение ранжированного ряда по группировочному признаку;

в) анализ характера изменения признака в ранжированном ряду ( по огиве Гальтона);

г) определение числа групп

При неравномерном распределении признака следует формировать группы с неравными интервалами. Число групп определяется по количеству «скачков», т.е. резких переходов от одних значений признака к другим.

При равномерном изменении признака формируются группы с равными интервалами, и их число определяется по формуле m = или

m =1+3.322 lg N,

где N – число единиц в совокупности

д) определение шага интервала (h)

При равномерном изменении признака шаг рассчитывается по формуле

h=

е) определение границ интервалов

В каждом интервале две границы: нижняя и верхняя. Разность между верхней и нижней границей интервала равна шагу интервала h.

Для первой группы нижняя граница интервала равна первому значению признака в ранжированном ряду. Прибавляя к этому значению шаг интервала h, получаем верхнюю границу первой группы. Верхняя граница первого интервала при непрерывном характере признака является одновременно нижней границей второго интервала. Прибавляя к ней шаг интервала, определяем верхнюю границу второго интервала и т.д.

ж) подсчет числа единиц (частот встречаемости) в каждом интервале

Подсчет проводится по ранжированному ряду. Если значение признака попадает на границу групп (например, первой и второй групп), то, как правило, единицу учитывают по верхней границе (в первой группе) по принципу «включительно».

Результаты подсчета записываются в таблицу (таблица 5).

Таблица 5- Интервальный ряд распределения хозяйств по

выручке на 1 га с.-х. угодий

 

№ группы	Интервал по выручке, тыс.руб./га (xi)	Число хозяйств (fi)	Частость, в % к итогу
…
итого	х		100,0

 

З) графическое изображение интервального ряда распределения и выводы о распределении плотности единиц по группам.

 

К статистическим показателям, характеризующим ряд распределения, относятся 1) средние величины (их называют также показателями центральной тенденции), характеризующие типические черты совокупности, 2)показатели вариации, характеризующие изменчивость признака в совокупности, и 3) показатели формы распределений, характеризующие асимметричность (скошенность) и островершинность (плосковершинность) изучаемого распределения относительно нормального распределения.

Средние величины могут быть получены на основе всех индивидуальных значений признака («степенные средние» - ) или на основе отдельных значений признака («структурные средние», в частности модальное значение признака (мода - ) – значение признака с наибольшей частотой встречаемости и медианное значение признака (медиана - ) – значение признака, делящее ранжированный ряд единиц совокупности пополам).

Средняя в интервальному ряду определяется по средней арифметической

За индивидуальные значения признака () в интервальном ряду условно принимаются серединные значения интервалов. Срединные значения интервалов определяют как полусумму значений нижней и верхней границ интервалов.

Модальное значение признака вычисляется по формуле

, где

x₀ -_- начальное значение модального интервала

f _mo -частота модального интервала

f _mo-1 - частота интервала, предшествующая модальному интервалу.

f _{mo+1 -} частота интервала, следующего за модальным интервалом.

h -шаг интервала

 

Определение медианы в интервальном ряду по алгоритму схоже с определением модального значения: сначала определяется медианный интервал, а затем в нем по формуле рассчитывается конкретное значение медианы. Для определения медианного интервала для каждого интервала определяют накопленную частоту. Далее устанавливается адрес медианы по формуле

n _{мe = .}

медианное значение признака рассчитывается по формуле

где x_{0 -} начальное значение модального интервала

h -шаг интервала

N - общее число единиц совокупности

(+1) – используется в рядах с нечетным числом единиц совокупности

S_me – накопленная частота до медианного интервала

f_me - частота медианного интервала

 

Показатели вариации могут характеризовать максимальную колеблемость признака (размах вариации) и среднюю колеблемость признака в совокупности (среднее линейное отклонение, среднее квадратичное отклонение, дисперсия признака). Именованные показатели (кроме дисперсии), деленные на среднюю величину , позволяют получить относительные показатели вариации (коэффициент осцилляции, коэффициенты вариации).

