Змістовий модуль 1. Природа економетрії. Економетричні моделі

Змістовий модуль 1. Природа економетрії. Економетричні моделі

Тема 1. Природа економетрії

 

1. Природа економетрії.

2. Роль економетричних досліджень в економіці.

3. Історія виникнення та формування курсу «Економетрії» в провідних навчальних закладах світу.

4. Приклади використання економетричних методів для розв’язування економічних задач.

 

Природа економетрії.

Термін «економетрія» означає вимірювання в економіці, і вимірюван­ня справді є важливою частиною економетрії. Але не всі вимірювання в економіці належать до економетрії. Якщо раніше деякі автори майже всі прикладні математичні дослідження в економіці відносили до економетрії, то тепер поширений погляд, згідно з яким зміст її значно звужується. Згідно зі сказаним дамо таке визначення.

Економетрія вивчає методи оцінювання параметрів економетричних моделей, які характеризують кількісні взаємо­зв’язки між економічними показниками, а також розглядає основні напрямки застосування цих моделей в економічних дослідженнях.

Визначення предмета економетрії в різних виданнях тлумачиться дещо по-різному. Сьогодні можна умовно вирізнити п’ять підходів до визначення предмета економетрії, що характерні для зарубіжної економетричної літератури:

1. Л. Клейн [9] визначає економетрію як науку, що вивчає вимірювання зв’язків у відповідному економічному аналізі.

2. Г. Тінтнер [8] ототожнює економетрію з економічною статистикою.

3. Г. Хансен [5] під економетрією розуміє застосування математичних і статистичних методів в економіці.

4. За іншими визначеннями економетрія є синтезом економічної теорії і математики.

5. Деякі автори під економетрією розуміють економічну теорію, математику і статистику.

Кожне з цих визначень предмета економетрії має своє раціональне зерно. Але всі вони частково містять у собі щойно наведене визначення предмета економетрії і відповідають тому матеріалу, який вивчається в курсі.

Економетрія не розглядається як галузь математики, але математика віді­грає в ній дуже важливу роль. Тому методи викладання і вивчення економетрії практично такі самі, як у математичних курсах. Вони передбачають постановку задачі, а також аналіз розв’язків, що базуються на теоремах і основних визначеннях. В економетрії не завжди всі твердження строго доводяться, але алгоритми задач неодмінно грунтуються на методах математичної статистики, широко використовуються матрична алгебра та інші класичні розділи математики.

Економетрія – одна з основних дисциплін у підготовці бакалаврів з економічних спеціальностей. Вона будується на основі математичних та економічних знань. За допомогою економетрії можуть бути відхилені економічні гіпотези. У крайньому разі можна показати неможливість застосувати їх у даних конкретних умовах. Хоча засоби економетрії не дають змоги доводити теоретичні твердження, з допомогою її засобів можна показати, що те чи інше твердження не суперечить даним спостережень. Крім того, математика може надати економетрії більшої глибини, забезпечуючи кількісними значеннями параметрів рівнянь, особливо коли вони мають вирішальний вплив на характер взаємозв’язків. Економетричні моделі можуть використовуватися для прогнозування або оцінювання впливу прийнятих рішень чи урядових постанов відносно зміни цін, податків тощо на стан справ будь-якої фірми.

Для засвоєння курсу потрібна добра математична підготовка, особливо з матричної алгебри, диференціального числення. Однаковою мірою слід володіти методами математичної статистики. Важливо також знати економічні категорії і поняття.

Економетрія – це предмет не для першокурсників. Проте для того щоб ознайомитися з проблемами, які вивчає економетрія і з якими стикаються ті, хто використовує економетричні методи, немає потреби бути спеціаліс­том з усіх розділів з математики та економіки.

Економетрія поділяється на дві частини:

1) економетричні методи;

2) економетричні моделі економічних процесів і явищ.

У цьому курсі вивчатимемо здебільшого матеріал, що належить до першої частини, тобто економетричні методи. Економетричні методи можна умовно розбити на чотири групи. До першої групи входять методи оцінювання параметрів класичної економетричної моделі за методом найменших квадратів, їх верифікація. До другої групи належать методи оцінювання параметрів узагальненої моделі, коли порушуються деякі передумови використання методу найменших квадратів. До третьої групи входять методи оцінювання параметрів динамічних економетричних моделей, їх верифікація. Четверта група охоплює методи оцінювання параметрів економетричних моделей, які побудовані на основі системи одночасових структурних рівнянь.

