Основні принципи комбінаторики 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Основні принципи комбінаторики



ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ

Перестановки

 

Нехай треба підрахувати число способів, за якими можна розмістити в ряд n предметів. Якщо дані предмети розглядати як елементи множини то кожне розміщення є скінченною множиною, елементи якої записано у певному порядку.

Скінченні множини, для яких істотним є порядок елементів, назива­ються впорядкованими. Вказати порядок розміщення елементів у скін­ченній множині з п елементів означає поставити у відповідність кож­ному елементу даної множини певне натуральне число від 1 до п.

Дві впорядковані множини називаються рівними, якщо вони склада­ються з тих самих елементів і однаково впорядковані. З цього випливає, що множини (а, b, с) і (b, с, а) - це різні впорядковані множини.

Означення. Будь-яка впорядкована множина, що складається з п елементів, називається перестановкою з п елементів.

Перестановки з п елементів складаються з одних і тих самих елемен­тів, а відрізняються одна від одної лише порядком.

Наприклад, з елементів множини А = {1, 2, 3} можна утворити шість перестановок: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).

Число перестановок у множині з п елементів позначають Рп.

Доведемо, що

 

Рп= n!, (1)

 

де п! = 1•2•... •п.

Для доведення застосуємо метод математичної індукції.

1. Якщо п = 1, маємо Рп =1 = 1!; тобто формула (1) виконується.

2. Припустимо, що для n = 1 рівність Рк = k! виконується (п і k - натуральні числа).

Доведемо, що для п = k + 1 виконуватиметься рівність

 

Рk+1=(к + 1)!

 

На перше місце можемо поставити будь-який з k + 1 елементів множини. Тоді k місць, які залишилися, можна задавати будь-якою перестановкою з k елементів. Число таких перестановок Рk. Таким чином, перестановку з k + 1 елемента даної множини можна розглядати як пару: на першому місці - елемент множини, на другому - перестановка з k елементів, що залишились (таких перестановок Рk). На підставі принципу добутку число всіх перестановок (всіх таких пар)

 

Рk+1=(к + 1) Рk, (1)

 

З формули (2) дістаємо

Рk+1=(к + 1) Рk = Рk • (к + 1) =k! • (k+1)=1•2•…•k• (k+1)=(k+1)!

Приклад 1. Скількома способами можна розмістити в один ряд червону, синю, чорну та зелену фішки?

 

Р4 = 4! = 1•2•3•4 = 24.

 

Приклад 2. Скількома способами можна розмістити за столом 10 чо­ловік?

 

Р10=10! = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = 3628800.


Розміщення

 

Нехай деяка множина складається з п різних елементів.

Означення. Розміщеннями з п елементів по k називаються підмножини, що мають k елементів, вибраних з даних п елементів і розміщених у певному порядку (k<п).

Розміщення можуть відрізнятися одне від одного або самими елемен­тами, або порядком їх розміщення.

Наприклад, нехай маємо три елементи: 1, 2, 3. Тоді розміщення з трьох елементів по два мають вигляд: (1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (2, 3), (З, 2). Розміщення (1, 2) і (2, 1) відрізняються лише порядком. Вони утворюють два різних числа 12 та 21. Розміщення (1, 2) і (1, 3) відріз­няються самими елементами. Вони утворюють два різних числа 12 і 13.

Кількість розміщень з даних п елементів по k позначають через А kn, = k < п.

Доведемо, що

 

Аkn = n(n-1)(n-2)...(n-(k-1)). (1)

Якщо множина містить п елементів, то при утворенні розміщень по одному елементу таких розміщень буде п (стільки, скільки елементів у множині). Отже, А kn = п.

Утворимо тепер розміщення з п елементів по два. Для цього візьмемо п розміщень по одному елементу і до кожного розміщення допишемо кож­ний з решти п -1 елементів даної множини. Таким чином, Аkn = n(n-1).

