Статические свойства сау. (проблема точности). Основные принципы ау. Общая структура сау.

Основные понятия.

 

Управление – воздействие на некоторый объект (объект управления), влияющее на протекающие в нём процессы и осуществляемое для достижения определенной цели – цели управления.

Пример 1.1. Система автоматического управления скоростью вращения.

Мн – Момент нагрузки

Uос – Обратная связь

 

Элементы схемы:

ЗУ – Задающее устройство

Uз – Задающее напряжение

Р(УУ) – Регулятор (управляющее устройство)

Uу – Управляющее напряжение

УПУ – Усилительно-преобразовательное устройство

Иу – Исполнительное устройство

Ис – Напряжение сети

Двиг – Двигатель

ТГ – Тахогенератор

 

управляемая (регулируемая) переменная.

задающее воздействие.

ЦУ – цель управления состоит в том, чтобы обеспечить с определенной точностью изменения управляемой переменной в соответствии с требуемым законом задаваемым с помощью напряжения .

Идеальная ЦУ:

для всех (1.1)

где

Однако ЦУ (1.1) недостижима из-за:

1. Инерционности элементов систем и ограниченности её энергетических ресурсов. Если изменилась скачком, то не может измениться (требуется бесконечное значение).

 

 

2. линейно, то для изменения требуется, чтоб момент М изменился скачком. Следовательно, ток тоже должен измениться скачком, что невозможно из-за электромагнитной инерции.

 

1. Наличие внешних возмущений (момента нагрузки) и др. факторов, приводящих к тому, что реальный закон изменения от заданного . В данной схеме без обратной связи отсутствие контроля за фактическим значением .

 

Вариант практической цели управления.

 

для всех (1.2)

где заданы.

Представим систему в следующем виде:

Uз, Uc, Мн – выходные воздействия. Они делятся на две принципиально различающиеся группы:

• Uз – задающее воздействие (полезное).
• Uc, Мн – возмущающие воздействия (их изменения приводят к отличию от ). управляемая переменная является выходной величиной (суммой реакций на все выходные величины).

 

 

Общая структура САУ.

 

ЗУ – обычно на схемах не изображают.

УС – необходимо для составления и .

И – измеритель . На выходе УС .

Часто УС и Р(УУ) совмещается водном устройстве.

 

 

Классификация САУ.

 

1. По принципу действия:

 

1. разомкнутые;

2. замкнутые (с обратной связью);

3. комбинированные (сочетают регулирование по отклонению с регулированием по внешнему воздействию).

 

1. По цели управления:

 

1. системы автоматического регулирования (САР) – цель управления состоит в возможно более точном воспроизведении регулируемой переменной закона изменения задающего воздействия ;

САР в зависимости от вида функции делятся на:

• системы стабилизации, или системы поддержания постоянства регулируемой величины; в них ;
• следящие системы, в них изменяется по произвольному, заранее не известному закону; в этих системах регулируемая переменная, как правило, имеет смысл линейного или углового перемещения;
• системы программногоуправления – в них изменяется по произвольному, но известному закону.

Для всех трех типов САР цель управления может быть сформулирована одинаково в терминах ошибки регулирования: она должна быть как можно меньше по абсолютному значению и как можно быстрее затухать; пример ЦУ:

 

2. (не для запоминания) САУ других типов (обычно более сложные), например:

• адаптивные системы – в них цель управления, характерная для САР, должна достигаться в условиях изменения или априорной неопределенности значений параметров или внешних возмущений из заданного класса, причем недостаток априорной информации об этих факторах восполняется в процессе функционирования системы;
• оптимальные системы – обеспечивают экстремум некоторого показателя качества;
• системы терминального управления – обеспечивают достижение заданного состояния в заданный момент времени.

 

1. По классу уравнений, описывающих систему:

 

1. линейные и нелинейные САУ; в линейной системе все элементы описываются линейными уравнениями (дифференциальными, алгебраическими и др.); уравнение линейно, если для него выполняется принцип суперпозиции, предполагающий наличие свойств однородности и аддитивности, как по входным воздействиям, так и по начальным условиям.

Как линейные, так и нелинейные системы бывают:

· стационарные и нестационарные (уравнения с постоянными или зависящими от времени коэффициентами);

· с сосредоточенными и распределенными параметрами (дифференциальные уравнения обыкновенные и с частными производными);

· системы с запаздыванием (уравнения с запаздывающим аргументом);

· дискретные системы (разностные уравнения);

· статические и динамические системы (алгебраические или дифференциальные, возможно вместе с алгебраическими, уравнения).