Для расчета показателей вариации необходимо составить вспомогательную таблицу (таблица 6)

Таблица 6- Исходные и расчетные данные для определения показателей

вариации в интервальном ряду распределения

Исходные данные	Расчетные данные
Серединное значение интервала (хi)	Число хозяйств (fi)					fi	( )^2	^2 fi
…
…
Итого		х	х		Х

 

Размах вариациирассчитывается по ранжированному ряду R=X_max - X_min

Среднее линейное отклонение вычисляется по формуле

L=

где x_i - значение признака, - средняя арифметическая,

f_i - частота встречаемости признака в совокупности.

Дисперсия может быть рассчитана по основной и рабочей формуле. Для гарантированной точности расчетов следует рассчитать и сопоставить результаты расчетов по двум формулам. Дисперсия по основной формуле:

Дисперсия по рабочей формуле:

 

Среднее квадратическое отклонение определяется как корень квадратный из дисперсии

Далее определяются относительные показатели вариации.

Коэффициент осцилляции

Относительное линейное отклонение (линейный коэффициент вариации)

Коэффициент вариации ( квадратический коэффициент вариации):

Показатели формы распределений включают, прежде всего характеристику симметричности распределения признака – коэффициент скошенности (асимметрии) и характеристику островершинности распределения – коэффициент эксцесса.

Для оценки асимметрии применяются 2 показателя. Первый коэффициент скошенности определяется как отношение центрального момента 3-го порядка () к среднему квадратичному отклонению в 3-ей степени ()

,

где =

Второй коэффициент (предложил К.Пирсон) рассчитывается как отношение разности средней арифметической и моды распределения к среднему квадратичному отклонению

Аs =

Если коэффициенты положительны, то можно сделать вывод о положительной, правосторонней скошенности. Коэффициент асимметрии Пирсона характеризует, прежде всего, асимметрию середины распределения, а показатель, рассчитанный по центральному моменту – асимметрию крайних значений распределения. Если коэффициент Пирсона больше по значению, можно заключить, что в центре распределения асимметрия выражена сильнее. При несильных отличиях коэффициентов от 0 сделают вывод о невысокой, умеренной асимметрии.

Коэффициент островершинности (коэффициент эксцесса) рассчитываются как отношение центрального момента 4 порядка к квадрату дисперсии признака. При нормально распределенной совокупности отношение равно 3. Чтобы сравнение было с нулевым значением, в формуле, из отношения вычитается 3: , где

Если коэффициент островершинности положительный, распределение характеризуется как островершинное. При наличии отрицательного коэффициента распределение плосковершинное.

 

5. Анализ причинно-следственных связей признаков выборочной совокупности.

А) Анализ связи начинается с построения результативной аналитической группировки, целью которой является анализ связи выручки с факторами производства. Группы интервального ряда по выручке на 1 га с.-х. угодий характеризуются системой абсолютных показателей, на основе которых рассчитываются относительные показатели. Расчеты целесообразно вести в таблицах, примерные макеты которых приведены ниже.

Таблица 7- Сводные данные по результативной аналитической группировке

Группы по выручке на 1 га с.-х. угодий	Число хозяйств в группе ()	Выручка от реализации продукции сельского хозяйства с собственной переработкой, тыс. руб.	Полная себестоимость продукции сельского хозяйства с собственной переработкой, тыс. руб.	Прибыль от реализации продукции сельского хозяйства с собственной переработкой, тыс. руб.	Число работников сельского хозяйства, чел.	Производственные затраты в сельском хозяйстве, тыс. руб.
1.до…
2 ….-…
……
Итого

 

Таблица 8- Анализ связи выручки с факторами и результатами экономической деятельности предприятий (результативная аналитическая группировка)

 

Группы по выручке на 1 га с.-х. угодий	Число хозяйств в группе ()	На 1 га с.-х. угодий	Уровень рентабельности реализации продукции сельского хозяйства, %
Выручка от реализации продукции сельского хозяйства с собственной переработкой, тыс. руб.	Прибыль от реализации продукции сельского хозяйства с собственной переработкой, тыс. руб.	Число работников сельского хозяйства, чел.	Производственные затраты в сельском хозяйстве, тыс. руб.
1.до…
2 ….-…
……
Итого