 

Приклад 3. Модель Кейнса

Класична економічна теорія не вивчала спеціально фаз безробіття. Вона розглядала їх як тимчасові випадковості і довгостроковими проблемами рівноваги і росту цікавилася більше, ніж короткостроковими змінами. Проте протягом 1930–1940 рр. у переважній більшості розвинених країн спостерігалося тривале масове безробіття. Щоб передбачити розвиток економіки та вжити певних заходів впливу на економічний розвиток, потрібно було знати, як в даний момент фіксувати рівень випуску продукції та зайнятості і чому остання не буває ні дуже високою, ні дуже низькою.

Розв’язання цієї проблеми був головною турботою Кейнса. Він намагався пояснити рівень виробництва в період неповного завантаження робочої сили та обладнання. Згодом численні дослідники вивчали це питання, намагаючись висвітлити нечіткі місця теорії Кейнса або запропонувати власні розв’язання. Ці намагання привели до висновків, що капіталовкладення відіграють основну роль в кон’юнктурній еволюції з двох причин:

1) рішення про інвестиції значною мірою є автономними, вони впливають на зростання обсягів виробництва у двох секторах – предметів споживання та засобів виробництва;

2) зростання обсягів виробництва збільшує доходи, а останні, у свою чергу, впливають на збільшення обсягу виробництва предметів споживання.

Покажемо, як наведені щойно міркування можна спрощено подати у вигляді моделі.

Нехай P – загальний обсяг продукції; C – виробництво предметів споживання; I – виробництво засобів виробництва (що дорівнює капітало­вкладенням); R – доходи, які розподіляються. тоді модель запишеться так:

P = C + I; C = F (R, u); R = P.

У цій моделі I задається автономно, а F є функція, що визначає відповідність між споживанням і розподіленими доходами.

Наведена модель дуже спрощена і повністю не відтворює ні ідей Кейнса, ні справжньої складності фактів. Проте вона порівняно добре пояснює досягнутий рівень виробництва. Адже з трьох записаних щойно рівнянь можна дістати таке рівняння:

P – F (R,u) = I.

Розв’язавши його відносно P, знайдемо рівень виробництва, який пов’язаний з рівнем капіталовкладень. Так, наприклад, якщо F (R) є лінійна функція

,

то рівняння (2.9) набирає вигляду

,

звідки

Рівняння (2.11) визначає залежність обсягу виробництва P від обсягу капіталовкладень I, які задаються автономно. Коефіцієнти і в цьому рівнянні залежать від функції споживання (2.10), тобто від зв’язку між R і C. Зокрема, ця функція вимірює збільшення споживання , яке пов’язане зі збільшенням доходу на одиницю і називається «граничною схильністю до споживання». Значення , як правило, менше за одиницю. Зокрема, у моделі Кейнса = 0,6. Залежність (2.11) показує при цьому, що збільшення капіталовкладень на одиницю зумовлює зростання обсягу виробництва на 1 / (1 – )– коефіцієнт, який завжди перевищує одиницю (при = 0,6 маємо 1 / 1 – = 2,5). Цей коефіцієнт вимірює ефект взаємозв’язку між автономним зростанням капіталовкладень та обсягом виробництва і називається мультиплікатором.

Модель (2.8) формалізує теорію Кейнса в її найпростішому вигляді. Але цінність згаданої моделі виходить за ці межі, бо вона дає змогу вивчати різні конкретні питання економічної кон’юнктури в країні, для якої було б знайдено адекватну форму функції F (R, u). Для забезпечення надійності результатів необхідно, щоб модель з потрібним ступенем точності відповідала дійсності, але досягти цього за такої вельми віддаленої схематизації не можна. Кон’юнктурні моделі, застосовувані для короткострокового прогнозування, використовують набагато більше змінних і рівнянь, але їх логічна природа досить близька до природи моделі (2.8).

Специфікація моделі.

Економетрична модель базується на єдності двох аспектів – теоре­тичного, якісного аналізу взаємозв’язків та емпіричної інформації. Тео­ретична інформація знаходить своє відображення в специфікації моделі.

Специфікація моделі – це аналітична форма економет­ричної моделі. На основі досліджуваних чинників вона складається з певного виду функції чи функцій, що використовуються для побудови моделей, має імовірнісні ха­рактеристики, які притаманні стохастичним залиш­кам моделі.