IV. По характеру преобразования переменных в элементах системы:

 

1. непрерывные системы – в них в каждом звене при непрерывном изменении входной переменной выходная изменяется также непрерывно;

2. релейные системы – в них хотя бы в одном элементе при непрерывном изменении выход изменяется скачком;

3. дискретные системы – в их элементах значение выхода зависит от значений входа в дискретные моменты времени ; при этом выход дискретного элемента имеет вид последовательности импульсов;

дискретные системы делятся на:

· импульсные (в них имеется квантование по времени) и

· цифровые, или системы с ЭВМ (квантование по времени и по уровню).

 

1. По характеру процессов в системе:

 

1. Детерминированные и стохастические САУ (определенные и случайные процессы).

 

VI. По числу входных (задающих) и выходных (управляемых) переменных:

 

1. одномерные (с одним входом и одним выходом) и многомерные(со многими входами и (или) выходами) системы;

2. односвязные системы (каждая компонента вектора выходов зависит только от одной, соответствующей ей, компоненты вектора входов ) и многосвязные системы (хотя бы одна из компонент зависит более чем от одной компоненты либо хотя бы одна компонента влияет более чем на одну компоненту ).

Физический смысл ЧПФ.

 

ЧПФ – частотная передаточная функция: характеризует поведение динамической системы в установившемся режиме при гармоническом входном воздействии и представляет собой комплексную функцию, модуль которой на каждой данной частоте есть отношение амплитуд выходной и входной гармоник, а аргумент равен фазовому сдвигу всех гармоник относительно входной (смотри теорему (7.1).

 

 

Неминимально-фазовые звенья

 

Звено называется неминимально-фазовым если его передаточная функция не имеет ни нулей, ни полюсов в правой полуплоскости.

Пример 9.2.

Минимально-фазовое звено

полюс:

 

Неминимально-фазовое звено

полюс:

 

 

Таким образом, два звена (НМФ и МФ) могут иметь одинаковые АЧХ (ЛАХ), но различные ФЧХ (ЛФХ), при этом МФ на каждой данной частоте имеет наименьшее по абсолютной величине значения ФЧХ. Важнейшее свойство МФ систем – однозначность связи АЧХ и ФЧХ. Поэтому по ЛАХ МФ системы всегда можно восстановить её передаточную функцию.

 

Теорема Мейсена.

 

Назначение: Определение передаточной функции между двумя переменными структурной схемы или графа. Является альтернативой методу структурных преобразований.

Терминология:

Путь – это направленная последовательность звеньев, в которой ни одна переменная не встречается ни одного раза.

Контур – это замкнутый путь. Передача пути (контура) – произведение передач всех звеньев встречающихся на этом пути (в этом контуре), с учетом знаков в сумматорах.

Теорема 14.1. Передача связывающая входную переменную с выходной определяется формулой: ,

где передача го пути от к

сумма передач всех контуров

сумма произведений передач, не касающихся друг друга контуров, взятых по два.

Замечание: Говорят, что контур не касается другого или пути, если он не имеет с ним общих переменных.

сумма произведений передач, не касающихся друг друга контуров, взятых по три. .

сумма передач контуров, не касающихся го пути.

сумма произведений передач, не касающихся го пути и друг друга, взятых по два.

сумма произведений передач, не касающихся го пути и друг друга, взятых по три.

 

Критерий Найквиста для АФХ.

 

Позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по частотным характеристикам разомкнутой системы.

передаточная функция разомкнутой системы:

при т.е. АФХ разомкнутой системы стремится к началу координат.

Передаточная функция замкнутой системы:

Рассмотрим вспомогательную функцию

характеристический полином замкнутой системы

характеристический полином разомкнутой системы

(22.2)

Пример:

Первый случай:

(разомкнутая система асимптотически устойчива);

(по предположению)

лемма

лемма

(требуется)

Это означает, что годограф вектора при увеличении не охватывает начало координат, а значит, годограф не охватывает точку .

 

Теорема 22.1. Если передаточная функция разомкнутой системы имеет только левые корни, то для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы при изменении не охватывала точку или, что тоже самое (альтернативная формулировка Ципкина), разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов АФХ разомкнутой системы через луч равнялась нулю: .

не охватывает

Пусть Гурвицев полином (корни только левые).

Рассмотрим возможный вид АФХ при разных .