Застосуємо метод математичної індукції. Припустимо, що для А2n правильною є формула (1). Розміщення з п елементів по k + і можна розглядати як пару: на першому місці будь-яке розміщення з п елементів по k (їх кількість Аkn), на другому - будь-який елемент з решти п - k елементів. За правилом добутку дістанемо

 

А n k +1= А n k (n-k). (2)

 

Користуючись формулою (1), маємо

 

А n k +1=п(п-1)(п-2)...(п-(k-і))(п-k) =

= n(n - 1)(n - 2)...(n- (k -1))(n-(k +1-1)).

 

Оскільки

 

то формулу (1) можна записати ще так:

 

. (3)

Приклад 1. Скількома способами можна вибрати з 10 кандидатів три особи на три різні посади?

Для розв'язування задачі треба знайти число розміщень з 10 елемен­тів по три. Отже, за формулою (1) маємо

 

A310 =10•9•8 = 720.

Приклад 2. Скільки трицифрових чисел з різними цифрами можна утворити з цифр 0, 1, 2, 3, 4?

Загальна кількість трицифрових чисел з різними цифрами є кількістю

розміщень з 5 елементів по три, тобто А35 = 5 • 4 • 3 = 60. Проте із загаль­ної кількості чисел треба відкинути числа, що починаються з нуля. Таких чисел стільки, скільки можна утворити розміщень з чотирьох цифр по два без нуля, тобто А24 =4•3 = 12. Отже, шукана кількість трицифрових чисел дорівнює 60 - 12 = 48.


Комбінації

 

Означення. Будь-яка підмножина з k елементів даної множини, яка містіть п елементів, називається комбінацією з п елементів по k.

З одного елемента можна утворити тільки одну комбінацію. З двох елементів а і b можна утворити дві комбінації по одному елементу і тільки одну комбінацію з двох елементів.

З трьох елементів a, b, c можна утворити такі комбінації:

 

{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}.

 

Комбінації з п елементів даної множини по k можна також розгля­дати як розміщення з п елементів по k, які відрізняються принаймні одним елементом. Виникає запитання, як визначити кількість комбінацій з n елементів по k. Число комбінацій з п по k позначається Сkn. Доведемо, що

 

. (1)

 

Розглянемо множину, яка складається з п елементів, і комбінації, які складаються з k елементів. Всього комбінацій Сkn. Якщо з кожної такої комбінації утворити всі можливі перестановки (їх буде Рk = k!), то діс­танемо всі можливі розміщення з п елементів по к, тобто число Аkn. Отже,

 

Аkn = Рk •Сkn, (2)

 

звідки

 

 

Зауважимо, що за означенням покладають 0! = 1. Тому неважко помі­тити, що С11=1 і Сnn = 1.

Приклад. Збори з 30 осіб вибирають трьох делегатів на конферен­цію. Скількома способами це можна зробити?

Із множини у 30 осіб треба вибрати підмножину з трьох осіб. Це можна зробити способами.

 

 


Властивості комбінацій

 

Числа і т.д. зручно записати у вигляді такої трикутної таблиці:

 

 

Обчисливши значення кожного символу, дістанемо

 

 

Таку таблицю називають трикутником Паскаля. На «бічних сторонах» цього трикутника стоять одиниці, а "всередині", за властивістю 2, кожне число дорівнює сумі двох чисел, що стоять над ним: 2=1+1; 3=1+2; 4=1+3; 6=3+3 і т.д. Ця властивість дає можливість виписувати послі­довно рядки трикутника Паскаля, не обчислюючи перед цим значення символів .


Біном Ньютона

 

З алгебри відомо формули скороченого множення:

 

(a + b)2 =a2 +2ab + b2,

(а + b)3= а3 + 3a2b + 3ab2 + b2.

 

Коефіцієнти в правих частинах цих формул збігаються відповідно з другим і третім рядками трикутника Паскаля. Чи буде зберігатись ця закономірність для 4-го, 5-го і т.д. степеня суми?

