Повторні випробування. Формула Бернуллі 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Повторні випробування. Формула Бернуллі



 

Коли виконуються послідовні випробування, то за результатом кож­ного з них може відбутися або не відбутися деяка подія A.

Нехай проводиться п випробувань (одноразових експериментів), причому ймовірність настання події А у кожному випробуванні Р(А) = р і не залежить від результатів інших випробувань. Такі випробування нази­ваються незалежними. Оскільки ймовірність настання події А в одному випробуванні дорівнює p, то ймовірність її ненастання Р(Ặ) = 1 - р = q.

Знайдемо ймовірність того, що при п випробуваннях подія А настане рівно k разів (0 < k < п). Виконавши п послідовних випробувань, мати­мемо різні комбінації результатів. Ті комбінації результатів, в яких подія відбудеться к разів, називатимемо сприятливими.

Визначимо ймовірність Р однієї сприятливої комбінації. Сприятливою комбінацією є добуток п незалежних у сукупності подій: k появ події і п - k появ події . Отже, за теоремою про ймовірність добутку подій, незалежних у сукупності, дістанемо, що ймовірність однієї сприятливої комбінації дорівнює

 

 

Здійснення складної події, яка полягає в тому, що подія А настає рівно k разів, рівносильна появі принаймні однієї сприятливої комбінації. Інши­ми словами, така складна подія є сумою всіх сприятливих комбінацій. Проте сприятливі комбінації попарно несумісні. Тому за теоремою про додавання ймовірностей попарно несумісних подій дістанемо ймовір­ність появи події А k разів при п випробуваннях:

 

 

де N - кількість усіх можливих комбінацій.

Залишається визначити N. Розглянемо спочатку приклад.

Нехай п = 3, k = 2. Сприятливими тут є такі комбінації результатів випробувань, коли з трьох випробувань подія А відбувається двічі. Поз­начатимемо появу події А знаком "+", а появу події знаком "-". Тоді сприятливі комбінації можна зобразити у вигляді рядків такої таблиці:

 

     
- - -
+ + -
+ - +
- + +

Очевидно, сприятливих комбінацій може бути стільки, скільки різних рядків у цій таблиці, а їх буде стільки, скількома способами можна розміс­тити два знаки "+" у трьох клітинках, тобто треба кожного разу з трьох клітинок вибрати дві. Очевидно, це можна зробити C32 способами. Отже, у цьому разі буде C32 сприятливі комбінації результатів випробувань.

 

Повернемося до загального випадку. Кількість усіх можливих сприят­ливих комбінацій N = Ckn. Підставивши це у формулу (2), матимемо

 

 

Формулу (3) називають ще формулою Бернуллі.

Приклад 1. Імовірність виготовлення стандартної деталі дорівнює 0.95. Яка ймовірність того, що серед десяти деталей: а) лише одна не­стандартна; б) не більше однієї нестандартної?

а) Нехай подія А полягає в тому, що серед десяти деталей лише одна нестандартна. Тоді маємо п = 10, k = 1, р = 0,05. За формулою (3)

 

 

б) Нехай подія В полягає в тому, що серед десяти деталей не більше однієї нестандартної. Тоді

 

 

За умовою шукана ймовірність Р = Р(А U В). Події А і В несумісні, тому Р = Р(А) + Р(В). Отже,

 

 

Приклад 2. Що більш імовірно: виграти у рівного собі гравця в шахи 4 партії з 8 чи 3 партії з 5? Нічиї виключаються. Позначимо першу подію А, другу - В. Тоді маємо

 

 

Отже, Р(В)>Р(А).

Набір чисел Рп(k), де k = 1, 2,..., п, називається біноміальним роз­поділом. Він залежить від двох параметрів: п, р.

Властивості:

 

 

2) Рn (k) спочатку зростають до якогось найбільшого значення, а спадають:

 

 

Найімовірніше число успіхів λ в схемі Бернуллі задовольняє нерівності

 

 

Приклад 3. Гральний кубик підкидають 35 разів. Яке найімовірніше число появи грані з одним очком?

 

 

Отже, дістали два значення: λ = 5, λ = 6.

 


Граничні теореми Бернуллі

 

При досить великій кількості випробувань n безпосереднє обчис­лення ймовірності Рп (k) за формулою Бернуллі ускладнюється. Для спрощення обчислень Рп(k) запропоновано ряд наближених формул.

