Зв'язок теорії ймовірностей з теорією множин

 

Множину всіх можливих наслідків випробування називають основним простором або простором елементарних подій (наслідків) і позначають Q. Наслідок позначають со.

Випадковою подією (наслідком) називається будь-яка підмножинаЛ простору Q, тобто будь-яка множина наслідків. Наслідки, які утворюють подію А, називають сприятливими для А (соє А). Подія А настає тоді і тільки тоді, коли настає елементарна подія (наслідок), сприятлива для А.

Тому теорія ймовірностей і теорія множин мають багато спільного. Втім, в них йдеться про одне й те саме різними словами, що видно з такої таблиці:

Приклад. Підкидають два гральних кубики. Подія А - сума очок, які з'явились, дорівнює 10; подія В - принаймні один раз з'явиться шістка. Опишіть простір елементарних подій та події A U В і А ∩ В.

Простір елементарних подій, або множину можливих наслідків ви­пробування, можна записати як набір усіх можливих впорядкованих пар чисел від 1 до 6 (кожну із шести граней першого кубика можна розглядати у парі з будь-якою гранню другого кубика). Отже,

Ω = {(1; 1), (1; 2),...(1; 6), (2; 1),..., (6; 5), (6; 6)}.

Всього за правилом добутку маємо 6 • 6 = 36 елементів.

Подію А задаємо переліком елементів, які її складають:

 

А = {(4; 6), (5; 5), (6; 4)}.

 

Аналогічно

 

В={(6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6), (1; 6), (2; 6), (3; 6), (4; 6), (5; 6)}.

 

Об'єднання A U В - подія, яка полягає в тому, що відбудеться хоча б одна з подій А або В. Тому A U В означає, що або сума очок на гранях, які випали, дорівнює 10, або принаймні один раз з'явиться шістка.

Оскільки елементи (4; 6) і (6; 4) входять одночасно ідо А, ідо В, то

 

A U B = ((5; 5)}U B.

Подія А ∩ В складається з двох елементів, які входять і до А, і до В:

 

A ∩ B = {(4; 6), (6; 4)}.

Геометричні ймовірності

 

Класичне означення ймовірності ґрунтується на тому, що випробу­вання має скінченну кількість наслідків. Проте є досліди, які мають не­скінченну кількість наслідків.

Наприклад, нехай на площині міститься область Ω. і в ній міститься інша область А (рис. 300).

Припустимо, що в область Ω навмання кидають точку. Як визначити ймовірність того, що кинута точка потрапить до області А? Природно вважати, що ймовірність попадання точки до області А пропорційна площі цієї області і не залежить від розміщення та форми цієї області.

Підмножини області Ω, які мають площу, називатимемо в такому разі випадковими подіями. Якщо А - випадкова подія, то вважатимемо, що

 

(1)

 

де S(A) – площа A, S(Ω.) -площа Ω.

Ймовірності, що подаються як відношення площ областей (довжин відрізків, об'ємів тіл), називають ще геометричними ймовірностями.

Приклад 1. Знайти ймовірність того, що навмання взята точка з круга радіуса R належа­тиме квадрату, вписаному в коло, яке обмежує круг (рис. 301).

 

 

За означенням геометричної ймовірності маємо

де S₁ - площа квадрата A ВCD; S - площа круга радіуса R.

Оскільки АВ² = 2R², то S₁ = 2R². Тому

 

 

На перший погляд здається, що геометричні ймовірності є мало корис­ними для застосувань. Проте це не так. Багато задач, серед яких і ті, що висуваються практикою, врешті-решт зводяться до відшукання ймовір­ності попадання точки в деяку область.

Приклад 2 (задача Бюффона). Нехай на площині проведено пара­лельні прямі так, що відстань між сусідніми прямими дорівнює 2а. На площину навмання кидають голку завдовжки 2l, l<а. Яка ймовір­ність того, що голка перетне якусь із цих прямих?

Положення голки однозначно визначається величиною кута де та відстанню від середини голки до найближчої прямої (рис. 302). Отже, можна взяти за простір Ω елементарних наслідків прямокутник , 0<у<а. Оскільки з ΔACBD = ВС = ABsinx = lsinx, то голка перетне пряму тільки тоді, коли у < d, тобто

 

(2)

 

Точки, координати яких задовольняють нерівності (2), утворюють фігуру, заштриховану на рис. 303. Згідно з рівністю (1) площа цієї фігури, поділена на площу прямокутника, і буде дорівнювати шуканій імовір­ності. Площа прямокутника . Площа заштрихованої фігури

 

Формула (3) є корисною при розв'язуванні багатьох задач. Зокрема, користуючись цією формулою, можна наближено обчислити число п. Справді, з формули (3) маємо

 

 

Нехай голку кинуто п разів і т разів вона перетнула пряму. При досить великих п віднось Тому при досить великих п відносна частота як завгодно мало відрізняється від імовірності Р(А). Тому

 

Під час проведення випробувань голку було кинуто 5000 разів, при­чому найближчу пряму вона перетнула 2532 рази. Довжина голки була 36 мм, відстань між паралельними прямими 45 мм. Отже,