Щоб відповісти на це запитання, розглянемо вираз (1 + х)п, де п -натуральне число. Запишемо цей вираз як добуток співмножників:

 

 

Розкривши у правій частині дужки, дістанемо многочлен, який можна розмістити за степенями букви х. До цього многочлена ввійдуть усі степені х з показниками від 0 (вільний член) до п. Щоб записати цей многочлен, треба знайти його коефіцієнти. Нехай ціле число k задоволь­няє нерівності 0 < k < n. З'ясуємо, який коефіцієнт має степінь хк. Цей коефіцієнт дорівнює кількості подібних членів виду хk, які дістанемо, роз­кривши дужки. Щоб дістати хk, беремо в k дужках другий доданок, а в інших п - k дужках перший доданок, і перемножуємо їх. Такий вибір можна здійснити Сkп способами. Отже, розкривши дужки, матимемо Сkп подібних членів виду хk. Після зведення подібних членів дістанемо від­повідний член Сkп xk. Залишається надати k всіх можливих значень k = 0, 1, 2,..., п, і члени додати. Таким чином, можна записати:

або, використовуючи символ суми,

Нарешті, розглянемо вираз (а + b)п. Подамо його у вигляді

Якщо позначити = х, то за формулою (2) дістанемо

 

або

Формула (3) називається формулою бінома Ньютона.

Розгорнутий вигляд формули (3):

 

З формули (4) видно, що її коефіцієнти - це рядки трикутника Паскаля.

Поклавши у формулі (4) а = b = 1, дістанемо

 

 

Нехай маємо скінченну множину, яка містить п елементів. Тоді кіль­кість підмножин цієї множини дорівнює 2n. Наприклад, для множини {a,b,c} маємо Ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}.

 


ПОЧАТКИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Класична ймовірність

 

Нехай маємо 100 деталей, з яких 97 стандартних і 3 браковані. Дослід полягає в тому, що навмання беруть одну деталь. Не можна наперед сказати, якою буде взята деталь - стандартною чи бракованою. Оскільки ми мо­жемо вибирати лише одну яку-небудь деталь, то поява стандартної чи бракованої деталі - випадкові події, які утворюють повну групу з 100 не­сумісних і рівноможливих подій. З цих 100 випробувань появі стандартної деталі сприяють 97 наслідків, а появі бракованої- 3 наслідки. Нехай А -подія, яка полягає у виборі стандартної деталі, а В - бракованої. Тоді числа 97/100 і 3/100 характеризують можливість здійснення відповідно події А чи В. Ці числа називають ймовірностями подій А і В і позначають

Означення. Ймовірністю випадкової події називають відношення кіль­кості наслідків випробувань, які сприяють появі цієї події, до загальної кількості всіх рівноможливих несумісних наслідків, які утворюють повну групу подій.

Позначають

(1)

де п - загальна кількість всіх рівноможливих результатів експерименту;

т - кількість результатів експерименту, сприятливих для події А.

Розглянуте означення ймовірності називають класичним. Із класич­ного означення ймовірності випливають такі властивості:

1. Ймовірність кожної події А є невід'ємним числом, що не перевищує одиниці. Справді, число т випробувань, сприятливих для події А, справ­джує нерівності 0 < т < п, звідки тобто

2. Ймовірність неможливої події V дорівнює нулю: P(V) = 0. Дійсно,

за формулою (1)

 

Приклад 1. У коробці міститься шість однакових занумерованих куль. Довільно по одній виймають усі кулі. Знайти ймовірність того, що номери вийнятих куль зростатимуть.

Позначимо через А подію, ймовірність якої треба знайти. Наслід­ками випробувань є перестановки з шести елементів. Отже, число всіх можливих випадків п = Р6 =6! = 720. Для події А сприятливим є лише один наслідок випробування, тобто т = 1. Тому

 

Приклад 2. Набираючи номер телефону, абонент забув останні три цифри і, пам'ятаючи що всі вони різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірність того, що набрано потрібний номер телефону.

