Кількість переставлень обчислюють за формулою

Pm=m! (28)

Приклад застосування.

Задача. На полиці розташовано 10 книжок (різних). Скільки існує варіан-

тів їх розташування?

Розв’язок. P10=10!=3628800

Зауважимо, що переставлення є взаємно однозначне відображення

множини на себе.

 

5.7 Комбінації або сполучення

Підмножина потужності n у множині з потужністю m є конфігу-

рація з назвою “комбінація” або “сполучення”. Кількість таких конфігура-

цій позначають

 

Підмножина так само, як і розміщення, не має повторень елементів,

Кількість кортежів-розміщень перевершує кількість підмножин за рахунок

переставлень елементів кортежа, яких маємо n!. Звідси кількість

комбінацій без повторень

перевіримо формулу для множини S={a,b,c,d}, якщо потужність підмно-

жини n=2. Є такі варіанти підмножин: {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d},

{c,d}. Формула дає кількість варіантів - 6.

 

Приклад застосування.

Задача. Під час передачі двійкових даних 8-розрядна кодова комбінація

може мати зміни у деяких розрядах (або помилки) внаслідок дії перешкод.

Якщо помилки відбулися у двох розрядах, то це двократна помилка.

Скільки існує варіантів двократної помилки?

Розв’язок. Надамо номери розрядам кодової комбінації. Множина номерів

розрядів А={1,3,2,4,5,7,8,6} має потужність |A|=8. Кожен варіант дворазо-

вої помилки можна описати як підмножину потужності 2 у множині A.

Наприклад, підмножина {3,1} може означати, що помилки відбулися у

розрядах з номерами 3 та 1. Тоді для m=8 та n=2 всього існує 28 варіантів

дворазових помилок, бо

 

 

5.8 Властивості формули для обчислення кількості комбінацій

Це такі властивості:

 

 

Важливо також, що

(30)

Цей вираз є основа для побудови трикутника Паскаля:

.....................

У трикутнику Паскаля:

- два сусідні елементи будь-якого рядка у сумі дають елемент, розта-

шований між ними, але нижче на рядок,

- кожен рядок містить коефіцієнти складових у формулі бінома

Ньютона відповідного степеня,

- якщо від вершини трикутника торувати шлях до будь-якого елемен-та трикутника, роблячи кроки від елемента до сусіднього елемента тільки униз, то кількість можливих шляхів дорівнюватиме числовому значенню елемента.

Трикутник у числовому варіанті виглядає наступним чином.

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

....................

Можна перевірити, що сума елементів рядка є число 2, піднесене до степеня, що є номер рядка, починаючи з нульового номера рядка вершини трикутника.

 

 

5.9 Комбінації з повтореннями

Такі конфігурації не є кортежі і не є підмножини. Не кортежі, бо

порядок розташування елементів значення не має. Не підмножини, бо

є повторення елементів. Конфігурації визначені кількістю елементів (m)

та потужністю множини (n), елементи якої використовують (копіюють)

для побудови конфігурації. Приклади конфігурацій для m=6 та множині

A={a,b,c,d}, n=|A|=4:

[a,a,c,a,b,b], [d,d,d,d,d,d], [c,a,c,a,c,b]

Кількість конфігурацій позначають як

Вираз для обчислення кількості конфігурацій можна вивести з

наступних міркувань. Оскільки порядок розташування елементів у конфі-

гурації значення не має, розташуємо елементи груповано у порядку їх

запису у множині для наведених прикладів:

[a,a,a,b,b,c], [d,d,d,d,d,d], [a,a,b,c,c,c]

Характер елементів значення не має, тому у конфігураціях можна позначати їх однаково (хай буде позначка “0”), залишаючи лише позначки меж, де закінчується один різновид елементів і починається інший:

[0,0,0,1,0,0,1,0,1], [1,1,1,000000], [0,0,1,0,1,0,0,0,1]

Конфігурації, зображені у такий спосіб, є взаємно однозначне відобра-

ження прикладів конфігурацій, запропонованих раніше. Виходить, що

конфігурації відрізняються лише розташуванням меж (одиниць у двійко-

вому числі, у якому кількість одиниць дорівнює n-1, а кількість роз-

рядів дорівнює m+n-1). Задачу з розташуванням двох одиниць у 8-роз-

рядному двійковому числі (двократні помилки) ми розглянули у розділі

5.7, скориставшись аналогією, маємо кількість комбінацій з повторен-

Нями

 

(31)

Приклад застосування.