 

По данным таблицы 8 делается вывод о статистической закономерности изменений значений показателей от первой группы к последней группе. Закономерное изменение показателя (рост или снижение) свидетельствует о связи с группировочным признаком. Между показателями в группах также существует корреляционная связь. Например, производственные затраты на единицу площади и обеспеченность рабочей силой влияют на выручку от реализации продукции. В свою очередь, выручка от реализации продукции влияет на уровень рентабельности. Если группировка показывает отсутствие закономерного роста (или снижения) значения показателя по группе, то делается вывод о том, что связь отсутствует или слабо выражена. Например, группировка показала закономерный рост производственных затрат и нечеткую картину роста обеспеченности рабочей силой. Можно сделать вывод о том, что для роста выручки сельского хозяйства наиболее значимым фактором является интенсификация производства, так как производственные затраты на единицу площади возрастают.

Б) Для исследования более детальной связи выручки и основного факторного признака далее проводится работа по выделению групп по факторному существенному признаку (в нашем примере, по производственным затратам на 1 га с.-х. угодий). С этой целью, строится интервальный ряд по производственным затратам на 1 га с.-х. угодий и каждая группа характеризуется результативными показателями: выручкой на 1 га с.-х. угодий, прибылью и уровнем рентабельности. Результаты группировки целесообразно оформить в таблицах, макеты которых представлены ниже.

Таблица 9- Сводные данные по факторной группировке, результаты реализации продукции сельского хозяйства с собственной переработкой, тыс.руб.

 

Группы по затратам на 1 га с.-х. угодий	Число хозяйств в группе,	Выручка	Полная себестоимость	Прибыль
1.до…
2….-…
……
Итого

По таблице 10 делаются выводы о связях признаков.

Таблица 10- Анализ влияния уровня вложений (производственных затрат) на результаты экономической деятельности предприятий (факторная аналитическая группировка)

 

Группы по затратам 1 га с.-х. угодий	Число хозяйств группе ()	От реализации продукции сельского хозяйства с собственной переработкой на 1 га с.-х. угодий, тыс. руб.	Уровень рентабельности, %
Выручка	Прибыль
1.до…
2 ….-…
……
В среднем

 

В) Для статистической оценки существенности различий выручки на 1 га с.-х. угодий в группах факторной группировки (по усмотрению студента и согласованию с преподавателем может быть также взят показатель прибыли или рентабельности) далее необходимо провести дисперсионный анализ.

Дисперсионный анализ применяется для проверки статистических гипотез относительно средних величин в нескольких генеральных совокупностях.

При проверке гипотез методом дисперсионного анализа используется критерий F-распределения, который представляет собой отношение дисперсий двух выборок, сделанных из одной нормально распределенной генеральной совокупности: где S₁ ² S₂ ²

Если нулевая гипотеза основана на предположении, что все выборки взяты из нормально распределенных генеральных совокупностей с равными средними величинами (H₀ : … ), критическая область критерия определяется как F_факт F_α. Это означает, что если F_факт F_α, от нулевой гипотезы о равенстве средних величин в генеральных совокупностях следует отказаться. Если же F_факт F_α, нулевая гипотеза должна быть принята.

Дисперсионный анализ следует проводить по этапам:

1) Сформулировать статистические гипотезы (нулевую и альтернативную)

H ₀ : , (средние уровни выручки по группам с разными вложениями в генеральной совокупности равны);

H_а : (средние уровни выручки по группам с разными вложениями в генеральной совокупности не равны).

