Теорема про додавання ймовірностей несумісних подій

 

Розглянемо спочатку приклад.

Припустимо, що в урні містяться 5 білих, 3 чорних, 2 червоних і 7 синіх куль. Знайдемо ймовірність того, що з урни вийняли кулю білого або чорного кольору.

Нехай подія А - поява білої кулі, В - поява чорної кулі, С = A U В -поява білої або чорної кулі. Оскільки події С сприяють 8 наслідків, а число усіх куль в урні дорівнює 17, то Р(С) = Р(А U В) = 8/17.

Цю ж імовірність можна знайти інакше: Р(А) = 5/17, Р(В) = 3/17, отже, Р{А) + Р(В) = 8/17. Таким чином, Р(А U B) = Р(А) + Р(В).

Теорема 1. Якщо події А і В несумісні (А ∩ В = 0), то

 

Р(А U В) = Р(А) + Р{В). (1)

 

Нехай із числа п усіх рівно можливих наслідків m₁ результатів є сприятливими для події А, а т₂ - для події В. Оскільки події А і В несу­місні, то поява події А виключає появу події В і навпаки, тому число ви­пробувань, сприятливих для події A U В, дорівнює m₁ + т₂. Звідси на основі класичного означення ймовірності дістаємо

 

 

що й треба було довести.

Наслідок 1. Якщо події А₁, А₂,..., А_n попарно несумісні (тобто A _i ∩ A_j = 0 при і ≠ j, i,j = 1, 2,..., п), то

 

Формула (2) є узагальненням формули (1).

Наслідок 2. Ймовірність протилежної до А події А дорівнює

 

 

Справді, оскільки A U А = Ω, (Ω - простір елементарних подій) і P(Ω) = 1, то за теоремою 1 маємо

 

 

звідки і дістаємо (3).

 

Наслідок 3. Якщо попарно несумісні події А₁, А₂, •...• А_n утворюють повну групу, то сума ймовірностей цих подій дорівнює 1.

Оскільки А₁ U А₂ U • … • U А_n = Ω і P( Ω ) = 1, то за формулою (2) маємо

 

P(А₁)+P(А₂) +...+ P(А_n)=1. (4)

 

Приклад 1. У лотереї розігруються 1000 білетів, з них на один припа­дає виграш 5000 грн., на 10 білетів - виграш по 1000 грн, на 50 білетів - виграш 200 грн, на 100 білетів - виграш 50 грн. Решта білетів неви­грашні. Знайти ймовірність виграшу на один білет не менш як 200 грн.

Позначимо події: А - виграш не менш як 200 грн, А₁ - виграш 200 грн, А₂ - виграш 1000 грн, A₃ - виграш 5000 грн.

Подія А виражається через об'єднання трьох несумісних подій А₁, А₂, А₃, тобто А = А₁ U А₂ U А₃. За теоремою 1 дістанемо

 

P(A)=P(А₁)+P(А₂) +. P(А₃),

 

або

 

P(A)= 0,050+ 0,010+ 0,001 = 0,061.

 

Приклад 2. При прийманні партії підлягає перевірці половина ви­робів. Умовами приймання передбачається не більше, ніж 2 % бра­кованих виробів. Визначити ймовірність того, що партію з 100 виробів, яка містить 5 % браку, буде прийнято.

Оскільки 2 % від 50 дорівнює одиниці, то через А позначимо подію, яка полягає в тому, що під час перевірки не отримано жодного бра­кованого виробу, а через В - лише один бракований виріб. Партію з 100 виробів, яка містить 5 % браку (тобто 5 бракованих виробів), буде прийнято за умови, що має місце або подія А, або подія В. Події А і В є несумісними. Тому за формулою (1) шуканою є ймовірність події C = A U B.

Із 100 виробів 50 можна вибрати C⁵⁰₁₀₀) способами. Із 95 небракова-них виробів 50 можна вибрати C⁵⁰₉₅ способами. Тому

 

Приклад 3. Для виготовлення деталі придатними є валики з діамет­ром 11,99 - 12,20 мм. Автомат виготовляє 1 % валиків, діаметр яких менший від 11,99 мм, і 2 % - діаметр яких більший за 12,20 мм. Яка ймовірність того, що навмання взятий з виробленої партії валик буде не­придатний для виготовлення деталі?

Нехай А - подія, ймовірність якої треба визначити. Тоді Ặ - подія, яка полягає в тому, що навмання взятий валик придатний.

За формулою (3) знаходимо