Нехай А - подія, ймовірність якої треба знайти. У цьому випадку п = А310, т = 1. Тоді

 

 

Приклад 3. Партія з 10 деталей має 7 стандартних. Знайти ймо­вірність того, що серед вибраних навмання шести деталей чотири стан­дартні.

Нехай А - подія, ймовірність якої треби знайти. У цьому випадку п = C610. Щоб знайти число наслідків випробувань, в яких чотири стан­дартні деталі, діємо так: вибираємо ці 4 деталі із загальної їх кількості. Це можна зробити С74способами. Решту 6-4 = 2 нестандартних де­талей можна вибрати С32 способами. За правилом добутку число наслід­ків випробувань, що сприяють появі події А, буде т = С74 · С32. Шукана ймовірність дорівнює

 

 


Статистична ймовірність

 

Нехай виконуються випробування, які можна повторити будь-яку кіль­кість разів, і нехай при багаторазовому повторенні випробування події, які відбулися в попередніх випробуваннях, ніяк не впливають на події, що відбудуться у даному випробуванні.

Якщо проведено п однакових випробувань і · т - число випробу­вань, в яких відбулася подія А, то відношення називають відносною частотою події А у проведеній серії випробувань. Таким чином, відносна частота події А визначається формулою

Теорія ймовірностей розглядає лише такі події, для яких характерна властивість стійкості відносних частот. Ця властивість полягає в тому, що відносна частота події А при великій кількості випробувань мало відріз­няється від деякого числа.

Нехай маємо таблицю, де наведено результати дослідів, пов'язаних із підкиданням симетричної монети:

 

Число підкидань 4040 2048 0,5069

Число появ "герба" 12000 6019 0,5016

Відносна частота 24000 12012 0,5005

 

Тут відносні частоти відхиляються від числа 0,5 тим менше, чим більша кількість випробувань. Проте число 0,5 є класичною ймовірністю випадання "герба" при одному підкиданні симетричної монети.

Як бачимо, означення класичної ймовірності не вимагає, щоб випро­бування насправді виконувались: означення відносної частоти вимагає, щоб випробування були фактично виконані. Іншими словами, класичну ймовірність обчислюють до досліду, а відносну частоту - після досліду.

Проте класична ймовірність має обмежене застосування, оскільки да­леко не завжди в реальних умовах можна виділити рівноможливі випадки у скінченній кількості.

Якщо підкидати несиметричну монету (із зміщенням від геометричного центра ваги), то відносні частоти появи "герба" так само мають власти­вість групуватися навколо певного числа р при збільшенні кількості ви­пробувань. Проте число р нам невідоме, бо монета не є симетричною і для кожної монети воно буде своїм.

 

Прийнято вважати це невідоме число р статистичною ймовірністю появи "герба" при підкиданні несиметричної монети.

Означення. Ймовірністю події А називається невідоме число р, нав­коло якого зосереджується значення відносної частоти події А при зрос­танні числа випробувань.

Щойно наведене означення ймовірності називають статистичним. Отже,

 

Рп(А)≈Р(А) = р, (2)

 

де Р(А) - ймовірність події А; Рп(А) - відносна частота; п -кількість випробувань.

Наближена рівність (2), яка виражає властивість стійкості відносних частот, є однією з найважливіших закономірностей масових випадкових подій.

Приклад. Із 1000 довільно вибраних деталей приблизно 3 браковані. Скільки бракованих деталей приблизно буде серед 2100 деталей?

Позначимо через А подію, коли навмання взята деталь бракована. Тоді відносна частота

 

 

Якщо серед 2100 деталей виявиться х бракованих, то ймовірність події А

Оскільки Рп (А)Р(А), то , звідки х = 6.