Задача. Маємо три гральні кістки (гральна кістка – кубічної форми, на

кожній грані кількістю крапок позначено число. Числа – 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Три гральні кістки водночас кидають на стіл - три числа на верхній грані

кісток складають конфігурацію. Скільки існує таких конфігурацій?

Розв’язок. Кількість елементів у конфігурації m=3, розташування елементів у конфігурації значення не має; потужність множини, з еле-ментів якої побудовано конфігурації n=6; за всіма ознаками ці конфігу-рації є комбінації з повтореннями, тому

 

5.10 Переставлення з повтореннями та поліноміальні коефіцієнти

 

Поліном на відміну від бінома має у доданках більш ніж два спів-

множника окрім коефіцієнтів, бо є результатом обчислення виразу

 

(32)

m елементів

Результат обчислення можна вважати сумою кортежів довжини n, серед

яких є еквівалентні, бо (для n=7)

Еквівалентні кортежі утворюються шляхом переставлення елементів, тому

це переставлення з наявністю повторень елементів у кортежі.

Кількість еквівалентних складових дорівнює поліноміальному коефіцієнту. Для кожного віріанта доданку буде свій коєфіцієнт. Знайдемо вираз для обчислення поліноміальних коефіцієнтів.

Припустимо, що треба знайти кількість еквівалентних доданків у (32), у складі яких є множник xayb(степені інших складових нас не цікавлять). Кількість варіантів кортежів довжини n, у яких x розташо-

вано на a місцях складатиме. Для кожного такого варіанту з решти місць (у кількості n-a) на частині місць у кількості b буде розташовано елемент y. Кількість варіантів такого розташування дорівнюватиме кіль-

комбінацій з n-a по b, що дає загальну кількість варіантів у відповідно-

сті з виразом

Зауважимо, що сума показників степеня у знаменнику, тобто,

a+b+(n-a-b) дорівнює n. Аналогічно у загальному випадку, якщо відомі степені всіх співмножників конкретного доданку з виразу (32), поліноміальний коефіцієнт для цього доданку обчислюють за виразом

, (33)

де

Приклад застосування.

Залача. Який буде поліноміальний коефіціент для доданку, що містить

 

при обчисленні?

Розв’язок.

 

 

Ще задача. Скільки буде варіантів розбиття множини потужності n=9 на

три підмножини, якщо

у першій підмножині - 2 елементи,

у другій підмножині - 4 елементи,

у третій підмножині - 3 елементи?

Розв’язок. Припустимо, що є кортеж довжини 9, у якому місця мають

номери від 1 до 9. Номери місць у кортежі складають множину потуж-ності n=9. Будь-який кортеж довжини 9, у якому дворазово присутній елемент x, триразово присутній елемент z та чотириразово елемент y,

є розбиття множини номерів місць у кортежі на підмножини, де

перша підмножина місць містить x, друга підмножина місць містить y

і третя підмножина місць містить z. Кількість варіантів такого розбит-тя дорівнює кількості переставлень з повтореннями або поліноміально-

му коефіцієнту з попередньої задачи, їх буде 1260.

 

5.11 Як розпізнати конфігурацію.

 

Наведені приклади використання формул для визначення кількості конфігурацій призначені допомогти читачеві розібратись в якій ситуації

мають місце ті чи інші конфігурації, та з чого випливає, яку саме формулу

слід використати. Але досвід показує, що цього не достатньо. Тому нижче

запропоновано алгоритм, за яким можна провести аналіз і одержати від-

повідь на запитання - до якої з розглянутих класичних конфігурацій

належить та, що є у вашій задачі. (Зрозуміло, що конкретна задача не обо-

в’язково закінчується розпізнаванням конфігурації та використанням від-

повідної формули).

Ви маєте підрахувати кількість якихось конфігурацій …

 

Якщо ви міняєте місцями елементи у конфігурації,

чи буде то

вже інша конфігурація серед та ж сама конфігурація серед

тих, які вам треба підраху- тих, які вам треба підраху-

вати? вати?

Чи є повторення елементів

Рис.5-1 у складі конфігуруції?