Теореми, в яких наводяться такі формули, називаються граничними тео­ремами схеми Бернуллі.

Локальна теорема Лапласа. Якщо ймовірність р появи події А у кожному випробуванні стала (0<р<1), то ймовірність Рп(k) того, що подія А з'явиться k разів у п незалежних випробуваннях, наближено дорівнює (тим точніше, чим більше п)

Значення функції φ(x) знаходять за таблицями (див. додатки, табл. 4).

Деякі властивості функції φ (x):

1) визначена на всій числовій осі;

2) парна, тобто φ (-x) = φ (x)

Графік функції Гаусса наведено на рис. 308.

 

Приклад 1. Знайти ймовірність того, що з 500 висіяних насінин не зійде 130, якщо схожість насіння оцінюється ймовірністю 0,75.

 

Графік функції Лапласа наведено на рис. 309.

Приклад 2. Ймовірність появи події в кожному зі 100 незалежних випро­бувань дорівнює р = 0,8. Знайти ймо­вірність того, що подія з'явиться не менш як 70 разів.

Вимога, щоб подія з'явилася не менше, ніж 70 разів, означає, що подія може з'явитися або 70 разів, або 71 раз,..., або 100 разів. Отже, в даному випадку покладемо k1, =70, k2 =100 і скористаємося інтег­ральною теоремою Лапласа. Тоді

 

 

За таблицею значень Ф(х) знаходимо Ф(-2,5) = -Ф(2,5) = -0,4938; Ф(5) = 0,5. За формулою (2) дістанемо

 

 

Теорема Пуассона. Якщо в схемі Бернуллі пр = λ - стала, то

Застосовується теорема при пр < 10 у вигляді наближеної формули для великих значень п (не менше кількох десятків) та малих р (р < 0,1):

Пуассона.

Приклад 3. Молокозавод відправив у магазин 500 пакетів молока. Ймовірність пошкодження пакета при транспортуванні дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що при транспортуванні буде пошкоджено па­кетів: 1) три; 2) менше трьох; 3) більше трьох; 4) хоча б один.

 

Число п = 500 велике, ймовірність р = 0,002<0,1, події (пош­кодження пакетів) незалежні; тому можна скористатися формулою Пуассона (3).

1) λ = пр = 500 · 0.002 = 1. Ймовірність того, що буде пошкоджено,

 

2) ймовірність того, що буде пошкоджено менше трьох пакетів,

3) події "пошкоджено більше трьох пакетів" та "пошкоджено не більше " є протилежними, тому

4) подія "пошкоджено хоча б один пакет " є протилежною до події "жоден пакет не пошкоджено." Тому шукана ймовірність того, що буде пошкоджено хоча б один пакет, дорівнює

 

 


Випадкові величини

Одним із основних понять теорії ймовірностей є поняття випадкової величини, з яким пов'язане уявлення про результати деякого випробу­вання, що полягає у вимірюванні певної числової величини. Величина, яка цікавить дослідника, може набувати різних значень залежно від ви­падкових обставин. Прикладами випадкових величин можуть бути кіль­кість очок, що випадають на грані гральної кості, кількість викликів, що надходять протягом певного протяжку часу, кількість новонароджених за добу в деякій місцевості, час безвідмовної роботи приладу, дальність польоту ракети тощо. Якщо в результаті експерименту величина набуває лише одного можливого числового значення, заздалегідь невідомого і обумовленого випадковими причинами, то її називають випадковою. Отже, випадкова величина є числом, яке ставиться у відповідність кож­ному можливому наслідку експерименту.

Означення 1. Випадковою величиною називається числова функція, визначена в просторі елементарних подій.

Означення 2. Випадкова величина називається дискретною, якщо її значення можна записати у вигляді послідовності (скінченної або не­скінченної).

Випадкові величини позначаються великими латинськими літерами X, Y, Z, а їх значення відповідними малими літерами.

Якщо випадкова величина X набуває значень х12,..., хп з відповід­ними ймовірностями р12, …, рn, то говорять, що задано закон розпо­ділу ймовірностей випадкової величини. Закон розподілу дискретної випадкової величини зручно записувати у вигляді таблиці:

 

X х1 Х2 Хn
P р1 р2 рn

 

де рк = P(x = xk)>0, k = 1,..., n.