Геометричні ймовірності

 

Класичне означення ймовірності ґрунтується на тому, що випробу­вання має скінченну кількість наслідків. Проте є досліди, які мають не­скінченну кількість наслідків.

Наприклад, нехай на площині міститься область Ω. і в ній міститься інша область А (рис. 300).

Припустимо, що в область Ω навмання кидають точку. Як визначити ймовірність того, що кинута точка потрапить до області А? Природно вважати, що ймовірність попадання точки до області А пропорційна площі цієї області і не залежить від розміщення та форми цієї області.

Підмножини області Ω, які мають площу, називатимемо в такому разі випадковими подіями. Якщо А - випадкова подія, то вважатимемо, що

 

(1)

 

де S(A) – площа A, S(Ω.) -площа Ω.

Ймовірності, що подаються як відношення площ областей (довжин відрізків, об'ємів тіл), називають ще геометричними ймовірностями.

Приклад 1. Знайти ймовірність того, що навмання взята точка з круга радіуса R належа­тиме квадрату, вписаному в коло, яке обмежує круг (рис. 301).

 

 

За означенням геометричної ймовірності маємо

де S1 - площа квадрата A ВCD; S - площа круга радіуса R.

Оскільки АВ2 = 2R2, то S1 = 2R2. Тому

 

 

На перший погляд здається, що геометричні ймовірності є мало корис­ними для застосувань. Проте це не так. Багато задач, серед яких і ті, що висуваються практикою, врешті-решт зводяться до відшукання ймовір­ності попадання точки в деяку область.

Приклад 2 (задача Бюффона). Нехай на площині проведено пара­лельні прямі так, що відстань між сусідніми прямими дорівнює 2а. На площину навмання кидають голку завдовжки 2l, l<а. Яка ймовір­ність того, що голка перетне якусь із цих прямих?

Положення голки однозначно визначається величиною кута де та відстанню від середини голки до найближчої прямої (рис. 302). Отже, можна взяти за простір Ω елементарних наслідків прямокутник , 0<у<а. Оскільки з ΔACBD = ВС = ABsinx = lsinx, то голка перетне пряму тільки тоді, коли у < d, тобто

 

(2)

 

Точки, координати яких задовольняють нерівності (2), утворюють фігуру, заштриховану на рис. 303. Згідно з рівністю (1) площа цієї фігури, поділена на площу прямокутника, і буде дорівнювати шуканій імовір­ності. Площа прямокутника . Площа заштрихованої фігури

 

Формула (3) є корисною при розв'язуванні багатьох задач. Зокрема, користуючись цією формулою, можна наближено обчислити число п. Справді, з формули (3) маємо

 

 

Нехай голку кинуто п разів і т разів вона перетнула пряму. При досить великих п віднось Тому при досить великих п відносна частота як завгодно мало відрізняється від імовірності Р(А). Тому

 

Під час проведення випробувань голку було кинуто 5000 разів, при­чому найближчу пряму вона перетнула 2532 рази. Довжина голки була 36 мм, відстань між паралельними прямими 45 мм. Отже,

 

 


Умовні ймовірності

 

Часто одна подія А впливає на можливість появи іншої події. В цьо­му випадку події А і В називають залежними. Нехай, наприклад, з урни, в якій 15 білих і 10 чорних куль, навмання виймають послі­довно одну за одною дві кулі. Розглянемо події: А - перша куля біла, В - друга куля біла. Зрозуміло, що Р(А) = 15/25=3/5. Якою буде ймовірність події В?

Якщо подія А відбулася, то серед 24 куль, що залишилися, білих 14 і Р(В) = 14/24=7/12; якщо ж подія А не відбулася (перша куля виявилася чорною), то Р{В) =15/24= 5/8.

Отже, ймовірність появи події В залежить від здійснення події А, тобто А і В - залежні події. У такому випадку кажуть, що ймовірність появи події В умовна.