2) Рассчитать фактическое значение критерия F_факт, для чего

а) определить общий объем вариации изучаемого признака (W _общ) и разложить его на составляющие части – вариацию между выборками (W_{межгрупп}) и вариацию внутри выборок (остаточную -W _{остаточн}.), иными словами построить модель дисперсионного анализа. В нашем примере, при наличии одного фактора – уровня вложений в производство, случайном формировании единиц в группах модель будет следующей:

W общ = W фактора + W остаточная,

где общий объем вариации равен ,

W фактора равен

W остаточная = W общ - W фактора

 

б) определить число степеней свободы для всех объемов вариации (V _i),

в) рассчитать дисперсии (S _i ²) по каждому источнику вариации, как отношение объемов вариации (W) к соответствующему числу степеней свободы (V),

г) рассчитать фактическое значение критерия Фишера по формуле

где S²_межг. S² _{остаточ}

3) Определить по таблицам теоретическое значение критерия F

4) Сопоставить фактическое значение критерия (F_факт) с теоретическим (F_теорет) и сделать вывод о принятии или отвержении от нулевой гипотезы.

Результаты дисперсионного анализа целесообразно оформить в виде таблицы 11.

Таблица 11- Расчет и анализ дисперсий

Источник вариации	Объем вариации W	Число степеней свободы V	Дисперсия   S^2	Значение F- распределения
Фактическое	Табличное
Производственные затраты
Случайные факторы				х	Х
Итого			х	х	х

 

Математический вывод о принятии или отвержении нулевой гипотезы следует дополнить практически значимым выводом о достоверности связи выручки и уровнем интенсивности производства (производственными затратами).

 

Г) статистическая оценка достоверной связи выручки с обеспеченностью работниками проводится на основе критерия как критерия независимости.

Для проведения анализа необходимо построить двумерный ряд распределения одновременно по двум признакам: по выручке на 1 га с.х. угодий (выделить 2 группы) и численности работников на 100 га с.х. угодий (выделить 2 подгруппы). Ряд целесообразно оформить в таблицу 12.

Таблица 12- Распределение хозяйств по выручке и обеспеченности работниками

 

Группы по выручке на 1 га с.х. угодий	Подгруппы по обеспеченности работниками на 100 га с.-х. угодий	итого	В % к итогу
А) до …чел.	Б) св….чел.
I	n1	n2	n1 + n2
II	n3	n4	n3 + n4
итого	n1+ n3	n2 + n4	N= n1 + n2+ n3 + n4	100,0

 

При распределении важно учесть, чтобы численность единиц в ячейках таблицы была не менее 5 единиц.

Проверка статистической гипотезы о независимости эмпирических распределений в генеральной совокупности в соответствии с общей схемой начинается с формулировки гипотез.

Н_о: эмпирические распределения независимы;

Н_а: эмпирические распределения зависимы (обеспеченность работниками оказывает положительное влияние на экономический результат).

Фактическое значение критерия рассчитывается по формуле

_факт.=

где -фактические численности в группах и подгруппах

- ожидаемые (гипотетические) численности при верной нулевой гипотезе.

Для расчета ожидаемых численностей необходимы суммы частот в каждом интервале и общее число единиц в совокупности: , и . Далее определяется удельный вес каждой группы в общей численности единиц (процентное отношение частот каждого интервала к общему числу единиц в совокупности -последняя графа табл.12). При расчете ожидаемых численностей исходим из нулевой гипотезы о независимости распределений и предполагаем, что распределение хозяйств в подгруппе А и Б одинаково и равно процентному отношению по совокупности в целом. Например, для ячейки I-a ожидаемая частота будет равна = , для ячейки II-a ожидаемая частота будет равна = или разность (N- ). Для ячейки I-б ожидаемая частота будет равна = . Для ячейки II -б ожидаемая частота будет равна = . Результаты расчетов ожидаемых численностей с округлением до целых (число предприятий - дискретная величина) целесообразно оформить в таблицу 13.

Таблица13- Ожидаемые (гипотетические) распределения хозяйств по обеспеченности работников и размеру выручки ()

Группы по выручке на 1 га с.х. угодий	Подгруппы по обеспеченности работниками на 100 га с.-х. угодий	Итого
А) до …чел.	Б) св….чел.
I	ñ1	ñ2	ñ1 + ñ2
II	ñ3	ñ4	ñ3 + ñ4
Итого (	ñ1+ ñ3	ñ2 + ñ4	N= ñ1 + ñ2+ ñ3 + ñ4

 

Суммы гипотетических частот должны быть равны суммам фактических частот (итоги строк и граф таб.12 и 13). Соответственно общее число единиц гипотетических и эмпирических распределений должно быть равным .