 

АФХ разомкнутой системы не охватывает или: следовательно, замкнутая система устойчива.

 

Замкнутая система находится на границе устойчивого колебательного типа.

 

АФХ разомкнутой системы охватывает или: следовательно, замкнутая система неустойчива.

 

Пусть , а АФХ разомкнутой системы имеет вид:

Легко увидеть, что замкнутая система асимптотически устойчива, но теряет устойчивость, как при увеличении, так и при уменьшении контурного коэффициента . Такая система называется условно-устойчивой.

Замечание: формулировка теоремы 22.1. сохраняет свою силу, если передаточная функция разомкнутой системы кроме левых имеет также один нулевой полюс (смотри дальше).

Второй случай:

, но имеется один или несколько нулевых полюсов передаточной функции разомкнутой системы.

Этот случай принципиально не отличается от первого, но имеет особенности изображения частотных функций.

Пусть

полюс кратности .

Пусть , тогда

АФХ разомкнутой системы не охватывает точку следовательно, замкнутая система асимптотически устойчива. Полагаем, что нулевой полюс принадлежит левой полуплоскости, тогда при скачек аргумента (поворот вектора по часовой стрелке – дуга бесконечного радиуса).

 

АФХ разомкнутой системы охватывает точку или: следовательно, замкнутая система неустойчива. При изображении АФХ только для дополнение при всегда начинается на оси вещественных.

 

Пусть , тогда

следовательно, замкнутая система асимптотически устойчива.

 

 

При полное приращение угла равно . В то время как при дополнения не играют существенной роли (и его можно не делать, если остальные полюсы левые), поскольку не влияет на охват точки . При дополнение существенно и является обязательным. При дополнении АФХ, приращение аргумента ЧПФ при составляет (если не рассматривать отрицательных частот).

Теорема 22.2. Если передаточная функция разомкнутой системы кроме левых полюсов имеет один или несколько нулевых, то для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы дополненное при дугой окружности бесконечного радиуса в направлении часовой стрелки не охватывала точку , т.е. чтобы .

Третий случай:

имеется правых полюсов, а остальные левые.

, следовательно, , т.е. вектор должен поворачиваться вокруг начала координат (а вектор вокруг точки против часовой стрелки раз для и раз для ).

Теорема 22.3. Если передаточная функция разомкнутой системы имеет правых полюсов, а остальные левые, то для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы охватывала точку в направлении против часовой стрелки раз при и раз при , или что тоже самое

Замечание: если при АФХ начинается на луче , то это соответствует перехода через этот луч, т.е. .

Теорема 22.4. Если передаточная функция разомкнутой системы имеет правых полюсов, а остальные левые или нулевые, то для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы дополненное, в случае наличия нулевых полюсов при , дугой бесконечного радиуса в направлении часовой стрелки охватывала точку . В случае наличия левых полюсов при изменении , дугой бесконечного радиуса в направлении против часовой стрелки раз.

Замечание: В первом случае подпадает под эту формулировку .

 

Критерий Найквиста для ЛЧХ.

 

Теорема 22.5. Если передаточная функция разомкнутой системы имеет правых, а остальные левые полюсов, то для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы в диапазоне частот, где ЛАХ разомкнутой системы лежит выше оси, разность между положительными (снизу вверх) и отрицательными (сверху вниз) переходов ЛФХ через горизонтальную прямую равнялась . Причём в случае наличия нулевых полюсов ЛФХ при должна быть дополнена надлежащим образом.

Замечание 1: дополнение при должно быть выполнено так, чтобы скачёк ЛФХ составил .

Замечание 2: если , а , то дополнение не обязательно. Если , дополнение обязательно. Если дополнение обязательно независимо от .

Замечание 3: если при ЛФХ начинается на линии с ординатой , то это соответствует перехода через эту линию.

Замечание 4: следующий случай непосредственно не подпадает под формулировку теоремы 22.5, но может быть рассмотрен исходя из основной теоремы 22.4. если во всем диапазоне частот ЛАХ разомкнутой системы лежит ниже оси абсцисс, то при замкнутая система заведомо устойчива, а при неустойчива, поскольку из следует , т.е. АФХ разомкнутой системы не может охватить точку .

Доказательство теоремы 22.5 следует из двух фактов:

1.

 

Для точек перехода АФХ через луч , а аргумент (смотри точки а и б) им соответствуют точки а и б на ЛЧХ, где , а .

 

 

2.