Означення. Нехай А і В - довільні події. Умовною ймовірністю Р(В/А) події В називають ймовірність події B, знайдену в припущенні, що подія А вже відбулася.

Теорема. Якщо A i В- довільні події, причому Р(А) ≠ 0, то

 

Р(АПВ) = Р(А)-Р(В/А). (1)

 

Нехай для події А сприятливими є т рівноможливих наслідків ви­пробування із загальної їх кількості п, а для події
АВk (рис. 306). Тоді

 

 

Проте якщо подія А відбулася, можливі лише ті т наслідків випробу­вання, які є сприятливими для події А, причому k з них очевидно є сприятливими для події В. Отже,

 

 

З умови Р(А) ≠ 0 випливає, що т = 0.

Другу з рівностей (2), враховуючи першу з них і рівність (3), можна записати у вигляді

 

 

що й треба було довести.

Доведену теорему називають теоремою множення ймовірностей для двох подій. По­мінявши місцями А і В, дістанемо другий запис цієї теореми:

 

 

Приклад. На заводі 96% телевізорів визнаються придатними. У кож­ній партії з 100 придатних телевізорів у середньому 75 є першого сорту. Знайти ймовірність того, що телевізор, взятий з такої партії, є першого сорту.

Подія А - телевізор є придатним, подія В - телевізор є першого сорту. Шуканою величиною є Р(АВ), оскільки для того, щоб телевізор був першого сорту, треба, щоб він одночасно був і придатним (подія А), і першого сорту (подія В). За умовою Р(A) = 0,96, Р(В/А) = 0,75. Отже,

 

Р(А ∩В) = Р(А)Р(В І А) = 0,96 • 0,75 = 0,72.

 


Формула повної ймовірності

 

Припустимо, що подія A може настати тільки разом з однією із попарно несумісних подій H1, H2,... Нп, які утворюють повну групу подій (рис. 307).

Теорема. Ймовірність події A, яка може настати лише за умови появи однієї із попарно несумісних подій Н1, H2,... Нп, які утворюють повну групу, визначається за формулою

 

Р(А) = Р(А/Н1)·Р(Н1) + Р(А/Н2) ·Р(Н2) +...+ Р(А/Нп) ·Р(Нп). (1)

 

Якщо подія А відбулася разом з однією із подій H1, H2,... Нп, то це озна­чає, що відбулася одна із попарно несумісних подій A∩ H1, A∩ H2,... A∩ Нп. Отже,

 

 

Тому, застосовуючи теорему про додавання ймовірностей несумісних подій, дістаємо

 

 

За теоремою множення довільних подій маємо

 

 

Підставивши рівність (3) у рівність (2), дістаємо рівність (1). Формулу (1) називають формулою повної ймовірності.

 

Приклад 3. Із першого автомата на конвеєр надходить 20 % деталей, з другого - 30 %, з третього - 50 %. Перший автомат дає в середньому 0,2 % бракованих деталей, другий - 0,3 %, третій - 0,1 %. Яка ймовір­ність того, що на конвеєр надійшла бракована деталь?

Позначимо події: Н1 - дана деталь виготовлена першим автоматом, H2 - дана деталь виготовлена другим автоматом, H3 - дана деталь виготовлена третім автоматом, А - деталь, що надійшла на конвеєр, бракована.

За умовоюP(Н1) = 0,2; Р(H2) = 0,3; Р(Н3) = 0,5; Р(А/Н1) = 0,002; Р(А/Н2) = 0,003; Р(А/Н3) = 0,001.

За формулою повної ймовірності

P(А) = 0,002-0,2 + 0,003-0,3 + + 0,0010,5 = 0,0018.

 


Граничні теореми Бернуллі

 

При досить великій кількості випробувань n безпосереднє обчис­лення ймовірності Рп (k) за формулою Бернуллі ускладнюється. Для спрощення обчислень Рп(k) запропоновано ряд наближених формул.

