Индуктивность цепи. Энергия магнитного поля

Основной закон электромагнитной индукции (ЭМИ) – закон Фарадея: электродвижущая сила индукции равна скорости изменения магнитного потока сквозь площадь контура:

(24)

В каждом витке обмотки соленоида или тороида возникает ЭДС индукции, равная ; так как витки одинаковы и соединены последовательно, то ЭДС индукции, возникающая в катушке, равна сумме ЭДС витков:

, (25)

где – потокосцепление контура.

Частные случаи применения закона электромагнитной индукции (25):

1) при поступательном движении проводника длиной

, (26)

где – угол между векторами скорости проводника и магнитной индукции ;

2) при вращении рамки в однородном МП с индукцией

(27)

Здесь – число витков рамки; – площадь витка; – угловая скорость вращения; – угол поворота нормали рамки в момент времени (при вектор ).

Количество электричества , протекающее через сечение проводника сопротивлением при изменении потокосцепления , определяется формулой

, (28)

где – потокосцепления контура в начальном и конечном положениях.

Заметим, что при решении задач контрольной работы №4 формулы (26), (27) и (28) следует выводить, исходя из основного закона ЭМИ (25).

Полный магнитный поток контура пропорционален току в этом контуре:

, (29)

где – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура. Индуктивность длинного соленоида и тороида определяется формулой

(30)

Здесь – магнитная проницаемость сердечника; – число витков катушки; – площадь поперечного сечения сердечника (площадь витка); – длина сердечника; – число витков на единицу длины соленоида; – объем сердечника.

ЭДС самоиндукции , возникающая в контуре при изменении в нем тока, в случае постоянной индуктивности контура , если сердечник катушки неферромагнитный) изменяется по закону:

(31)

ЭДС самоиндукции, согласно правилу Ленца, препятствует изменению тока в цепи (его снижению при размыкании цепи и увеличению – при замыкании). В результате действия ЭДС самоиндукции ток в цепи с течением времени изменяется плавно (рис.56).

при размыкании: при замыкании: Рис. 56

После размыкания цепи, имеющей активное сопротивление и индуктивность , ток изменяется с течением времени по следующему закону:

, (32)

где – ток в момент времени .

Ток, определяемый формулой (32), является индукционным; в соответствии с законом Ома, величина этого тока в любой момент времени : , где ЭДС самоиндукции определяется законом ЭМИ (31).

При подключении цепи к источнику тока ЭДС самоиндукции создает индукционный ток, препятствующий нарастанию тока до значения . В результате ток в цепи устанавливается с течением времени по закону

(33)

Здесь, согласно закону Ома, ток , где – ЭДС источника тока.

Энергия магнитного поля, которое создается током в контуре с индуктивностью , вычисляется по следующей формуле:

(34)

Объемная плотность энергии однородного МП с магнитной индукцией , например, в сердечнике длинного соленоида, определяется формулой

, (35)

где – магнитная проницаемость сердечника.

Магнитное поле в веществе

Вещество во внешнем магнитном поле с индукцией намагничивается и создает собственное МП с индукцией Результирующее магнитное поле является суперпозицией этих двух полей:

(36)

Индукция собственного магнитного поля магнетика

, (37)

где – намагниченность вещества, она равна сумме магнитных моментов молекул вещества, находящихся в единичном объеме магнетика ()

. (38)

Величина намагниченности зависит от природы магнетика и напряженности МП следующим образом:

, (39)

где – магнитная восприимчивость вещества. С учетом этих соотношений принцип суперпозиции (36) запишем в следующем виде:

(40)

Здесь – магнитная проницаемость вещества.

По соотношению индукции МП в вакууме и собственного магнитного поля различают 3 вида магнетиков:

1) диамагнетики (медь, графит, вода и др.): ;

2) парамагнетики (алюминий, платина и др.): ;

а     б   Рис. 57

диа- и парамагнетики относят к слабым магнетикам, так как их собственное поле мало: ;

3) ферромагнетики – сильные магнетики, так как их собственное поле , а величина магнитной проницаемости достигает … ; ферромагнетиками являются железо, кобальт, никель, их сплавы с другими металлами и др.

Для ферромагнетиков характерна нелинейная кривая намагничивания: зависимость , показанная на рис. 57 а, и зависимость магнитной проницаемости от напряженности магнитного поля: (рис. 57 б). Если ферромагнетик намагнитить до насыщения, а затем уменьшать напряженность намагничивающего поля, то кривая пойдет выше и при будет величина : остаточная намагниченность.

РЕКОМЕНДАЦИИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО РАЗДЕЛУ

«ЭЛЕКТОМАГНЕТИЗМ»

1. Внимательно прочитайте условие задачи. Выясните, какое явление рассматривается в задаче, и изучите сведения о нем и о физических величинах, его описывающих, по разделу «7. Теоретическая часть».

2. При определении магнитных сил, магнитного потока и других величин обратите внимание на то, какое магнитное поле рассматривается в задаче – однородное или неоднородное. В первом случае используйте более простые формулы для однородного МП.

3. При решении задачи определяйте направления искомых векторов , и др. Для этого используйте а) определительные формулы, в правой части которых записано векторное произведение векторов или б) правило буравчика (см. п. 7.1) и правило левой руки.

4. В том случае, если магнитное поле создается в ферромагнетике, для которого магнитная проницаемость (в отличие от картонного или воздушного сердечника, имеющего ), необходимо определять величину по формуле, связывающей напряженность и магнитную индукцию :

(41)

 

При этом следует учесть, что величина магнитной индукции зависит от напряженности МП: , – и соответственно . Поэтому сначала вычисляют напряженность магнитного поля , которая зависит только от тока в контуре и формы и размеров контура (катушки). Затем по экспериментальному графику кривой намагничивания для заданного материала сердечника (используя справочные данные) по рассчитанной величине определяют индукцию магнитного поля . По найденным значениям вычисляют магнитную проницаемость сердечника по формуле (41).

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