Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Повторні випробування. Формула Бернуллі ⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7
Коли виконуються послідовні випробування, то за результатом кожного з них може відбутися або не відбутися деяка подія A. Нехай проводиться п випробувань (одноразових експериментів), причому ймовірність настання події А у кожному випробуванні Р(А) = р і не залежить від результатів інших випробувань. Такі випробування називаються незалежними. Оскільки ймовірність настання події А в одному випробуванні дорівнює p, то ймовірність її ненастання Р(Ặ) = 1 - р = q. Знайдемо ймовірність того, що при п випробуваннях подія А настане рівно k разів (0 < k < п). Виконавши п послідовних випробувань, матимемо різні комбінації результатів. Ті комбінації результатів, в яких подія відбудеться к разів, називатимемо сприятливими. Визначимо ймовірність Р однієї сприятливої комбінації. Сприятливою комбінацією є добуток п незалежних у сукупності подій: k появ події Ặ і п - k появ події Ặ. Отже, за теоремою про ймовірність добутку подій, незалежних у сукупності, дістанемо, що ймовірність однієї сприятливої комбінації дорівнює
Здійснення складної події, яка полягає в тому, що подія А настає рівно k разів, рівносильна появі принаймні однієї сприятливої комбінації. Іншими словами, така складна подія є сумою всіх сприятливих комбінацій. Проте сприятливі комбінації попарно несумісні. Тому за теоремою про додавання ймовірностей попарно несумісних подій дістанемо ймовірність появи події А k разів при п випробуваннях:
де N - кількість усіх можливих комбінацій. Залишається визначити N. Розглянемо спочатку приклад. Нехай п = 3, k = 2. Сприятливими тут є такі комбінації результатів випробувань, коли з трьох випробувань подія А відбувається двічі. Позначатимемо появу події А знаком "+", а появу події Ặ знаком "-". Тоді сприятливі комбінації можна зобразити у вигляді рядків такої таблиці:
Очевидно, сприятливих комбінацій може бути стільки, скільки різних рядків у цій таблиці, а їх буде стільки, скількома способами можна розмістити два знаки "+" у трьох клітинках, тобто треба кожного разу з трьох клітинок вибрати дві. Очевидно, це можна зробити C32 способами. Отже, у цьому разі буде C32 сприятливі комбінації результатів випробувань.
Повернемося до загального випадку. Кількість усіх можливих сприятливих комбінацій N = Ckn. Підставивши це у формулу (2), матимемо
Формулу (3) називають ще формулою Бернуллі. Приклад 1. Імовірність виготовлення стандартної деталі дорівнює 0.95. Яка ймовірність того, що серед десяти деталей: а) лише одна нестандартна; б) не більше однієї нестандартної? а) Нехай подія А полягає в тому, що серед десяти деталей лише одна нестандартна. Тоді маємо п = 10, k = 1, р = 0,05. За формулою (3)
б) Нехай подія В полягає в тому, що серед десяти деталей не більше однієї нестандартної. Тоді
За умовою шукана ймовірність Р = Р(А U В). Події А і В несумісні, тому Р = Р(А) + Р(В). Отже,
Приклад 2. Що більш імовірно: виграти у рівного собі гравця в шахи 4 партії з 8 чи 3 партії з 5? Нічиї виключаються. Позначимо першу подію А, другу - В. Тоді маємо
Отже, Р(В)>Р(А). Набір чисел Рп(k), де k = 1, 2,..., п, називається біноміальним розподілом. Він залежить від двох параметрів: п, р. Властивості:
2) Рn (k) спочатку зростають до якогось найбільшого значення, а спадають:
Найімовірніше число успіхів λ в схемі Бернуллі задовольняє нерівності
Приклад 3. Гральний кубик підкидають 35 разів. Яке найімовірніше число появи грані з одним очком?
Отже, дістали два значення: λ = 5, λ = 6.
