Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта.

Семейство явных методов Рунге-Кутты р -го порядка записывается в виде совокупности формул:

(1)

 

Параметры подбираются так, чтобы значение , рассчитанное по соотношению (1) совпадало со значением разложения в точке точного решения в ряд Тейлора с погрешностью O(

 

 

6. Многочлен Ньютона интерполяционный.
– как и другие интерполяционные формулы, служит для построения многочлена n -й степени, который совпадает в (n +1) точке co значениями неизвестной искомой функции у = f (x).

Пусть в точках х ₀, х ₁, …, х _n+1 значения функции у = f (x) равны соответственно у ₀ = f (x ₀), y ₁ = f (x ₁), …, y _n+1 = f (x _n+1).

Построим интерполяционный многочлен Ньютона с помощью метода неопределенных коэффициентов. Для этого запишем искомый многочлен в виде
P_n (x) = b ₀ + b ₁(x – x ₀) + b ₂(x – x ₀)(x – x ₁) + b ₃(x – x ₀)(x – x ₁)(x – x ₂) + … + b _n(x – x ₀)…(x – x _n). (1)

Последовательно подставляя в формулу (1) вместо х данные значения х ₀, х ₁,..., х _n+1, получим для нахождения неопределенных коэффициентов b ₀, b ₁,..., b _n«треугольную» систему уравнений
(при подстановке в равенство (1) вместо х числа х ₀ в правой части равенства обратились в нуль все слагаемые, кроме первого: там везде был множитель (х – х ₀), обратившийся в нуль; при подстановке х = х ₁ обратились в нуль все слагаемые, кроме первого и второго – они содержат множитель (х – х ₁) и т.д.).

Полученную систему удобно решать: из первого её уравнения находим свободный член искомого многочлена b ₀; подставив его во второе уравнение, находим коэффициент b ₁ при первой степени х в искомом многочлене:
и т.д. Для интерполяционного многочлена Ньютона можно выписать явные выражения коэффициентов через данные задачи, а также и оценки точности замены неизвестной функции f (x) этим многочленом.

 

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Коши

Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения.

Рассматривается задача Коши для одного дифференциального уравнения первого порядка разрешенного относительно производной

(4.1)

 

Требуется найти решение на отрезке где .

Введем разностную сетку на отрезке ,

Точки - называются узлами разностной сетки, расстояния между узлами – шагом разностной сетки (h), а совокупность значений какой либо величины заданных в узлах сетки называется сеточной функцией

Приближенное решение задачи Коши (4.1) будем искать численно в виде сеточной функции. Для оценки погрешности приближенного численного решения будем рассматривать это решение как элемент N+1- мерного линейного векторного пространства с какой либо нормой. В качестве погрешности решения принимается норма элемента этого пространства - точное решение задачи (1) в узлах расчетной сетки. Таким образом