З досвіду економетричних досліджень, а також на підставі якіс­ного теоретичного аналізу взаємозв’язків між економічними показ­никами, наведемо класи функцій, які можуть описувати взаємозв’язки між результативними показниками та чинниками моделі:

Лінійна функція

Степенева функція

Гіпербола

Квадратична функція

де - залежна (пояснювана) змінна; - незалежні, або пояснювальні, змінні; - параметри моделей.

Серед наведених видів функцій три останні є нелінійни­ми. Але за допомогою перетворення залежної і незалежних змінних ці функції можна звести до лінійного виду.

Маючи на увазі, що вибір аналітичної форми економетричної мо­делі не може розглядатись без конкретного переліку незалежних змін­них, специфікація моделі передбачає відбір чинників для економетричпого дослідження.

В процесі такого дослідження можна кілька разів по­вертатись до етапу специфікації моделі, уточнюючи перелік незале­жних змінних та вид функції, що застосовується. Адже коли вид функції та її складові не відповідають реальним процесам, то йдеть­ся про помилки специфікації.

Помилки специфікації моделі можуть бути трьох видів:

1) ігнорування при побудові економетричної моделі істотної по­яснюючої змінної;

2) введення в модель незалежної змінної, яка не є істотною для вимірюваного зв’язку;

3) використання не відповідних математичних форм залежності.

Перша з цих помилок призводить до зміщення оцінок, причому зміщення буде тим більшим, чим більша кореляція між введеними та не введеними до моделі змінними, а напрям зміщення залежить від знака оцінок параметрів при введених змінних і від характеру кореляції між введеними та не введеними змінними. Оцінки парамет­рів також будуть зміщеними (у такому разі вони вищі), тому засто­сування способів перевірки їх значимості може привести до хибних висновків щодо значень параметрів генеральної сукупності.

Для відшукання цього джерела помилок специфікації досить важко запропонувати які-небудь загальні міркування, оскільки неза­лежна змінна, що не враховується (або незалежні змінні), може бути одним із багатьох можливих пояснень. Про необхідність введення до моделі цих незалежних змінних можна лише здогадуватись на підставі апріорних міркувань. Проте відомі й більш формалізовані процедури, які дають змогу з’ясувати, наскільки істотним є введен­ня до моделі якої-небудь змінної. Так, наприклад, якщо побудувати економетричну модель на базі покрокової регресії, то можна досить чітко ранжувати пояснювальні змінні за величиною їх впливу на залежну змінну. Про відсутність основної змінної свідчить зміна поводження випадково­го відхилення у помилково специфікованій моделі.

Друга помилка специфікації. Якщо до моделі вво­диться змінна, яка неістотно впливає на залежну змінну, то (на від­міну від першої помилки специфікації) оцінки параметрів моделі будуть незміщеними. Причому за допомогою звичайних процедур можна дістати також незміщені оцінки дисперсій цих параметрів. Але це не означає, що економетричну модель можна беззастережно розширювати за рахунок «неістотних» змінних. По-перше, існує ненульова ймовірність того, що в результаті використання вибіркових даних змінна, яка зовсім не стосується моделі, покаже істотний зв’язок із залежною змінною. А це означає, що кількісний зв’язок між змінними буде виміряний неправильно.

Третя помилка специфікації. Припускається, що залежна змін­на є лінійною функцією від деякої пояснювальної змінної, тоді як насправді тут краще підійшла б квадратична, кубічна чи поліноміальна залежність вищого порядку. У цьому разі наслідки такі самі, як і при першій помилці специфікації, тобто оцінки параметрів моделі матимуть зміщення.

Питання про вибір найкращої форми залежності має базуватися на перевірці ступеня узгодженості виду функції з вхідними даними спо­стережень.

Адекватність побудованої моделі можна встановити, аналізуючи залишки моделі. Вони обчислюються як різниці між фактичними значеннями залежної змінної і обчисленими за моделлю. Щоб пере­вірити, чи має розподіл залишків невипадковий характер, можна скористатися критерієм Дарбіна-Уотсона. Тоді перевірка моделі на існування автокореляції першого порядку аналогічна перевірці того, наскільки вдало вибрано форму економетричної моделі.

Точність вихідних даних

Висновки, які можна зробити в результаті економетричного моделювання, цілком зумовлені якістю вихідних даних – їх повнотою та вірогідністю. Це одна з найважливіших особливостей економетричного моделювання, на яку звертають увагу багато видатних економетристів. Так, наприклад, О. Моргенштерн ступінь точності даних, які необхідні для дослідження, ставить в пряму залежність від тієї конкретної мети, заради якої виконується вимірювання. При економічних розрахунках постає питання про точність (помилку) економічних показників. Похибки показників виникають і нагромаджуються при побудові алгоритму розрахунку, при формуванні даних, у процесі обчислень. Найістотніші похибки можуть виникати при переведенні понять економічної теорії в показники. Ці помилки можна назвати помилками, пов’язаними з розрахунком економічних показників. Вони спричинюються неточністю і неповнотою визначення змісту показників, невідповідністю між вимогами і фактичним змістом, коли в принципі не можна точно виміряти економічні процеси та явища.