Граничні теореми Бернуллі
При досить великій кількості випробувань n безпосереднє обчислення ймовірності Рп (k) за формулою Бернуллі ускладнюється. Для спрощення обчислень Рп(k) запропоновано ряд наближених формул. Теореми, в яких наводяться такі формули, називаються граничними теоремами схеми Бернуллі. Локальна теорема Лапласа. Якщо ймовірність р появи події А у кожному випробуванні стала (0<р<1), то ймовірність Рп(k) того, що подія А з'явиться k разів у п незалежних випробуваннях, наближено дорівнює (тим точніше, чим більше п) Значення функції φ(x) знаходять за таблицями (див. додатки, табл. 4). Деякі властивості функції φ (x): 1) визначена на всій числовій осі; 2) парна, тобто φ (-x) = φ (x)
Графік функції Гаусса наведено на рис. 308.
Приклад 1. Знайти ймовірність того, що з 500 висіяних насінин не зійде 130, якщо схожість насіння оцінюється ймовірністю 0,75.
Графік функції Лапласа наведено на рис. 309. Приклад 2. Ймовірність появи події в кожному зі 100 незалежних випробувань дорівнює р = 0,8. Знайти ймовірність того, що подія з'явиться не менш як 70 разів. Вимога, щоб подія з'явилася не менше, ніж 70 разів, означає, що подія може з'явитися або 70 разів, або 71 раз,..., або 100 разів. Отже, в даному випадку покладемо k1, =70, k2 =100 і скористаємося інтегральною теоремою Лапласа. Тоді
За таблицею значень Ф(х) знаходимо Ф(-2,5) = -Ф(2,5) = -0,4938; Ф(5) = 0,5. За формулою (2) дістанемо
Теорема Пуассона. Якщо в схемі Бернуллі пр = λ - стала, то Застосовується теорема при пр < 10 у вигляді наближеної формули для великих значень п (не менше кількох десятків) та малих р (р < 0,1): Пуассона. Приклад 3. Молокозавод відправив у магазин 500 пакетів молока. Ймовірність пошкодження пакета при транспортуванні дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що при транспортуванні буде пошкоджено пакетів: 1) три; 2) менше трьох; 3) більше трьох; 4) хоча б один.
Число п = 500 велике, ймовірність р = 0,002<0,1, події (пошкодження пакетів) незалежні; тому можна скористатися формулою Пуассона (3). 1) λ = пр = 500 · 0.002 = 1. Ймовірність того, що буде пошкоджено,
2) ймовірність того, що буде пошкоджено менше трьох пакетів, 3) події "пошкоджено більше трьох пакетів" та "пошкоджено не більше " є протилежними, тому 4) подія "пошкоджено хоча б один пакет " є протилежною до події "жоден пакет не пошкоджено." Тому шукана ймовірність того, що буде пошкоджено хоча б один пакет, дорівнює
Випадкові величини Одним із основних понять теорії ймовірностей є поняття випадкової величини, з яким пов'язане уявлення про результати деякого випробування, що полягає у вимірюванні певної числової величини. Величина, яка цікавить дослідника, може набувати різних значень залежно від випадкових обставин. Прикладами випадкових величин можуть бути кількість очок, що випадають на грані гральної кості, кількість викликів, що надходять протягом певного протяжку часу, кількість новонароджених за добу в деякій місцевості, час безвідмовної роботи приладу, дальність польоту ракети тощо. Якщо в результаті експерименту величина набуває лише одного можливого числового значення, заздалегідь невідомого і обумовленого випадковими причинами, то її називають випадковою. Отже, випадкова величина є числом, яке ставиться у відповідність кожному можливому наслідку експерименту. Означення 1. Випадковою величиною називається числова функція, визначена в просторі елементарних подій. Означення 2. Випадкова величина називається дискретною, якщо її значення можна записати у вигляді послідовності (скінченної або нескінченної). Випадкові величини позначаються великими латинськими літерами X, Y, Z, а їх значення відповідними малими літерами. Якщо випадкова величина X набуває значень х1,х2,..., хп з відповідними ймовірностями р1,р2, …, рn, то говорять, що задано закон розподілу ймовірностей випадкової величини. Закон розподілу дискретної випадкової величини зручно записувати у вигляді таблиці:
де рк = P(x = xk)>0, k = 1,..., n. Враховуючи, що в одному випробуванні випадкова величина набуває лише одного можливого значення, зробимо висновок, що події X =х1, X =х2,..., X = хп утворюють повну групу, а тому
Означення 3. Дві випадкової величини називаються незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, яких можливих значень набуває інша випадкова величина. У противному разі випадкові величини залежні. Наведемо деякі приклади дискретних випадкових величин та їх розподілів. 1. Рівномірний дискретний розподіл: випадкова величина набуває п різних значень з імовірністю 1/ n кожне. 2. Біноміальний розподіл. 3. Розподіл Пуассона. 4. Геометричний розподіл: проводяться незалежні випробування з імовірністю успіху р. X- кількість спроб до першої появи події A, тобто до успіху; q = 1- р. Закон розподілу подається таблицею:
5. Гіпергеометричний розподіл. Нехай в партії N виробів, із них п -бракованих. N -п - якісних. Навмання вибирають k виробів. Знайти закон розподілу величини X - кількість бракованих виробів серед k.