ні так

Конфігурація Конфігурація Конфігурація не є кортеж

є кортеж є підмножина і не є підмножина

 

Конфігурація Конфігурація Конфігурація не є кортеж

є кортеж є підмножина і не є підмножина

Якщо потужність Конфігурації мають назву

всіх підмножин “ комбінації з

Чи є повто - однакова, конфі- повтореннями ”.

рення елемен- гурації мають наз-

тів у кортежі? ву “ комбінації ”.

 

ні так

Чи однакова кількість Чи є обмеження

елементів у кортежі та на кількість однако -

у множині, з елемен- вих елементів у

тів якої побудовано складі кортежа

кортеж?

 

так ні

так ні Конфігурації

мають назву

Конфігурації Конфігурації “ переставлення

мають назву мають назву з повтореннями “,

“ переставлення ” “ розміщення ” кількість є поліно -

Міальний коефіцієнт

 

 

Конфігурації мають назву

“ розміщення з повтореннями “

Рис.5-1 (продовження) або “ вибірки ”.

 

 

6 Групи. Застосування у кодах.

 

6.1 Визначення

Група – алгебраїчна система з однією визначальною операцією.

Загальний запис

де A – множина,

°- позначка операції (тут абстрактної) над елементами множини. Відносно операції та множини є низка вимог:

 

1) результат операції над елементами множини має належати цій

множині; кажуть – множина є замкнена відносно операції; якщо ця ви-

мога виконана, алгебраїчна система має назву – групоїд;

2) операція має бути асоціативною; якщо ця вимога виконується

разом з вимогою п.1, алгебраїчна система має назву – півгрупа;

3) множині має належати нейтральний елемент для операції

(позначимо літерою “е”), такий, що

;;

якщо ця вимога виконується разом з вимогами п.1 та п.2, алгебраїчна

система має назву – моноїд;

4) для кожного елемента множини у складі множини має бути

обернений елемент, такий, що

та;

обернений елемент для цих виразів не обов’язково один і той же.

Якщо виконані всі чотири умови – алгебраїчна система є група.

 

6.2 Приклади груп

6.2.1 Група переставлень або симетрична група

порядку n!.

Порядок групи дорівнює потужності множини групи. Припустимо

n=3, потужність множини n!=3!=6. Слово “переставлення” тут слід розу-

міти не як кортеж з трьох елементів, у якому переставлено місцями еле-менти, а як алгоритм-вказівку про те, як саме здійснити одноразове

переставлення. Такий алгоритм зображують двома рядками. Верхній ря-

док показує розташування елементів до переставлення, нижній – після пе-

реставлення, наприклад:

 

 

Тому загальний запис групи складається з множини перестав-

лень

А=

 

та з операції композиції переставлень з позначкою “ ”. Операція з двох

переставлень продукує третє, еквівалентне за дією послідовному вико-нанню двох, наприклад:

(34)

 

Операція виконана за таким правилом. У першому стовпчику пер-

шого переставлення маємо перехід a®b. Стовпчик другого переставлен-

 

ня, що має верхній елемент b, має перехід b®c. З двох переходів маємо

ланцюжок a®b®b®c, у якому початковий та кінцевий елементи ство-рюють стовпчик з переходом a®c, тобто, перший стовпчик переставлен- ня - результата операції. Аналогічно ланцюжок b®c®c®b дає другий

стовпчик з переходом b®b і ланцюжок c®a®a®a дає третій стовпчик результата з переходом c®a.

Проаналізуємо, чи є система групою, тобто, чи відпо-

відає вимогам.

1) вимога замкненості множини відносно операції виконана; це ви-

пливає з таких міркувань: результат операції над двома переставленнями є теж переставлення; множина A містить у собі всі можливі варіанти пере-ставлень і тому містить у собі результат операції;

2) вимога асоціативності операції виконана, бо для будь-яких

трьох елементів множини A можна довести можливість переставлення

дужок так, як це показано у наступному прикладі:

,

 

після виконання операцій у дужках маємо:

і далі;

 

3) множині A належить елемент, який є нейтральний,

 

бо або, тобто вимога

 

наявности нейтрального елемента у множині - виконана;

4) вимога наявності оберненого елемента для кожного у множині

виконана бо можна запропонувати наступний спосіб одержання обернено-го елемента для кожного елемента множини A: у елемента треба переста-

вити місцями рядки, потим переставити місцями стовпчики, щоб верх-

ній рядок мав вигляд a b c; наприклад:

 

для елемента одержимо обернений і

 

доведемо, що це обернений елемент:

 

Таким чином, алгебраїчна система є група. Розгляд у якості прикладу саме такої групи пояснюється потребою підкреслити, що

 

елементи групи не обов’язково числа і операції не обов’язково арифметич-

ні.

