Выбор системы счисления для представления числовой информации

Информация во внешнем по отношению к ЭВМ мире представляется в непрерывном или дискретном виде. Внутри ЭВМ информация всегда представляется в виде чисел, записанных в той или иной системе счисления. Если же речь идет о текстовой информации, то она обычно кодируется также с помощью чисел. Вопрос о выборе системы счисления для цифрового автомата – один из важнейших вопросов проектирования, как алгоритмов функционирования отдельных устройств, так и расчета технических характеристик этого автомата.

Система счисления – совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Наиболее известна десятичная система счисления, в которой для записи чисел используются цифры от 0 до 9. Существует большое множество способов записи чисел цифровыми знаками. Любая предназначенная для практического применения система счисления должна обеспечивать:

- возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;

- единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина);

- простоту оперирования числами.

Все системы представления чисел делят на позиционные и непозиционные. Самый простой способ записи чисел может быть описан выражением:

,

где - запись числа А в системе счисления D; - символы системы, образующие базу .

По этому принципу построены непозиционные системы счисления.

Непозиционная система счисления – система, для которой значение символа не зависит от его положения в числе. Примером непозиционной системы счисления является система с одним символом – палочкой. Для изображения числа в этой системе нужно записать количество палочек равное данному числу.

Позиционная система счисления – система, в которой значение цифры определяется ее положением в числе: один и тот же знак принимает различное значение. Например, в десятичном числе 222 первая цифра справа означает две единицы, соседняя с ней два десятка, а левая две сотни.

Любая позиционная система счисления характеризуется основанием. Основание позиционной системы счисления – количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе.

В общем случае позиционные системы счисления можно построить по следующему правилу:

,

где - основание системы счисления; - запись числа А в системе счисления с основанием ; - цифра (символ) системы счисления с основанием .

Если предположить, что , то для позиционной системы счисления справедливо равенство

,

где - произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q; m – количество целых и дробных разрядов.

На практике используют сокращенную запись числа:

.

В табл. 1.1 приведены эквиваленты десятичных цифр в различных системах счисления.

Таблица 1.1

Десятичная цифра	Эквиваленты в других системах счисления
	q = 2	q = 3	q = 5	q = 8	q = 16

 

В ЭВМ используют позиционные системы счисления. Вес разряда числа в позиционной системе счисления выражается соотношением:

,

где i – номер разряда при отсчете справа налево.

Если разряд имеет вес , то следующий старший разряд будет иметь вес , а следующий младший разряд – вес . Такая взаимосвязь разрядов приводит к необходимости передачи информации между ними.

Длина числа (ДЧ) количество позиций (или разрядов) в записи числа. В техническом аспекте длина сила интерпретируется как длина разрядной сетки (ДРС).

Для разных систем счисления характерна разная длина разрядной сетки, необходимая для записи одного и того же числа. Например, . Из этого примера видно, чем меньше основание системы, тем больше длина числа.

Если длина разрядной сетки задана, то это ограничивает максимальное (минимальное) по абсолютному значению число, которое может быть записано.

Пусть длина разрядной сетки n. Тогда ; .

Диапазон представления (ДП) чисел в заданной системе счисления – интервал числовой оси, заключенный между максимальным и минимальным числами, представленными длиной разрядной сетки:

.

Правильный выбор системы счисления – важный практический вопрос, от правильного решения которого зависят такие технические характеристики проектируемой ЭВМ как скорость вычислений, объем памяти, сложность алгоритмов выполнения арифметических операций. При выборе системы счисления для ЭВМ необходимо учитывать следующее:

- основание системы счисления определяет количество устойчивых состояний, которые должен иметь функциональный элемент, выбранный для изображения разрядов числа;

- длина числа существенно зависит от основания системы счисления;

- система счисления должна обеспечить простые алгоритмы выполнения арифметических и логических операций.

Подавляющее большинство компонентов электронных схем, применяемых для построения вычислительных машин – двухпозиционные. С этой точки зрения для ЭВМ наиболее подходит двоичная система счисления.

Для оценки рациональности использования той или иной системы счисления используется показатель экономичности системы – произведение основания системы счисления на длину разрядной сетки, выбранную для записи числа в этой системе:

,

где q – основание системы счисления; N – количество разрядов.

Если принять, что каждый разряд числа представлен не одним элементом с q устойчивыми состояниями, а q элементами, каждый из которых имеет одно устойчивое состояние, то показатель экономичности укажет условное количество оборудования, которое необходимо затратить на представление чисел в этой системе.

Максимальное число, которое можно изобразить в системе с основанием q:

.

Отсюда можно найти требуемую длину разрядной сетки:

.

Тогда для любой системы счисления .

Предположим, что величина q является непрерывной величиной. Тогда величину C можно рассматривать как функцию от величины q. Это допущение позволяет использовать для сравнения любой системы счисления с двоичной относительный показатель экономичности:

.