Отношения между простыми высказываниями по истинности

Между высказываниями с одним и тем же субъектом и предикатом существуют следующие типы отношений: контрадикгорности (про­тиворечия), контрарности (противности), субконтрарности (подпро-тивности) и подчинения. Тип отношения зависит от того, высказыва­ния какого вида (А, Е, J, О) мы анализируем. Графическая схема от­ношений воспроизводится с помощью логического квадрата.Буквы в углах квадрата символизируют виды высказываний, а стороны и диагонали квадрата - возможные типы отношений.

Отношение контрадикторности существует между А и О, Е и J и характеризуется тем, что высказывания, находящиеся в отношении данного типа, не могут быть одновременно ни истинными, ни ложны­ми, т. е. одно высказывание обязательно истинно, а другое - ложно.

Отношение контрарности характерно для высказываний А и Е. В данном случае высказывания не могут быть одновременно ис­тинными, но могут быть одновременно ложными.

Отношения субконтрарности существуют между высказыва­ниями J и О. В данном случае высказывания не могут быть одно­временно ложными, но могут быть одновременно истинными.

Отношения подчинения существуют между А и J, E и О. Для данного типа отношений характерно, что истинность подчиняюще­гося высказывания (А или Е) обусловливает истинность подчинен­ного (J или О), но не наоборот. В то же время ложность подчинен­ного высказывания обусловливает ложность подчиняющего, но не наоборот.

Сложное высказывание

Логическое значение сложного высказывания в современной ло­гике ставится в зависимость (является функцией) от логических значений простых высказываний. Последние рассматриваются в качестве исходных элементов логики высказываний, ее строитель­ных блоков.

Сложные высказывания образуются из простых с помощью ло­гических союзов (операций). Важнейшие из них - отрицание, конъ­юнкция, дизъюнкция (слабая и сильная), импликация, эквива-ленция. Принято называть сложное высказывание именем логиче­ского союза, с помощью которого оно образовано.

Отрицанием высказывания Р называется высказывание, обозна­чаемое выражением Р, которое истинно тогда и только тогда, когда Р ложно. Данное определение можно выразить с помощью табл. 3.2 (таблицы истинности), где «И» обозначает «истинно», а «Л» -

«ложно».

Таблица 3.2

 

р	Не-р
и л	л и

Конъюнкцией высказываний Р и Q называется высказывание, обозначаемое выражением Р л Q, которое истинно тогда и только тогда, когда Р и Q истинны (см. 3-й столбец табл. 3.3). Выражение Р л Q читается «Р и Q».

Таблица 3.3

 

р	Q	PÙQ	PvQ	P v Q	P→Q	P↔Q
и л и л	и и л л	и л л л	И И И Л	Л и и л	И И Л И	И Л Л И

Дизъюнкцией слабой высказываний Р и Q называется высказы­вание, обозначаемое выражением PvQ, которое истинно, когда хо­тя бы одно из выражений Р и Q истинно (см. 4-й столбец табл. 3.3). Выражение PvQ читается «Р или Q».

Дизъюнкцией сильной высказываний Р и Q называется высказы­вание, обозначаемое выражением P v Q, которое истинно тогда и только тогда, когда только одно из выражений Р и Q истинно (см. 5-й столбец табл. 3.3). Выражение P v Q читается: «Либо Р, либо Q».

Импликацией высказываний Р и Q называется высказывание, обозначаемое выражением Р -» Q, которое ложно тогда и только тогда, когда Р истинно, a Q ложно (см. 6-й столбец табл. 3.3). Выра­жение читается: «Если Р, то Q», «Из Р следует Q» и т. д. При этом Р называется основанием, a Q - следствием импликации.

Эквиваленцией высказываний Р и Q называется высказывание, обозначаемое выражением Р ↔Q, которое истинно тогда и только тогда, когда логические значения Р и Q совпадают (см. 7-й столбец табл. 3.3). Выражение P↔Q читается: «Р тогда и только тогда, ко­гда Q», «Р эквивалентно Q».

Названные операции могут применяться для действий как с про­стыми, так и со сложными высказываниями.

Зная логические значения исходных высказываний, можно со­ставить таблицу истинности высказываний более сложной формы. Порядок выполнения операций при этом указывается скобками.