Враховуючи, що в одному випробуванні випадкова величина набуває лише одного можливого значення, зробимо висновок, що події X1, X =х2,..., X = хп утворюють повну групу, а тому

 

 

Означення 3. Дві випадкової величини називаються незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, яких можливих значень набуває інша випадкова величина. У противному разі випадкові величини залежні.

Наведемо деякі приклади дискретних випадкових величин та їх роз­поділів.

1. Рівномірний дискретний розподіл: випадкова величина набуває п різних значень з імовірністю 1/ n кожне.

2. Біноміальний розподіл.

3. Розподіл Пуассона.

4. Геометричний розподіл: проводяться незалежні випробування з імовірністю успіху р.

X- кількість спроб до першої появи події A, тобто до успіху; q = 1- р. Закон розподілу подається таблицею:

 

X 0 1 2 n
pi p qp q2p qnp

 

5. Гіпергеометричний розподіл. Нехай в партії N виробів, із них п -бракованих. N -п - якісних. Навмання вибирають k виробів. Знайти закон розподілу величини X - кількість бракованих виробів серед k.

 

Приклад 1. Вибираємо навмання одне з натуральних чисел від 1 до 10 і підраховуємо кількість його натуральних дільників X. Знайти закон розподілу випадкової величини X.

Складемо спочатку таблицю кількості дільників натуральних чисел:

Ω                    
X                    

 

Вибір будь-якого числа від 1 до 10 є рівноможливим, тому ймовір­ність його вибору дорівнює 0,1. Об'єднавши результати, що відпові­дають однаковій кількості дільників, і додавши їх імовірність, знайдемо закон розподілу X:

 

X        
р 0,1 0,4 0.2 0,3

 

Контроль: 0,1 + 0,4 + 0,2 + 0,3 = 1.

Закон розподілу повністю характеризує дискретну випадкову величину, але він може бути невідомим; тоді корисними є деякі сталі величини, які дають уявлення про випадкову величину. Такі сталі величини називають числовими характеристиками випадкових величин. Серед числових харак­теристик особливе значення має математичне сподівання.

Означення 4. Математичним сподіванням (або середнім значенням) дискретної випадкової величини X називається число, яке дорівнює сумі добутків усіх її можливих значень на відповідні ймовірності:

 

 

Нехай випадкова величина може набувати значень x1,.x2,..., хп і всі її значення однаково ймовірні. Тоді ймовірність кожного з них р = 1/p.

Математичне сподівання цієї випадкової величини

 

Отже, в даному разі математичним сподіванням випадкової величини є середнє арифметичне всіх її можливих значень. У загальному випадку математичне сподівання випадкової величини не буде середнім арифме­тичним всіх її можливих значень. Проте в деякому розумінні його можна розглядати саме так. Справа в тому, що в задачах практичного спряму­вання закон розподілу випадкової величини є невідомим. Тому виконують велику кількість випробувань або спостережень, кожне з яких відбу­вається у приблизно однакових умовах. Таку сукупність спостережень називають вибіркою із значень, яких набуває дана величинах

Нехай у вибірці з п спостережень за випадковою величиною X ця вели­чина п1 разів набувала значення х1, …; п2 разів - значення х2,...; nk разів-значення xk, причому п1 + п2 +... + nk = n. Тоді сума всіх значень, які спостерігались, дорівнює x1n1 + x2n2 +... + xknk. Величина

називається вибірковим середнім.

п. Зауважимо, що відношення n1/n є відносною частотою значення х1, n2/n є відносною частотою значення х2, nk/n є відносною частотою значення хk, причому відношення n1/n, n2/n,…, nk/n змінюються від вибірки до вибірки.

Проте за достатньо великої кількості спостережень п маємо наближені рівності

Це означає, що математичне сподівання наближено дорівнює (тим точніше, чим більше число спостережень) вибірковому середньому.

Властивості математичного сподівання:

Точку з координатою М(Х) називають центром розсіяння ймовірностей. Випадкову величину X – М(Х) називають відхиленням. Різні випадкові величини можуть мати одне й те саме математичне сподівання. Тому виникає потреба розглянути ще одну числову характеристику для вимірю­вання ступеня розсіяння випадкової величини навколо її математичного сподівання.

Означення 5. Дисперсією випадкової величини називається матема­тичне сподівання квадрата відхилення цієї випадкової величини.

Позначається дисперсія D(X). Отже,

Поряд з дисперсією розглядають також характеристику, яка вимірю­ється в тих самих одиницях, що і випадкова величина.