Приклад 1. Вибираємо навмання одне з натуральних чисел від 1 до 10 і підраховуємо кількість його натуральних дільників X. Знайти закон розподілу випадкової величини X. Складемо спочатку таблицю кількості дільників натуральних чисел:
Вибір будь-якого числа від 1 до 10 є рівноможливим, тому ймовірність його вибору дорівнює 0,1. Об'єднавши результати, що відповідають однаковій кількості дільників, і додавши їх імовірність, знайдемо закон розподілу X:
Контроль: 0,1 + 0,4 + 0,2 + 0,3 = 1. Закон розподілу повністю характеризує дискретну випадкову величину, але він може бути невідомим; тоді корисними є деякі сталі величини, які дають уявлення про випадкову величину. Такі сталі величини називають числовими характеристиками випадкових величин. Серед числових характеристик особливе значення має математичне сподівання. Означення 4. Математичним сподіванням (або середнім значенням) дискретної випадкової величини X називається число, яке дорівнює сумі добутків усіх її можливих значень на відповідні ймовірності:
Нехай випадкова величина може набувати значень x1,.x2,..., хп і всі її значення однаково ймовірні. Тоді ймовірність кожного з них р = 1/p. Математичне сподівання цієї випадкової величини
Отже, в даному разі математичним сподіванням випадкової величини є середнє арифметичне всіх її можливих значень. У загальному випадку математичне сподівання випадкової величини не буде середнім арифметичним всіх її можливих значень. Проте в деякому розумінні його можна розглядати саме так. Справа в тому, що в задачах практичного спрямування закон розподілу випадкової величини є невідомим. Тому виконують велику кількість випробувань або спостережень, кожне з яких відбувається у приблизно однакових умовах. Таку сукупність спостережень називають вибіркою із значень, яких набуває дана величинах Нехай у вибірці з п спостережень за випадковою величиною X ця величина п1 разів набувала значення х1, …; п2 разів - значення х2,...; nk разів-значення xk, причому п1 + п2 +... + nk = n. Тоді сума всіх значень, які спостерігались, дорівнює x1n1 + x2n2 +... + xknk. Величина називається вибірковим середнім. п. Зауважимо, що відношення n1/n є відносною частотою значення х1, n2/n є відносною частотою значення х2, nk/n є відносною частотою значення хk, причому відношення n1/n, n2/n,…, nk/n змінюються від вибірки до вибірки. Проте за достатньо великої кількості спостережень п маємо наближені рівності Це означає, що математичне сподівання наближено дорівнює (тим точніше, чим більше число спостережень) вибірковому середньому. Властивості математичного сподівання: Точку з координатою М(Х) називають центром розсіяння ймовірностей. Випадкову величину X – М(Х) називають відхиленням. Різні випадкові величини можуть мати одне й те саме математичне сподівання. Тому виникає потреба розглянути ще одну числову характеристику для вимірювання ступеня розсіяння випадкової величини навколо її математичного сподівання. Означення 5. Дисперсією випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї випадкової величини. Позначається дисперсія D(X). Отже, Поряд з дисперсією розглядають також характеристику, яка вимірюється в тих самих одиницях, що і випадкова величина. Означення 6. Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини X називається корінь квадратний з її дисперсії: Приклад 2. Знайти числові характеристики випадкової величини, яку розглянуто у прикладі 1:
Теорема (формула обчислення дисперсії). Дисперсія випадкової величини X дорівнює різниці між математичним сподіванням квадрата і квадратом математичного сподівання цієї випадкової величини:
де x1,.x2,..., хk різні значення випадкової величини, що спостерігаються; n1, n2,..., nk - їхні частоти; п = n1 +п2 +... + пk - загальна кількість спостережень; х - вибіркове середнє. Величину S називають вибірковим середнім квадратичним, або стандартним відхиленням.