Усі помилки поділяються на систематичні та випадкові.

Систематичні помилки або мають постійну величину, або змінюються, підпорядковуючись певній функціональній залежності. Вони завжди однонапрямлені і можуть бути істотними за величиною.

Випадкові помилки зумовлюються впливом випадкових чинників при формуванні показників. При повторних розрахунках економічних показників такі помилки можуть взаємно погашатись. Проте це не означає, що й економічні наслідки випадкових помилок мають ті самі властивості. Часто відхилення в оцінці показника в будь-який бік призводять до втрат або економічні наслідки є нелінійною функцією випадкових помилок. Тому, формуючи сукупність спостережень для побудови економетричної моделі, слід звертати увагу на можливість існування помилок у вихідних даних. Якщо немає змоги позбутись цих помилок (а впевненість в їх наявності існує), то слід використовувати спеціальні методи оцінювання параметрів економетричної моделі.

Види взаємозв’язків

Усі явища навколишнього світу, соціально-економічні зокрема, взаємопов’язані й взаємозумовлені. У складному переплетінні всеохоплюючого взаємозв’язку будь-яке явище є наслідком дії певної множини причин і водночас – причиною інших явищ. Причини та наслідки пов’язані неперервними ланцюгами прямо або опосередковано. Визначальна мета вимірювання взаємозв’язків – виявити і дати кількісну характеристику причинних зв’язків. Суть причинного зв’язку полягає в тому, що за певних умов одне явище спричинює інше. Причина сама по собі не визначає наслідку, останній залежить від умов, в яких діє причина. Вивчаючи закономірності зв’язку, причини та умови об’єднують в одне поняття «фактор». Відповідно ознаки, які характеризують фактори, називаються факторними, а ті, що характеризують наслідки, - результативними.

Аналіз характеру взаємозв’язків та оцінювання сили впливу факторів на результат є передумовою розробки науково обґрунтованих управлінських рішень, прогнозування й регулювання складних соціально-економічних явищ та процесів.

Розрізняють два види зв’язків – функціональні та стохастичні. У разі функціонального зв’язку кожному значенню незалежної змінної або фактора х відповідає одне або кілька чітко визначених значень змінної у. Такою, наприклад, є залежність довжини ртутного стовпчика від температури навколишнього середовища. Знаючи х, можна в кожному окремому випадку точно визначити результат у. При проведенні валютних операцій для переведення суми в національній валюті в еквівалентну їй суму в іноземній валюті використовують валютний курс.

У соціально-економічних науках до функціонального типу належать зв’язки між показниками - адитивні або мультиплікативні а також залежність середніх величин від структури сукупності.

На відміну від функціональних, стохастичні зв’язки неоднозначні. Наприклад. Залежність захворюваності населення від екологічного стану довкілля. На забруднених радіонуклідами територіях, як і на інших, стан здоров’я мешканців коливається від «тяжко хворого» до «практично здорового». Проте в середньому в таких регіонах порівняно з екологічно чистими захворюваність значно вища.

Стохастичні зв’язки виявляються як узгодженість варіації двох чи більше ознак. У ланці зв’язку «х → у» кожному значенню ознаки х відповідає певна множина значень ознаки у, які утворюють так званий умовний розподіл. Стохастичний зв’язок, відбиваючи множинність причин і наслідків, виявляється в зміні умовних розподілів.

Якщо умовні розподіли замінюються одним параметром – середньою , то такий зв’язок називають кореляційним.

Важливою характеристикою кореляційного зв’язку є лінія регресії – емпірична в моделі аналітичного групування і теоретична в моделі регресійного аналізу.

МНК

Це один з методів «теорії» помилок для оцінки невідомих величин за результатами змін, які містять випадкові помилки. МНК застосовується також для наближеного представлення заданої функції іншими функціями і часто виявляється корисним при обробці спостережень.