Теореми, в яких наводяться такі формули, називаються граничними тео­ремами схеми Бернуллі.

Локальна теорема Лапласа. Якщо ймовірність р появи події А у кожному випробуванні стала (0<р<1), то ймовірність Рп(k) того, що подія А з'явиться k разів у п незалежних випробуваннях, наближено дорівнює (тим точніше, чим більше п)

Значення функції φ(x) знаходять за таблицями (див. додатки, табл. 4).

Деякі властивості функції φ (x):

1) визначена на всій числовій осі;

2) парна, тобто φ (-x) = φ (x)

Графік функції Гаусса наведено на рис. 308.

 

Приклад 1. Знайти ймовірність того, що з 500 висіяних насінин не зійде 130, якщо схожість насіння оцінюється ймовірністю 0,75.

 

Графік функції Лапласа наведено на рис. 309.

Приклад 2. Ймовірність появи події в кожному зі 100 незалежних випро­бувань дорівнює р = 0,8. Знайти ймо­вірність того, що подія з'явиться не менш як 70 разів.

Вимога, щоб подія з'явилася не менше, ніж 70 разів, означає, що подія може з'явитися або 70 разів, або 71 раз,..., або 100 разів. Отже, в даному випадку покладемо k1, =70, k2 =100 і скористаємося інтег­ральною теоремою Лапласа. Тоді

 

 

За таблицею значень Ф(х) знаходимо Ф(-2,5) = -Ф(2,5) = -0,4938; Ф(5) = 0,5. За формулою (2) дістанемо

 

 

Теорема Пуассона. Якщо в схемі Бернуллі пр = λ - стала, то

Застосовується теорема при пр < 10 у вигляді наближеної формули для великих значень п (не менше кількох десятків) та малих р (р < 0,1):

Пуассона.

Приклад 3. Молокозавод відправив у магазин 500 пакетів молока. Ймовірність пошкодження пакета при транспортуванні дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що при транспортуванні буде пошкоджено па­кетів: 1) три; 2) менше трьох; 3) більше трьох; 4) хоча б один.

 

Число п = 500 велике, ймовірність р = 0,002<0,1, події (пош­кодження пакетів) незалежні; тому можна скористатися формулою Пуассона (3).

1) λ = пр = 500 · 0.002 = 1. Ймовірність того, що буде пошкоджено,

 

2) ймовірність того, що буде пошкоджено менше трьох пакетів,

3) події "пошкоджено більше трьох пакетів" та "пошкоджено не більше " є протилежними, тому

4) подія "пошкоджено хоча б один пакет " є протилежною до події "жоден пакет не пошкоджено." Тому шукана ймовірність того, що буде пошкоджено хоча б один пакет, дорівнює

 

 


Випадкові величини

Одним із основних понять теорії ймовірностей є поняття випадкової величини, з яким пов'язане уявлення про результати деякого випробу­вання, що полягає у вимірюванні певної числової величини. Величина, яка цікавить дослідника, може набувати різних значень залежно від ви­падкових обставин. Прикладами випадкових величин можуть бути кіль­кість очок, що випадають на грані гральної кості, кількість викликів, що надходять протягом певного протяжку часу, кількість новонароджених за добу в деякій місцевості, час безвідмовної роботи приладу, дальність польоту ракети тощо. Якщо в результаті експерименту величина набуває лише одного можливого числового значення, заздалегідь невідомого і обумовленого випадковими причинами, то її називають випадковою. Отже, випадкова величина є числом, яке ставиться у відповідність кож­ному можливому наслідку експерименту.

Означення 1. Випадковою величиною називається числова функція, визначена в просторі елементарних подій.

Означення 2. Випадкова величина називається дискретною, якщо її значення можна записати у вигляді послідовності (скінченної або не­скінченної).

Випадкові величини позначаються великими латинськими літерами X, Y, Z, а їх значення відповідними малими літерами.