Закон великих чисел
У цьому параграфі розглянемо теореми про поводження суми великої кількості випадкових величин. Виявляється, що за деяких порівняно загальних умов сумарна поведінка досить великої кількості випадкових величин майже втрачає випадковість і набуває закономірності. Наприклад, відносна частота події наближено дорівнює її ймовірності при достатньо великій кількості випробувань, середнє арифметичне незалежних спостережень випадкової величини при великій кількості спостережень наближено дорівнює математичному сподіванню цієї величини. Тому під законом великих чисел в теорії ймовірностей розуміють теореми, в кожній з яких йдеться про наближення середніх характеристик великого числа випробувань до деяких певних сталих. При доведенні теорем, які об'єднують єдиною назвою "закон великих чисел", а також при розв'язуванні багатьох практичних задач використовують таку нерівність:
де ε >0 - довільне число. Нерівність (1) називають нерівністю Чебишова. Нерівність Чебишова дозволяє оцінити ймовірність відхилень значень випадкової величини від свого математичного сподівання. Теорема Чебишова (закон великих чисел). Нехай Х1,Х2,..., Хп,... - послідовність попарно незалежних випадкових величин, що задовольняють такі умови:
Перейшовши до границі при n → ∞ в нерівностях (4), дістанемо рівність (2), яка означає, що середнє арифметичне значень попарно незалежних випадкових величин, коли кількість доданків нескінченно зростає, є збіжним за ймовірністю до середнього арифметичного їх математичних сподівань. Для практичного використання теорему Чебишова можна тлумачити так: коли попарно незалежні випадкові величини мають однакове математичне сподівання і обмежені дисперсії, то для досить великих п з будь-якої точністю має місце наближена рівність
Практичне значення теореми Чебишова можна ілюструвати таким прикладом. Нехай за допомогою вимірювального приладу багато разів вимірюється значення деякої фізичної величини, причому результат кожного вимірювання не залежить від результатів решти. Послідовні результати вимірювань - це випадкові величини Х1,Х2,..., Хп. Вимірювання виконується без систематичних (одного знаку) похибок. Це означає, що математичні сподівання усіх випадкових величин є однаковими і дорівнюють істинному значенню шуканого виміру а, тобто M(Xi) =а(і = 1, 2,...,n).
Якщо прилад дає можливість вимірювати з певною точністю, то це означає, що дисперсії результатів вимірювання є обмеженими. Отже, виконуються умови теореми Чебишова, а тому згідно з формулою (5) маємо
Таким чином, обчислюючи середнє арифметичне значень вимірювань, з великою ймовірністю можна вважати, що це середнє арифметичне результатів як завгодно мало відрізняється від істинного значення вимірюваної фізичної величини. Як наслідок, з теореми Чебишова можна отримати наступне твердження. Теорема Бернуллі. Нехай k - кількість успіхів у п випробуваннях Бернуллі, а р (0< р<1) - ймовірність успіху в кожному випробуванні. Тоді для довільного ε > 0 виконується рівність
Рівність (6) можна тлумачити так: коли виконується багато незалежних випробувань, то з імовірністю, що відносна частота появи події (число k/n) мало відрізняється від імовірності p події А. У багатьох випадках на практиці число p буває невідомим. Із теореми Бернуллі випливає, що відносну частоту появи події А (число k/n) при достатньо великому п можна взяти за ймовірність події. Теорема Бернуллі є найпростішою формою закону великих чисел.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 304; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 52.90.235.91 (0.094 с.) |