 

Переходу АФХ сверху вниз соответствует переход ЛФХ через снизу вверх (точка б), и наоборот (точка а).

 

Следствие: (упрощенная формулировка для случая устойчивости разомкнутой системы с монотонной ЛАХ). Если в передаточной функции разомкнутой системы есть только левые полюсы и возможно еще один нулевой, а ЛАХ разомкнутой системы монотонна, то для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы на частоте среза ЛФХ разомкнутой системы проходила выше уровня .

 

Качество САУ.

 

Качество САУ – степень соответствия системы к двум требованиям:

1. Регулируемая переменная должна как можно лучше воспроизводить закон изменения .

2. Реакция на внешнее воздействие должна быть как можно слабее.

Оба требования можно объединить в требованиях ошибки : мгновенные значения должны быть как можно меньше, а должна как можно быстрее затухать с течением времени. Поскольку реакция или имеет переходную и вынужденную составляющую, то в понятии качества различают два аспекта:

1. Качество динамики, т.е. характер переходных процессов.
2. Точность характеризуемая значениями установившейся ошибки при входных воздействиях стандартного вида.

Для количественной характеристики качества динамики вводятся показатели качества САУ. Они делятся на:

1. Прямые – показатели качества переходной характеристики.
2. Косвенные (оценки качества) – некоторым образом связаны с прямыми показателями качества.

 

Частотные оценки качества.

 

1. Частота среза

(23.1)

Оценка вида (23.1) справедлива и для произвольной ЛАХ если:

1. Коэффициент наклона ЛАХ при составляет ;
2. Протяженность этого участка не менее ;

Вообще связано не только с , но и со степенью демпфирования системы .

 

Запасы устойчивости.

 

· По модулю

· По фазе

Чем меньше , тем больше запас по модулю. Если бы точка б совместилась с точкой , то система вышла бы на границу устойчивости. Чем меньше запасы устойчивости, тем более склона система к колебаниям и тем больше перерегулирование.

Система
Плохая
Средняя
Хорошая

На значения запасов устойчивости наибольшее влияние оказывает коэффициент наклона ЛАХ в окрестности .

Для первой системы больше чем для второй.

 

Показатель колебательности.

 

Чем больше М, тем больше .

Хорошая система имеет ;

Средняя система ;

 

Полоса пропускания

 

Является мерой быстродействия системы.

В целом для САУ связано с примерно, так же как и с .

 

Корневые оценки качества.

 

1. Степень устойчивости . Расстояние от мнимой оси до ближайшего к ней корня характеристического полинома замкнутой системы или пары сопряженных корней. Является мерой быстродействия системы, поскольку та составляющая свободного решения, которая определяется ближайшим к мнимой оси корнем (парой корней) затухает наиболее медленней и следовательно определяет время переходного процесса.

Рассмотрим систему третьего порядка:

Пусть

доминирует доминирует

(23.2) (23.3)

 

2. Колебательность . Отношение модулей мнимой части и вещественной частей к мнимой оси пары комплексно сопряженных корней . Практически требуют, чтобы все комплексные корни лежали в секторе с заданным углом

3. Диаграмма Вышнеградского. Для системы третьего порядка позволяет оценить качественную картину расположения корней характеристического полинома и значения и .

Пусть , делим все на

(23.4)

Вводим новую комплексную переменную

подставляем в (23.4)

(23.5)

где

По критерию Гурвица асимптотическая устойчивость эквивалентна .

Уравнения границы устойчивости:

Точка

 

 

 

Стандартные полиномы .

Полиномы со стандартной картиной расположения корней на плоскости.

 

1. Полиномы Баттерворта.

Корни этих полиномов располагаются на окружности радиусом на одинаковом условном расстоянии друг от друга симметрично оси вещественных.

 

1. Биноминальные полиномы

Существуют и другие стандартные полиномы:

(23.6)

коэффициенты определяющие вид переходной характеристики системы с передаточной функцией (23.7)

таким образом есть средний геометрический корень стандартного полинома. Если увеличить в раз в системе с передаточной функцией (23.6), (23.7), то вид ПХ не изменится, но она сожмется по оси времени в раз.

 

Точность САУ.

 

Степень близости к :

(24.1)

Установившаяся ошибка. Она возникает как от так и от . Поэтому имеет две составляющие:

(24.2)

Перерисуем схему так, чтобы выходом стала ошибка

это , либо .

Если , то ;

Если , то ;

полиномы с единичными свободными членами.