Суть обґрунтування МНК полягає в припущенні, що «втрати» від заміни точного значення фізичної величини μ її наближеним значенням х, обчисленим за результатами спостережень, пропорційна квадрату похибки: В цих умовах оптимальною оцінкою природно визнати таку, без систематичної помилки величину х, для якої середнє значення «втрат» мінімальне. Саме ця вимога складає МНК.

Закон великих чисел

Загальний принцип, в силу якого спільна дія випадкових факторів призводить при деяких досить загальних умовах до результату, який майже не залежить від випадку.

Наближення частоти настання випадкової події з її ймовірністю при зростанні числа дослідів може слугувати першим прикладом дії цього принципу.

Коефіцієнт детермінації

Вимірювання щільності нелінійного зв’язку ґрунтується на співвідношенні варіацій теоретичних та емпіричних значень результативної ознаки. Відхилення індивідуального значення ознаки від середньої можна розкласти на дві складові. У регресійному аналізі це відхилення від лінії регресії та відхилення лінії регресії від середньої .

Відхилення є наслідком дії фактора , відхилення – наслідком дії інших факторів. Взаємозв’язок факторної та залишкової варіації описується правилом декомпозиції варіацій: загальну дисперсію результативної ознаки можна розкласти на дві частини - дисперсію, що пояснює регресію, та дисперсію помилок:

де – загальна дисперсія; – факторна дисперсія; – залишкова дисперсія, або дисперсія помилок.

Очевидно, значення факторної дисперсії буде тим більшим, чим сильніший вплив фактора та .

Поділивши обидві частини на загальну дисперсію, отримаємо:

Перша частина цього виразу являє собою частину дисперсії, яку не можна пояснити через регресійний зв’язок, друга - частину дисперсії, яку можна пояснити, виходячи з регресії. Вона називається коефіцієнтом детермінації і використовується як критерій адекватності моделі, бо є мірою пояснювальної сили незалежної змінної:

Для лінійного зв’язку: .

Якщо значення коефіцієнта детермінації близьке до одиниці, то можна вважати, що побудована модель адекватна (). Варіація на залежить від варіації , і на від варіації інших факторів, які не враховуються в моделі.

Довірчі інтервали регресії.

Поняття про криві зростання

Криві зростання описують різні тенденції економічних процесів, наприклад, життєвий цикл товару, процес нагромадження капіталу, маркетингові зусилля фірми тощо. Економічна практика вже накопичила певний досвід і певні типи кривих, які найчастіше використовуються в макро- та мікроекономічних дослідженнях. До таких кривих відносяться:

 

Експоненційна функція
Степенева(мультиплікативна)
Зворотна
Квадратична
Модифікована експонента
Крива Гомперця
Логістична крива

 

У загальному випадку однофакторну економетричну модель можна подати у вигляді y = f (x) + u, де f (x) - одна з функцій зростання, а u - випадкова величина.

Як і у випадку з простою лінійною регресією, основне завдання полягає у розрахунку невідомих параметрів кривих зростання і подальшому аналізі обраної моделі. Оцінку невідомих параметрів проводять по-різному: експоненційні функції шляхом логарифмічних перетворень зводять до лінійної регресії, квадратичні функції зводять до багатофакторної регресії, для інших використовують ітеративні методи, метод трьох точок, метод Тейла тощо. Для тих функцій, які зводять до лінійної регресії, збігається вся методологія дослідження як і у випадку простої лінійної регресії.

Експоненційна функція.

Експоненційна функція може набирати різних чисельних еквівалентних форм:

, основна форма >0; (1)

, замінюємо на , де b₁ = ; (2)

замінюємо на 1- r, де ; (3)

замінюємо на та на , де і ; (4)

, замінюємо на і на 10 ^b, де , . (5)

Усі ці форми використовуються на практиці для опису різних економічних процесів. Наприклад, форму (3) найчастіше використовують у фінансах. В цьому разі r інтерпретується як норма річного відсотка. Розглянемо декілька прикладів застосування експоненційної функції у бізнесі та фінансах.

Приклад 1. Припустимо, що капітал С₀ знаходиться у банку протягом t років із річним відсотком r. Він змінюється відповідно до функції (3), тобто через t років капітал дорівнюватиме:

З експоненційної форми легко отримати так зване правило 70, поширене в фінансових розрахунках. Правило 70 дає значення часу t, через яке змінна подвоїть своє значення відносно часу 0. Припустимо, що у початковий період часу ми маємо капітал С₀, а в період часу t – капітал С _t. Тоді подвоєння капіталу можна записати, переходячи від форми (3) до форми (2):

Отже, капітал подвоїться через років.

Приклад 2. Приведення витрат до поточного часу.