 

6.2.2 Zn– група остач (залишків) за модулем n

 

Ця алгебраїчна система складається з множини залишків від ділен-

ня цілих додатних чисел на n та операції складання за модулем n, тобто,

, B=(0,1,2,…,n-1),. Операція modn

залишає від числа у дужках залишок від його ділення на n. Доведемо, що

є група.

1) операція дає результат - залишок від ділення на n, а мно-

жина B містить всі варіанти залишків від ділення на n, тому результат опе-

рації завжди належить множині і замкненість гарантована;

2) асоціативність операції випливає з того, що під час виконання

операції спочатку виконують звічайне додавання, а воно асоціативне;

3) у складі множини є нейтральний елемент; це 0; складання з нулем

дає у результаті другий операнд операції;

4) обернений елемент для кожного елемента множини групи можна

обчислити за виразом

,

бо

 

Таким чином Znє група.

 

6.2.3 Коди у остачових (залишкових) класах

 

Ідея кодування цілих додатних чисел шляхом використання замість

чисел залишків від їх ділення на відповідні модулі приваблює тим, що

під час додавання чисел (як у групі Zn) немає перенесень у старші розря-

ди, а це відкриває можливість принаймні одержати підвищену щвидкість

функціонування лічильників з регістрацією чисел та суматорів у спеціалі-

зованих обчислювальних пристроях. Залишкові класи – це підмножини

цілих додатних чисел, поєднані відношенням еквівалентності; числа екві-

валентні за тією ознакою, що мають однаковий залишок під час ділення на

певне число. Розглянемо приклад, що демонструє можливість додавання

багаторозрядних чисел без перенесень. Трирозрядні числа будуватимемо,

розташовуючи у першому (зліва) розряді елементи групи Z7, у другому

розряді елементи групи Z9, у третьому - Z8. Діапазон чисел, які можна

зобразити таким кодуванням дорівнює 7×9×8=504, тобто можна цим

кодом зобразити десяткові числа від 0 до 503. Процедура кодування поля-

гає в одержанні залишків за відповідним модулем. Десяткове число 100

 

 

виглядатиме як 412, бо 100mod8=4, 100mod9=1, 100mod7=2. Розглянемо додавання чисел 109 та 156:

Десяткові Кодовані запропонованим кодом числа

числа за модулями

8 9 7

109 à 5 1 4

+ Å

156 à 4 3 2

________________________

1 4 6 ß результат додавання за

результат à 265 à 1 4 6 модулями 8,9,7

десяткового

додавання

Таким чином, можливі операції додавання багаторозрядних чисел без перенесень з використанням кодування у залишкових класах

 

6.2.3 Група коренів рівняння xn=1

 

Рівняння має один дійсний корінь x=1, якщо n непарне,

має ще один дійсний корінь x=-1, якщо n парне. Інші корені (всього їх

має бути n) комплексні з модулем 1. Множина коренів з операцією мно-

ження створюють групу, тобто, система, де A – множина ко-

ренів, є група. Підтвердимо це на прикладі для n=5. Множина коренів

рівняння x5=1. Впевнитись, що ком-

плексні числа є корені равняння, можна піднесенням кореня до степеня

5; результат дорівнюватиме 1. Наприклад,

 

 

Перевіримо, що система відповідає вимогам до груп:

1) добуток, якщо співмножники є корені з множини A, теж нале-

жить множині A; це тому, що

 

(35)

 

і під час множення маємо складати показники степеня, що зводиться пі-сля винесення за дужки до складання за модулем 5 двох зна-

 

чень змінної i, а це дасть ціле число від 0 до 4 включно, тобто, один з коренів;

2) aсоціативність операції звичайного множення доведення не потре-бує;

 

 

3) для операції множення у складі множини A є нейтральний еле-

мент; це 1;

4) для кожного кореня з певним значенням змінної i можна запро-понувати корінь із значенням змінної 5-i, який є обернений елемент до

нього та їх добуток дорівнюватиме нейтральному елементу, тобто 1.