Для расчета фактического значения критерия по формуле далее определяются разности между фактическими и гипотетическими численностями. результаты записываются в таблицу 14. Поскольку суммы фактических и гипотетических частот по интервалам равны, суммы разностей должны равняться нулю.

Таблица14- Разности фактических и ожидаемых частот ( - )

Группы по выручке на 1 га с.х. угодий	Подгруппы по обеспеченности работниками на 100 га с.-х. угодий	Итого
А) до …чел.	Б) св….чел.
I	n1 -ñ1	n2 -ñ2
II	n3 -ñ3	n4 -ñ4
Итого (

 

По разностям определяют фактическое значение критерия

_факт.=

Табличное значение определяется по уровню значимости (α = 0.05) и по числу степеней свободы , где l - общее число интервалов в распределениях; k - число независимых ограничивающих линейных связей. l = ав, где а и в - число интервалов по каждому признаку; k = а + в -1. Тогда = ав - (а+ в - 1) = (а - 1)(в - 1). Для рассматриваемого примера = (2 - 1) (2 - 1) = 1.

После сравнения фактического значения с табличным следует сделать математический вывод о принятии или отвержении нулевой гипотезы и практически значимый вывод о достоверности связи выручки с обеспеченностью работниками.

Д) Следующий этап работы связан с применением корреляционно-регрессионного анализа.

Корреляционно-регрессионный анализприменяется для определения количественных характеристик корреляционной связи, проявляющейся в среднем по достаточно большому числу наблюдений. С этой целью связь между переменными выражается посредством математического уравнения соответствующего вида, называемого уравнением корреляционной связи или уравнением регрессии. Например, линейная связь между двумя переменными (парная связь) выражается уравнением: , между несколькими переменными (множественная связь) - и т.д.

В уравнениях регрессии - зависимая переменная, - независимые переменные, - параметры уравнения. Параметр - начало отсчета. В уравнении линейной парной связи параметр называется коэффициентом полной регрессии; он показывает, на сколько единиц в среднем изменится значение зависимой переменной при изменении независимой на единицу. В уравнениях линейной множественной связи параметры называются коэффициентами чистой регрессии; каждый из них показывает, на сколько единиц в среднем изменится значение зависимой переменной при изменении соответствующей независимой переменной на единицу при условии, что другие независимые переменные, включенные в уравнение, не изменяются.

Следует помнить, что вопрос об установлении вида уравнения является одним из наиболее сложных в корреляционном анализе. При парных связях он может быть решен посредством графиков путем нанесения фактических значений зависимой переменной при соответствующих значениях независимой переменной на корреляционное поле. При достаточно большом числе единиц наблюдения определенное представление о виде уравнения дает построение рядов распределения по двум признакам, или так называемых корреляционных таблиц.

Для изучения наличия и направления связи выручки на 1 га с.-х. угодий с несколькими факторами эффективно применение результативной группировки по выручке с рассмотрением средних значений факторных признаков (см.п.А). Для определения формы связи можно сопоставить по каждой группе средние значения результативного и факторных признаков. Постоянство этих соотношений по группам будет свидетельствовать о наличии линейной формы связи. Перед составлением уравнения множественной связи необходимо исключение возможной коллинеарности факторов. С этой целью анализируется матрица парных коэффициентов корреляции, которая может быть получена в результате анализа данных по программе Excel (корреляция). Но коэффициент парной корреляции между факторами в матрице не превышает по своему значению коэффициенты парной корреляции результативного признака (выручки) с каждым из них, то в одну модель можно включать оба фактора.

После установления вида уравнения необходимо исчислить показатели регрессионной связи. В частности, следует решить уравнение регрессии, то есть найти значения его параметров.

