Приклад 1. Виробнича функція Кобба-Дугласа

Виробнича функція – це економетрична модель, яка кількісно описує зв’язок основних результативних показників виробничо-господарської діяльності з факторами, що визначають ці показники. До основних показників можна віднести дохід, прибуток, рентабельність, продуктивність праці, собівартість і т.ін.

Перше поняття виробничої функції пов’язане з математичним моделюванням технологічної залежності між обсягом продукції, що випускається, і кількісними характеристиками витрат ресурсів. Звідси і назва функції «виробнича». Уперше така функція була побудована американськими дос­лідниками Коббом і Дугласом ще в 30-ті роки ХХ ст. за даними про функціонування обробної промисловості США протягом двадцяти років і є класичним прикладом економетричного моделювання.

Функція Кобба-Дугласа (CDPF) належить до найвідоміших виробничих функцій, що набули широкого застосування в економічних дослі­дженнях, особливо на макрорівні. Класична виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд

Y = aF^aL ^{1 – a},

де Y – обсяг продукції; F – основний капітал; L – робоча сила.

У цій функції параметри a, a і 1 – a є невід’ємними. Таке твердження можна довести, якщо з виробничої функції виключити один з факторів. Для цього, поділивши ліву і праву частини залежності Y = f (F,L) на L, дістанемо функцію двох змінних

W = f(V),

де – продуктивність праці; – фондоозброєність праці.

Нехай залежність між W і V має вигляд степеневої функції, тобто

W = aV ^a.

Підставивши в цю функцію і , дістанемо:

, або Y = aF^aL ^{1 – a}.

Сума параметрів або степінь однорідності, класичної функції Кобба-Дугласа дорівнює одиниці. А це означає, що при збільшенні обох виробничих ресурсів на одиницю обсяг продукції також збільшиться на одиницю. Отже, ефективність ресурсів у такому разі стала.

Практичні дослідження функції Кобба-Дугласа показали, що припущення про лінійну однорідність на практиці виконується рідко. Тому була запропонована виробнича функція загальнішого вигляду

Y = aF ^a L ^b.

Сума параметрів (a + b) на відміну від попереднього випадку може бути як меншою, так і більшою від одиниці. Якщо (a + b) > 1, то темпи росту обсягу продукції вищі за темпи росту виробничих ресурсів, а якщо (a + b) < 1, то, навпаки, темпи росту продукції нижчі за темпи росту ресурсів.

Припустимо,що рівень кожного виробничого ресурсу збільшився на r %, тоді величини їх дорівнюватимуть і .

Обсяг продукції на основі виробничої функції запишеться так:

Звідси при a + b > 1 обсяг продукції зростає більш ніж на r %; при a + b < 1 – менш ніж на r %; при a + b = 1 продукція збільшиться на r %. Визначивши окремі коефіцієнти еластичності для виробничої функції Кобба-Дугласа, дістанемо:

Це означає, що граничний приріст продукції за рахунок приросту кожного ресурсу визначається як добуток коефіцієнта еластичності на середню ефективність ресурсу. Параметр a у функції Кобба-Дугласа залежить од вибраних одиниць вимірювання Y, F, L; водночас числове значення цього параметра визначається також ефективністю виробничого процесу. У цьому можна переконатись, порівнявши дві виробничі функції, які відрізня­ються одна від одної лише значенням параметра a.

Для фіксованих значень F і L тій функції, в якої більше числове значення параметра a, відповідає більше значення Y. Отже, і виробничий процес, який описується цією функцією, буде ефективнішим. Другі похідні функції Кобба-Дугласа мають такий вигляд:

Узявши до уваги, що 0 < a < 1 і 0<b<1, Y_FF < 0 і Y_LL < 0, дійдемо висновку: при збільшенні ресурсів граничний приріст обсягу продукції зменшуватиметься. Якщо обсяг продукції у функції Кобба-Дугласа вважати сталим (таким, що дорівнює const), то можна обчислити граничні норми заміщення ресурсів:

Звідси бачимо, що гранична норма заміщення ресурсів у функції
Кобба-Дугласа визначається як добуток співвідношень величин ресурсів та їх коефіцієнтів еластичності.

Швидкість зміни норми заміщення ресурсів у зв’язку зі зміною величини ресурсів обчислюється так:

Мірою швидкості зміни h є еластичність заміщення ресурсів F і L, що визначається як відношення зміни величини ресурсів до зміни величини h:

.

Отже, еластичність заміщення в кожній точці кривої, що характеризує виробничу функцію Кобба-Дугласа, дорівнює одиниці.

Розглянемо тепер поводження функції при зміні масштабу виробництва. Для цього припустимо, що витрати кожного ресурсу виробництва збільшилися в l раз, тоді нове значення Y визначатиметься так:

Y = a( l F) ^a ( l L) ^b = l^{a + b} Y.

Степінь однорідності цієї функції дорівнює a + b. Якщо a + b = 1, то рівень ефективності ресурсів не залежить від масштабів виробництва. Якщо a + b < 1, то з розширенням масштабів виробництва середні витрати в розрахунку на одиницю продукції зменшуються, а при a + b > 1 – збільшуються. Причому ці властивості не залежать від числових значень F і L і зберігають силу в кожній точці виробничої функції.

За припущення, що мета господарської діяльності – максимізація прибутку, можна проілюструвати інші властивості виробничої функції. Запишемо функцію прибутку:

П = bY ^{r + 1} – wL – rF + l[ f(F,L) – Y ].

Підприємець вибирає такі значення Y, L, F, які максимізують прибуток при обмеженнях, що накладаються виробничою функцією. Величини b, w, r – параметри функції прибутку, l – множник Лагранжа. Якщо виробничий процес у даному співвідношенні описується функцією Кобба – Дугласа, то можна записати умови максимізації прибутку:

, l = (r + 1) P при r ¹ – 1, де P = bY ^r.

Звідси обсяги ресурсів такі:

У такому випадку максимальне значення випуску продукції, якщо a + b ¹ 1, можна записати так:

При r = 1згідно із записаними щойно умовами максимізації дістанемо:

Отже, необхідні умови для забезпечення максимізації прибутку дають змогу визначити відповідні витрати робочої сили і основного капіталу. З розширенням масштабів виробництва ефективність витрат ресурсів падає, що відповідає максимізації прибутку в умовах досконалої конкуренції. Наведений приклад виробничої функції показує, що ця економетрична модель дає змогу досить широко проаналізувати виробничу діяльність, визначити шляхи її вдосконалення з метою підвищення ефективності. Обгрунтованість такого аналізу повністю залежить од вірогідності економетричної моделі, від того, наскільки вона адекватна реальному процесу.

Проблема побудови виробничої функції або інших технологічних взаємозалежностей у виробництві – класична проблема економетрії, висвітлюється далі.