Релейно-контактные схемы (переключательные схемы)

Среди технических средств автоматизации важную роль имеют устройства релейно-контактного действия. Они широко используются в электронно-вычислительной технике, в технике автоматического управления и т. д.

Релейно-контактные устройства (их в общем случае называют релейно-контактными схемами или переключательными схемами) состоят из проводников и двухпозиционных контактов. Эти контакты подсоединяются к реле (переключателям). К одному реле может быть подсоединено несколько контактов.

Контакты переключательной схемы бывают двух типов: замыкающие и размыкающие. Если реле включено, то замыкающие контакты замыкаются, а размыкающие – размыкаются. И наоборот, если реле выключено, то замыкающие контакты размыкаются, а размыкающие замыкаются. Между собой контакты могут быть соединены последовательно или параллельно.

Переключательные схемы могут содержать огромное количество контактов, и поэтому проектирование и конструирование релейно-контактных устройств – сложная задача. Решение этой задачи существенно упрощается с использованием алгебры логики. Это возможно, так как каждой переключательной схеме можно сопоставить некоторую формулу алгебры логики и наоборот. Это позволяет установить возможности заданной схемы, изучая соответствующую формулу алгебры логики, а задачу упрощения схемы свести к упрощению (оптимизации) формулы алгебры логики.

Рассмотрим, соответствие между формулами алгебры логики и переключательными схемы (П-схемами).

Переключательная схема – это схемотехническое изображение релейно-контактной схемы, содержащая такие элементы:

· контакты, которые могут иметь любую возможную техническую реализацию;

· проводники, соединяющие контакты;

· входы в схему и выходы с нее – полюсы схемы.

Каждому замыкающему контакту П-схемы сопоставляется логическая переменная, а каждому размыкающему контакту – отрицание переменной. Эта переменная или ее отрицание принимает значения 1, если соответствующий контакт находиться в замкнутом состоянии, и 0, если контакт разомкнут.

Простейшая переключательная схема приведена на рис. 1. Здесь A, B – полюса схемы,

A

B

p

Рис. 1. П-схема логической переменной.

Конъюнкция двух логических переменных и представлена схемой с последовательно соединенными контактами (рис. 2).

Рис. 2. П-схема конъюнкции.

A

B

p

q

Эта схема пропускает ток, если замкнуты оба контакты.

Дизъюнкция представлена схемой с параллельно соединенными переключателями (рис.3). Эта схема пропускает ток, если хотя бы один из переключателей замкнут.

Рис. 3. П-схема дизъюнкции

A

B

p

q

Формула представляется П-схемой (рис. 4), которая всегда не пропускает ток, что соответствует тому, что .

Рис. 4. П-схема формулы

A

B

Формула представляется переключательной схемой (рис. 5), которая всегда пропускает ток, что соответствует тому, что .

 

A

B

Рис. 5. П-схема формулы

С использованием схем на рис.1 – 5, путем последовательного и параллельного соединения, можно построить сколь угодно сложные новые П-схемы.

Из алгебры логики известно, что любую формулу можно записать, используя операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Это означает, что любую формулу алгебры логики можно представить соответствующей П-схемой.

Пример 1

Построить П-схему эквивалентности

.

Выполнение. П-схема:

A

B

∎

Пример 2

Построить П-схему импликации.

Выполнение. Учтем, что

.

П-схема:

A

B

∎

Пример 4.3

Построить П-схему для оценки спортивного состязания, в котором судят три судьи. Судья, засчитывающий результат, нажимает кнопку, которая имеется в его расположении, а судья, не засчитывающий результат – не нажимает. Если кнопку нажали не меньше двух судьей, должна загораться лампочка, сигнализируя о том, что результат засчитан.

Выполнение. Работа такого устройства описывается булевой функцией трех переменных . С условия задачи следует, что эта функция задается такой таблицей истинности.

По этой таблице запишем СДНФ:

.

Этой формуле соответствует П-схема:

A

B

Эту схему можно упростить. Для этого упростим полученную формулу алгебры логики.

.

Этой формуле соответствует П-схема:

A

B

Эта схема содержит значительно меньше переключателей, чем предыдущая, 5 против 12.∎

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 3

Упражнение 1. Построить как можно более простую П-схему функции .

Выполнение. Учитывая, что

приходим к выводу, что заданная функция равна 1 на словах с номерами 2, 3, 6 и 15, то есть на словах 0010 (, , , ), 0011, 0110, 1111 соответственно. Соответствующие им конституэнты единицы:

, , , .

СДНФ функции

.

Упростим эту формулу.

.

Строим соответствующую П-схему (рис. 10):

A

B

ВАРИАНТЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Вариант	k=	Вариант	k=	Вариант	k=

ПРОБЛЕМА РАЗРЕШИМОСТИ

Формула алгебры высказываний называется тождественно истинной (тавтологией или общезначимой), если она истинна на всех интерпретациях (на всех возможных сочетаний значений атомов ).

Формула алгебры высказываний называется тождественно ложной (противоречивой или неосуществимой), если она ложна на всех интерпретациях.

Формула алгебры высказываний называется не общезначимой (нейтральной или непротиворечивой), если она истинна на одних интерпретациях, и ложная – на других

Формула алгебры высказываний называется осуществимой, если она не тождественно ложная (непротиворечива).

Задача определения, к какому классу принадлежит формула логики высказываний, известна как проблема разрешимости. При не больших проблема разрешимости решается с помощью таблиц истинности.

Пример 1

Определить к какому классу принадлежит формула алгебры высказываний

.

Выполнение. Для удобства запишем соответствующую формулу алгебры логики и построим ее таблицу истинности:

.

Вывод: Формула осуществима, необщезначимая.∎

В случаи больших решением проблемы разрешимости занимается исчисление высказываний.