Понятие численного интегрирования. Нахождение интеграла методом прямоугольников, методом трапеций, методом Симпсона. 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Понятие численного интегрирования. Нахождение интеграла методом прямоугольников, методом трапеций, методом Симпсона.



. Геометрический смысл: если ф-я непрерывна на , и мы можем найти её первообразную F, то используется формула Ньютона-Лейбница =F(b)-F(a). Но дело в том, что:

1. F можно определить только для узкого круга ф-ций

2. Затраты на получение F(x) мб очень велики

3. Ф-я f(x) мб задана таблично

Поэтому используется численное интегрирование.

Пусть f(x) – вещественная ф-я, определенная на , разобьем её на интервалы , =a, =b

На каждом маленьком инт выберем , , и составим сумму: . , если предел существует.

Сумма S без предела – пример численного интегрирования, поскольку сумма отличается от истинного значения интеграла, можем оценить

, и - верхняя и нижняя суммы Дарбу, , .

,

Формул числ.интегрирования много, они отличаются друг от друга:

1) Выбором точек и

2) Скоростью сходимости

3) Оценкой погрешности

В общем случае точки - узлы, а разность между - весы, весы не зависят от f(x). Тогда можно составить: )

S=Q+R, R – погрешность вычисления интеграла, квадратурная формула. Считается, что она задана, если известно, как выбираются узлы в весах, и как считается погрешность R.

Метод прямоугольников.

Отрезок разбиваем на отрезки с шагом h, получаем набор , f(x) принадлежит с2 (дважды дифференцируема)

 

ng w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>i</m:t></m:r></m:sub></m:sSub></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">
 
 
f(x)
F
C
G
A
B
D

 

Каждый разбивается пополам и берем точку , строим в этой точке прямую и находим точку её пересечения с f(x), проводим прямую FG, заменяем площадь ABCD на площадь AFGD. Мы можем записать:

,

От маленького отрезка можно перейти к , +

R= ,

Чем меньше шаг, тем выше точность.

Метод трапеций.

, =h>0, f(x) принадлежит с2 (дважды дифференцируема)

B
C
A
D
 
 

 

 

На каждом отрезке строим хорду BC и площадь крив.тр ABCD заменяем на площадь прямоуг.тр ABCD.

R=

R= ,

Метод Симпсона.

, =h>0, f(x) принадлежит с4

 

 

С
В
D
f(x)
A
 
 
 

Строим , к-ая в т. В,С,D совподает со знач f(x). Криволинейная трапеция со знач f(x) заменяем на криволинейную трапецию с , вычисляем площадь новой криволинейной трапеции.

Для тог, чтобы посчитать a,b,c вычислим:

f( ) =

Значения должны совпадать с .

Составим сумму:

f( + = /

Отсюда можем записать f( +

R= ,

На практике при выборе h для достаточно большого [a;b] необходим о выбрать максимальное знач шага таким образом,чтобы мы смогли вычислить площадь с заданной точностью.

Метод прямоугольника:

Метод трапеции:

Метод Сипсона:

 

В зав-ти от считаем h. Это знач h выбирается исходя из нахудшего поведения f(x) на


 

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы решения. Задача Коши. Краевая задача. Решение ОДУ методом Эйлера, модифицированным методом Эйлера, методом Рунге – Кутта, методами прогноза и коррекции. Решение ОДУ большого порядка. Решение систем ОДУ. Методы решения краевых задач.

Ур-ния, содержащие неизвестную ф-цию под знаком производной, называются дифференциальными уравнениями. Если ур-ние содержит одну независимую переменную и производную по ней, то оно называется обыкновенным, т.е. ОДУ. Решить ОДУ – это значит найти некоторую ф-цию, которая удовлетворяла бы как самому ур-нию, так, возможно, дополнительным условиям.

В зависимости от дополнительных условий различают задачу Коши и краевую задачу.

Для решения задачи Коши существует набор хорошо апробированных методов, а решение каждой отдельной краевой задачи может потребовать специфических подходов. Поэтому в классической вычислительной математике рассматривают вычисления задачи Коши, которую в простейшем случае можно рассмотреть следующим образом:

Задано ОДУ первого порядка: и начальное условие: y(x0)=y0. Требуется найти ф-цию, удовлетворяющую как уравнению, так и начальному условию.

Решение: 1).x1=x0+h; 2)tgα=f(x0,y0); 3)y=y0=tgα(x-x0); 4)x=x1, y=y1; 5)x1y1

Численные методы для решения этой задачи могут быть разбиты на две группы: одношаговые и многошаговые.

Одношаговый метод.

В основе всех одношаговых методов лежит разложение ф-ций в ряд Тейлора:

, в котором сохраняются члены до установленного порядка. Если сохраняется член вида , то говорят, что метод имеет порядок n, а погрешность метода пропорциональна hn+1. Для нахождения следующей точки y(xk+1) требуется информация только об одной предыдущей точке y(xk) – способность самостартования.

Простейшим представителем одношаговых методов является метод Эйлера.

y(x+h)=y(x)+hy’(x)+O(h2)

 

 

В результате имеем общую формулу метода Эйлера: y(x0)=y0, k=0,1,2,…

Несомненное преимущество метода Эйлера – простота реализации. Существенный недостаток – крайне низка точность, которую, однако, можно заранее оценить.(с каждым шагом глобальная погрешность увеличивается)

Как правило, для повышения точности осуществляют решение с шагом h, с шагом h/2 и т.д. В этом случае процедуру называют самоконтролирующей или с автоматическим выбором шага.

Все остальные одношаговые методы базируются на идее Эйлера, но для значительного повышения точности используются дополнительные точки.

Модифицированный метод Эйлера:

y0
y1ср
y1*
х0
х1
αср
α0
α1
1)x1=x0+h; 2)tgα0=f(x0,y0)

3)tg α1=f(x1,y1)

4) tg αср= (tg α0- tg α1)/2

5)y=y0+ tg αср(x-x0)

6)x=x1 след. y1ср; 7)x1,y1ср

Точка по модиф. мет. Эйлера гораздо ближе к искомой, чем точка по обычному мет. Эйлера.

Классическим считается метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности.

yn+1=yn+1/6(k0+2k1+2k2+k3)

k0=hf(xn;yn)

k1=hf(xn+1/2h;yn+1/2k0)

k2=hf(xn+1/2h;yn+1/2k1)

k3=hf(xn+1/2h;yn+k2)

δ= |yn(h)-yn(h/2)|/15

Ошибка пропорциональна O(h5).

Этот метод сочетает простоту реализации с достаточной


 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-06; просмотров: 195; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.83.87.94 (0.126 с.)