Порівнюючи різні інвестиційні проекти, ми повинні порівняти в першу чергу кошти, які на них витрачаються, та майбутні прибутки, які вони приноситимуть. Найпростіше це зробити, оцінюючи майбутні витрати та прибутки у вартості поточного року. Для ілюстрації розглянемо приклад. Заощаджуючи в банку А гривень у поточному році при ставці процента r, через t років ми отримаємо:

Відповідно В гривень, отриманих у t році при ставці відсотка r, у поточному році коштуватимуть:

Величина називається приведеними витратами В гривень через t років до поточного часу (при нормі відсотка r).

Дискретною версією виразу є відома формула яку ми розглядали у першому прикладі, а зворотною до неї відповідно:

З дискретною версією легше працювати, коли t – є цілим числом. Якщо t набуває неперервних значень, перевагу слід віддати виразам або

Приведені витрати можуть також визначатись для потоку платежів. При нормі відсотка r приведені витрати платежу В₁, який ми мали б через t₁ років, платежу В₂ через t₂ років,..., платежу В_n через t_n років мають вигляд:

Приклад 3. Довічна рента.

Довічна рента – це послідовність однакових платежів у рівновіддалені інтервали для певного проміжку часу. Приведені витрати ренти А, яка виплачується наприкінці кожного з N років при постійній нормі відсотка r, що нараховується неперервно, дорівнює:

де PV – приведені витрати.

Враховуючи, що вираз його легко переписати у вигляді:

Якщо у виразі припустити, що тоді приведені витрати довічної ренти можна записати у вигляді:

За припущення, що ми будемо отримувати ренту довічно, тобто нескінченну кількість років , цей вираз набуде вигляду:

за припущення, що

Якщо ж відсоток нараховується щорічно, приведену довічну ренту до поточного часу краще подавати у відомому вигляді:

Якщо ми скористаємось формулою і припустимо, що то отримаємо:

Якщо , то останній вираз остаточно набуде вигляду:

Взагалі експоненційні функції використовуються для опису швидко зростаючих або спадаючих економічних процесів. При цьому, якщо >0 (b₁ >0) – функція зростає до нескінченості, якщо <0 (b₁ <0) – функція спадає до 0.

Параметр b можна інтерпретувати як коефіцієнт зростання у часі.

Шляхом логарифмічного перетворення можна легко звести експоненційну криву у будь-якій формі до лінійної функції, що дає змогу розрахувати параметри МНК та використовувати подальший аналіз моделі, як і в разі простої лінійної регресії. Отже, маємо:

 

Степенева функція.

Степенева функція є одною з найпоширеніших у практиці кривих зростання і описує дуже широкий спектр економічних процесів. Вона має такий вигляд:

Розглядатимемо випадок, коли , що є типовим для економічних процесів. Якщо значення параметра - не ціле число, то розглядають випадок, коли . При цьому залежно від знака параметру степенева функція описуватиме різні економічні процеси: прискорення зростання, уповільнення зростання та спад. Якщо =1, то степенева функція перетвориться на лінійну (рис.).

 

 

 

 

Рис. Вигляд степеневої функції, коли β – не ціле число, х ≥ 0.

 

 

Рис. Вигляд степеневої функції, коли β – ціле число.

 

Якщо параметр степеневої функції – ціле число, то залежно від того, парне чи непарне його значення, графік функції має певний вигляд. Якщо - парне число, тобто його можна подати у вигляді =2 k , тоді , а графік функції симетричний відносно осі ординат (рис. а). Якщо - непарне число, тобто його можна подати у вигляді =2 k -1 , тоді , а графік функції симетричний відносно початку координат (рис. б).

При побудові моделі основне питання полягає в тому, щоб розрахувати невідомі параметри мультиплікативної кривої. Степеневу криву, так само як і експоненційну, шляхом логарифмічного перетворення можна легко звести до лінійної функції, що дає змогу розраховувати параметри МНК.

Зведення до лінійної:

,

Степенева функція використовується для опису різних економічних процесів: виробничої функції Кобба-Дугласа, кривих байдужості, а також попиту на товари різних категорій, як так звана крива Торнквіста та ін.

Зворотні перетворення.

Узагальнена обернена модель має вигляд:

.

Вона нелінійна за х, але лінійна за параметрами , і тому є лінійною регресійною моделлю. Позначивши

, отримаємо .

Вибіркова обернена модель: , де b₀, b₁ -невідомі параметри, які необхідно знайти, u – помилка.