Означення 6. Середнім квадратичним відхиленням випадкової вели­чини X називається корінь квадратний з її дисперсії:

Приклад 2. Знайти числові характеристики випадкової величини, яку розглянуто у прикладі 1:

Теорема (формула обчислення дисперсії). Дисперсія випадкової ве­личини X дорівнює різниці між математичним сподіванням квадрата і квадратом математичного сподівання цієї випадкової величини:

 

де x1,.x2,..., хk різні значення випадкової величини, що спо­стерігаються; n1, n2,..., nk - їхні частоти; п = n1 +п2 +... + пk - загаль­на кількість спостережень; х - вибіркове середнє. Величину S нази­вають вибірковим середнім квадратичним, або стандартним від­хиленням.


 

Закон великих чисел

 

У цьому параграфі розглянемо теореми про поводження суми великої кількості випадкових величин. Виявляється, що за деяких порівняно загальних умов сумарна поведінка досить великої кількості випадкових величин майже втрачає випадковість і набуває закономірності. На­приклад, відносна частота події наближено дорівнює її ймовірності при достатньо великій кількості випробувань, середнє арифметичне неза­лежних спостережень випадкової величини при великій кількості спосте­режень наближено дорівнює математичному сподіванню цієї величини. Тому під законом великих чисел в теорії ймовірностей розуміють тео­реми, в кожній з яких йдеться про наближення середніх характеристик великого числа випробувань до деяких певних сталих. При доведенні теорем, які об'єднують єдиною назвою "закон великих чисел", а також при розв'язуванні багатьох практичних задач використовують таку не­рівність:

 

 

де ε >0 - довільне число.

Нерівність (1) називають нерівністю Чебишова. Нерівність Чебишова дозволяє оцінити ймовірність відхилень значень випадкової величини від свого математичного сподівання.

Теорема Чебишова (закон великих чисел). Нехай Х12,..., Хп,... - послідовність попарно незалежних випадкових величин, що задоволь­няють такі умови:

 

 

 

Перейшовши до границі при n → ∞ в нерівностях (4), дістанемо рів­ність (2), яка означає, що середнє арифметичне значень попарно незале­жних випадкових величин, коли кількість доданків нескінченно зростає, є збіжним за ймовірністю до середнього арифметичного їх математич­них сподівань. Для практичного використання теорему Чебишова можна тлумачити так: коли попарно незалежні випадкові величини мають од­накове математичне сподівання і обмежені дисперсії, то для досить ве­ликих п з будь-якої точністю має місце наближена рівність

 

 

Практичне значення теореми Чебишова можна ілюструвати таким прикладом. Нехай за допомогою вимірювального приладу багато разів вимірюється значення деякої фізичної величини, причому результат кож­ного вимірювання не залежить від результатів решти. Послідовні резуль­тати вимірювань - це випадкові величини Х12,..., Хп. Вимірювання ви­конується без систематичних (одного знаку) похибок. Це означає, що мате­матичні сподівання усіх випадкових величин є однаковими і дорівнюють істинному значенню шуканого виміру а, тобто M(Xi) =а(і = 1, 2,...,n).

 

Якщо прилад дає можливість вимірювати з певною точністю, то це оз­начає, що дисперсії результатів вимірювання є обмеженими. Отже, ви­конуються умови теореми Чебишова, а тому згідно з формулою (5) маємо

 

Таким чином, обчислюючи середнє арифметичне значень вимірювань, з великою ймовірністю можна вважати, що це середнє арифметичне ре­зультатів як завгодно мало відрізняється від істинного значення вимірю­ваної фізичної величини.

Як наслідок, з теореми Чебишова можна отримати наступне твер­дження.

Теорема Бернуллі. Нехай k - кількість успіхів у п випробуваннях Бернуллі, а р (0< р<1) - ймовірність успіху в кожному випробуванні. Тоді для довільного ε > 0 виконується рівність

 

 

Рівність (6) можна тлумачити так: коли виконується багато незалежних випробувань, то з імовірністю, що відносна частота появи події (число k/n) мало відрізняється від імовірності p події А.

У багатьох випадках на практиці число p буває невідомим. Із теореми Бернуллі випливає, що відносну частоту появи події А (число k/n) при достатньо великому п можна взяти за ймовірність події. Теорема Бер­нуллі є найпростішою формою закону великих чисел.



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 304; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 52.90.235.91 (0.094 с.)