Таким чином, система U5є група.

 

6.2.5 Група n-розрядних двійкових чисел з операцією підсумовування розрялами (XOR)

 

Алгебраїчна система G=(C, XOR) для n=3 має множину

С={000,001,011,010,100,101,110,111). Операція XOR є у складі команд

будь-якої ЕОМ і виконується складанням без перенесень у старший

розряд. Покажемо виконання вимог групи:

1) підсумовування розрядами двох елементів множини С дасть

трирозрядне двійкове число, а множина C містить всі варіанти таких чи-

сел, тому результат операції обов’язково належить множині C і замкне-

ність множини відносно операції гарантована;

2) під час виконання операції XOR кожен розряд обробляється

окремо шляхом підсумовування за модулем 2, а ця операція була ви-

знана асоціативною у прикладі груп залишків за модулем, тому опера-

ція XOR асоціативна;

3) у складі множини С є нейтральний елемент 000;

4) кожний елемент групи є обернений сам до себе, оскільки під-

сумовування розрядами двох однакових чисел дає нульовий результат,

тобто, нейтральний елемент.

Таким чином, алгебраїчна система G=(C, XOR) є група.

 

6.2.6 Група многочленів над GF(2)

 

Многочлени над GF(2) мають складові з паднесеної до різного степеня (але не більше n) формальної змінної x з коефіцієнтами з поля Галуа характеристики 2. Поле тут це алгебраїчна система з двома виз-начальними операціями; це додавання за модулем 2 та множення. Якщо

характеристика дорівнює 2, множина аклгебраїчної системи складається

з двох елементів {0,1}. Це значить, що коефіцієнти складових або оди-ниці, або складові відсутні; під час додавання многочленів коефіцієнти

підсумовуються за модулем 2, як і в операції поля GF(2). Розглянемо

приклад для n=3. Алгебраїчна система Мn=(D,Å) є група. Визначимо,

що є множина і як виконується операція. Множина

 

Додавання:

(36)

Результат пояснюється тим, що

 

Переглянемо виконання вимог до групи:

1) операція така, що поява у доданків показників степеня, відмінних від 0,1,2,3 неможлива; всі варіанти многочленів є у складі множини D,

тому результет операції завжди буде належати множині D і замкненість

гарантована;

2) під час обчислення коефіцієнтів многочлена використовують опера-цію додавання за модулем, яка є асоціативною (розділ 6.2.2), тому опера-

ція додавання многочленів теж є асоціативною;

3) нейтральний елемент 0 належить множині D;

4) для кожного елемента множини D у складі множини D можна знай-

ти обернений, бо кожний елемент є обернений сам собі.

Таким чином, алгебраїчна система Мn=(D,Å) є група.

 

6.3 Підгрупи

 

Підгрупа це підмножина групи, яка відповідає всім вимогам гру-

пи. Розглянемо приклад. У групі залишків за модулем, де

A={0,1,2,3.4.5}, виділимо підмножину D. DÌA, D={0,3}. Перевіримо

виконання вимог до групи у алгебраїчній системі:

1) множина має всього 2 елементи, тому неважко віконати всі мож-

ливі операції в системі і впевнитись, що результат операції завжди нале-

жить множині D:,.; наявна зам-

кнекність множини відносно операції;

2) асоціативність у операції є, бо операцію не змінювали;

3) нейтральний елемент у групі та підгрупі той же самий – 0;

4) кожний з елементів підгрупи є сам собі обернений – ця вимога

теж виконана. Таким чином, система є підгрупа у групі.

 

6.4 Циклічна підгрупа

 

Розглянемо спосіб виділити підгрупу у групі. Нехай маємо деяку

групу з множиною Q та абстрактною операцією, тобто, систему (Q,).