Якщо випадкова величина X набуває значень х12,..., хп з відповід­ними ймовірностями р12, …, рn, то говорять, що задано закон розпо­ділу ймовірностей випадкової величини. Закон розподілу дискретної випадкової величини зручно записувати у вигляді таблиці:

 

X х1 Х2 Хn
P р1 р2 рn

 

де рк = P(x = xk)>0, k = 1,..., n.

Враховуючи, що в одному випробуванні випадкова величина набуває лише одного можливого значення, зробимо висновок, що події X1, X =х2,..., X = хп утворюють повну групу, а тому

 

 

Означення 3. Дві випадкової величини називаються незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, яких можливих значень набуває інша випадкова величина. У противному разі випадкові величини залежні.

Наведемо деякі приклади дискретних випадкових величин та їх роз­поділів.

1. Рівномірний дискретний розподіл: випадкова величина набуває п різних значень з імовірністю 1/ n кожне.

2. Біноміальний розподіл.

3. Розподіл Пуассона.

4. Геометричний розподіл: проводяться незалежні випробування з імовірністю успіху р.

X- кількість спроб до першої появи події A, тобто до успіху; q = 1- р. Закон розподілу подається таблицею:

 

X 0 1 2 n
pi p qp q2p qnp

 

5. Гіпергеометричний розподіл. Нехай в партії N виробів, із них п -бракованих. N -п - якісних. Навмання вибирають k виробів. Знайти закон розподілу величини X - кількість бракованих виробів серед k.

 

Приклад 1. Вибираємо навмання одне з натуральних чисел від 1 до 10 і підраховуємо кількість його натуральних дільників X. Знайти закон розподілу випадкової величини X.

Складемо спочатку таблицю кількості дільників натуральних чисел:

Ω                    
X                    

 

Вибір будь-якого числа від 1 до 10 є рівноможливим, тому ймовір­ність його вибору дорівнює 0,1. Об'єднавши результати, що відпові­дають однаковій кількості дільників, і додавши їх імовірність, знайдемо закон розподілу X:

 

X        
р 0,1 0,4 0.2 0,3

 

Контроль: 0,1 + 0,4 + 0,2 + 0,3 = 1.

Закон розподілу повністю характеризує дискретну випадкову величину, але він може бути невідомим; тоді корисними є деякі сталі величини, які дають уявлення про випадкову величину. Такі сталі величини називають числовими характеристиками випадкових величин. Серед числових харак­теристик особливе значення має математичне сподівання.

Означення 4. Математичним сподіванням (або середнім значенням) дискретної випадкової величини X називається число, яке дорівнює сумі добутків усіх її можливих значень на відповідні ймовірності:

 

 

Нехай випадкова величина може набувати значень x1,.x2,..., хп і всі її значення однаково ймовірні. Тоді ймовірність кожного з них р = 1/p.

Математичне сподівання цієї випадкової величини

 

Отже, в даному разі математичним сподіванням випадкової величини є середнє арифметичне всіх її можливих значень. У загальному випадку математичне сподівання випадкової величини не буде середнім арифме­тичним всіх її можливих значень. Проте в деякому розумінні його можна розглядати саме так. Справа в тому, що в задачах практичного спряму­вання закон розподілу випадкової величини є невідомим. Тому виконують велику кількість випробувань або спостережень, кожне з яких відбу­вається у приблизно однакових умовах. Таку сукупність спостережень називають вибіркою із значень, яких набуває дана величинах

Нехай у вибірці з п спостережень за випадковою величиною X ця вели­чина п1 разів набувала значення х1, …; п2 разів - значення х2,...; nk разів-значення xk, причому п1 + п2 +... + nk = n. Тоді сума всіх значень, які спостерігались, дорівнює x1n1 + x2n2 +... + xknk. Величина



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 196; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.204.117.206 (0.301 с.)