При этом параметры уравнения должны быть определены способом наименьших квадратов, в соответствии с которым сумма квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной от значений, определенных по уравнению, должна быть минимальной: . Поэтому для определения параметров решают систему нормальных уравнений. Число нормальных уравнений в системе равно числу параметров уравнения регрессии. Так, для парной линейной связи, выраженной уравнением х₀=а₀+а₁х₁, где а₀ и а₁ - неизвестные параметры уравнения, система нормальных уравнений имеет вид:

Для двухфакторной множественной модели линейного вида х₀ =а₀+а₁ х₁+а₂ х₂ система уравнений имеет следующий вид:

 

åх₀ = n a₀ + a₁åх₁ + a₂åх₂;

åх₀ х₁ = a₀åх₁ + a₁å + a₂åх₁х₂;

åх₀ х₂ = a₀åх₂ + a₁å х₁х₂ + a₂åх₂²

Так как коэффициенты чистой регрессии несопоставимы между собой, во множественной регрессии возникает необходимость применения дополнительных показателей: коэффициентов эластичности, β-коэффициенты и коэффициенты отдельного определения. Коэффициенты эластичности определяются по формуле и показывают, на сколько процентов изменится зависимая переменная при изменении независимой на 1 %.

β-коэффициенты (бета-коэффициенты) определяют по формуле: . Они показывают, на сколько среднеквадратических отклонений изменится зависимая переменная при изменении независимой переменной на свое среднеквадратичное отклонение.

Коэффициенты отдельного определения рассчитываются по формуле , где - парные коэффициенты корреляции зависимой переменной с фактором; -бета-коэффициенты. Они показывают долю вариации зависимой переменной, обусловленную вариацией факторного признака.

Сумма коэффициентов отдельного определения равна множественному коэффициенту детерминации: + =

 

После определения параметров уравнения должна быть дана количественная характеристика тесноты связи между переменными, включенными в уравнение. При парной линейной зависимости тесноту связи характеризуют коэффициентом детерминации (r ²) и коэффициентом корреляции (r), при множественной - соответственно, коэффициентом множественной детерминации (R ²) и коэффициентом множественной корреляции (R).

Коэффициент детерминации может быть исчислен по следующей основной формуле: r ² (R ²)= _., где _. - дисперсия воспроизведенная, характеризующая колеблемость зависимой переменной под влиянием независимых переменных, включенных в уравнение регрессии; _о - общая дисперсия зависимой переменной.

Следует помнить, что коэффициент детерминации показывает, какая доля общей вариации зависимой переменной обусловлена влиянием изучаемых независимых переменных; его величина заключена в пределах от 0 до 1. Соответственно и коэффициент корреляции, представляющий собой корень квадратный из коэффициента детерминации r (R) = изменяется от 0 до 1. Знаки "+" и " - " при коэффициенте парной связи означает направление связи; "+" - связь прямая, "-" - связь обратная. Равенство коэффициентов нулю означает, что связь между переменными отсутствует, равенство коэффициентов единице означает, что между переменными существует функциональная зависимость. Анализ градаций коэффициента корреляции по шкале Чеддока позволяет дать характеристику тесноты связи:

r	До 0,3	0,31-,050	0,51-,70	0,71-0,90	0,91-0,99
связь	Практически отсутствует	слабая	средняя	Сильная (тесная)	Очень сильная

 

В практических расчетах для определения коэффициентов корреляции и детерминации используют ряд рабочих формул.

-Коэффициент корреляции при парной линейной связи

- Коэффициент детерминации при множественной линейной связи зависимой переменной с двумя факторами.

 

Е) Следующий этап работы- проверка статистических гипотез относительно показателей корреляционной связи и статистическая оценка показателей связи в генеральных совокупностях при парной линейной зависимости, т.к. корреляционный анализ проводится по данным выборочного наблюдения.

Статистические гипотезы выдвигаются относительно коэффициентов регрессии и коэффициентов корреляции. Проверка осуществляется с помощью критерия t-Стьюдента.

Нулевая гипотеза об отсутствии связи выручки с фактором и равенстве коэффициента регрессии в генеральной совокупности нулю имеет вид:

Н₀: = 0;

Альтернативная гипотеза противоположна по содержанию Н_а: .