Візьмемо елемент множини qÎQ і будемо виконувати багаторазово

групову операцію, щоб одержати

q, (умовно позначимо, як q), (позначимо, як q) і так

доти, поки не отримаєимо qm=e (нейтральний елемент). Тоді з множиною

F={q,q2,q3,…qm} система (F,°) є циклічна підгрупа. Доведемо, що вимо-

 

ги групи тут виконані. Якщо перемножити два елементи з множини F,

(37)

можна стверджувати, що у показниках степеня відбуваються такі ж дії,

як у групі Zm. Для доведення виконання вимог групи цього достатньо з посиланням на ізоморфізм груп (подібність алгебраїчних систем розгля-немо нижче). Приклад. Задача. Знайти циклічну підгрупу у групі Z12, бе-

ручі q=4. Розв’язок: q=4, q Å12q=8, q Å12q Å12q=12mod12=0

Звідси G=(B, Å12), де B={4,8,0}, є підгрупа порядку 3 у множині Z12.

Порядок підгрупи (або групи) є потужність множини підгрупи (абогрупи). Порядок елемента групи є порядок циклічної підгрупи, яку виділено за допомогою цього елемента.

 

6.5 Теорема Лагранжа

 

Теорема Лагранжа встановлює звязок між порядком групи та можли-

вими варіантами порядку підгруп у цій групі. Формулювання її таке:

порядок елемента групи ( порядок підгрупи ) є дільником порядка групи. Це означає, що, коли, наприклад, у групі 12 елементів, то можли-

ві підгрупи з 1, 2, 3, 4, 6, 12 елементів. А якщо у групі 7 елементів, то

можуть бути лише тривіальні підгрупи (вони є завжди) з одного та з семи

елементів. У цьому випадку (коли порядок групи є просте число) нама-

гання виділити циклічну підгрупу призведе до виділення всієї групи. Це

іноді використовують для пошуку розв’язків рівнянь, відносно яких відо-

мо, що розв’язки створюють групу. Маючи один з розв’язків, виділенням

циклічної підгрупи знаходять інші розв’язки. Наприклад, знаємо, що коре-

ні алгебраїчного рівняння x7=1 створюють групу відносно множення.

Коренів всього 7. Один корінь x=1 – дійсне число, інші - комплексні числа.

достатньо знайти хоча б один комплексний корінь – багаторазовим мно-

женням можна знайти всі інші комплексні корені. Нехай знаємо один ком-плексний корінь

, тоді інші,,,,

 

.

 

6.6 Розбиття групи на суміжні класи

 

Суміжні класи це специфічні підмножини групи, які не мають взаєм-

них перетинів і мають однакові потужності з підгрупою, використаною

для розбиття. Якщо виконати групову операцію між елементом групи,

який не належить підгрупі, та всіма елементами підгрупи, то одержимо

 

підмножину групи з такою властивістю: виконання групової операції між

будь-яким елементом цієї підмножини і множиною підгрупи виділить

знову цю ж підмножину групи (суміжний клас). Для виділення наступного

суміжного класу треба виконати групову операцію між елементом групи,

що не належить ні підгрупі, ні вже виділеній підмножині групи (суміжно-

му класу), та множиною підгрупи. Тобто, маємо групу, має-

мо також підгрупу у цій групі, де HÌA, A={a1,a2,a3,…,am};

якщо aiÏH, операція ai°H віділить суміжний клас H1= ai°H, якщо ajÏH

та ajÏH1, то операція aj°H віділить наступний суміжний клас H2= aj°H

і так далі, поки не будуть виявлені всі n суміжних класів (n=½A½¤½H½).

Приклад: Розбиття групи Z12= (A, Å12) на суміжні класи за підгрупою

B=(H, Å12), де A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}, H={4,8,0}. Суміжний клас,

якщо виберем елемент 3ÏH, H1= 3 Å12H= 3 Å12{4,8.0}={7,11,3}; наступ-

ний суміжний клас з елементом 5ÏH, H2= 5 Å12H= 5 Å12{4,8.0}={9,1,5};

і нарешті з елементом 2, який не належить ні підмножині, ні жодному з

виділених суміжних класів, маємо H3= 2 Å12H= 2 Å12{4,8.0}={6,10,2}.

Таким чином, маємо розбиття A=HÈH1ÈH2ÈH3, бо HÇH1=Æ, HÇH2=Æ,

HÇH3=Æ, H1ÇH2=Æ, H1ÇH3=Æ, H2ÇH3=Æ.

 

7 Подібність алгебраїчних систем