Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Расчет напряженности электростатического поля
С помощью теоремы Гаусса План решения задач 1) Выясните тип симметрии электростатического поля, который отображает симметрию заряженного тела, создающего поле: а) сферическая (центральная) симметрия характерна для полей равномерно заряженной сферы (нескольких концентрических сфер), равномерно заряженного по объему шара, металлического шара и т. п. б) цилиндрическая (осевая) симметрия имеется у полей, созданных равномерно заряженной по длине нитью или цилиндром (несколькими коаксиальными цилиндрами), равномерно заряженным по объему цилиндром и т. п. в) плоская (зеркальная) симметрия имеется у полей, созданных равномерно заряженной плоскостью, равномерно заряженной по объему пластиной и т. п. 2) Изобразите на рисунке силовые линии поля, ход которых определяется симметрией заряженных тел. 3) Выберите замкнутую вспомогательную поверхность, проходящую через выбранную точку поля (в которой требуется определить напряженность) и удобную для расчета потока вектора напряженности . Для удобной поверхности проекция вектора напряженности на нормаль к поверхности , т. е. вектор в той точке, где определяем величину . Другие участки вспомогательной поверхности выбирают такими, чтобы . Заметим, что для определения проекции принято проводить внешнюю нормаль к поверхности. Таким образом, для правильно выбранной вспомогательной поверхности поток в левой части теоремы Гаусса записывается в следующем виде: , (1) где – напряженность поля на расстоянии , отсчитанном от центра (оси) симметрии заряда до точки, в которой определяем величину . 4) Расчет напряженности поля с помощью теоремы Гаусса: , (2) выполняйте по областям; их выбирайте так, чтобы в пределах каждой области правая часть уравнения (2) была неизменной. На границе двух соседних областей изменяется величина – сумма зарядов, находящихся внутри выбранной вспомогательной поверхности, при этом функция изменяется скачком. Задача 12. На двух концентрических сферах радиусами равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями и , где . 1) Используя теорему Гаусса, найдите зависимость проекции вектора напряженности электростатического поля от расстояния для трех областей: (рис. 21). 2) Покажите направление вектора и вычислите модуль в точке на расстоянии от центра сфер. 3) Постройте график зависимости .
Решение 1) По условию задачи заряды, равномерно распределенные по сферам, находятся на одинаковых расстояниях от центра сфер: и . Следовательно, центр сфер является центром симметрии системы зарядов, а ЭСП, созданное сферами, обладает центральной (сферической) симметрией. На рис. 22 показано расположение зарядов и силовые линии поля: 1) линии начинаются а) на положительных зарядах первой сферы, б) либо на бесконечно большом расстоянии от сфер, и 2) силовые линии Дано Решение
идут к отрицательным зарядам второй сферы по радиальным линиям, так как такое поле является сферически симметричным. Заметим, что поле заряженной сферы на большом расстоянии от нее: , – совпадает с полем точечного заряда, также имеющим центральную симметрию. Вспомогательные поверхности для расчета потока в теореме Гаусса выбираем также в виде сфер радиусом , так как на них одинакова величина проекции напряженности . Единичные нормали к этим поверхностям идут по радиальным направлениям, поэтому проекции и совпадают. Соответственно, поток вектора через сферическую поверхность радиусом и площадью определяется формулой: (1) Расчет функции выполняем по следующим областям: Область : . В этой области выбираем произвольную точку 1 и проводим через нее сферу радиусом (см. рис. 22). Внутри данной вспомогательной сферы нет зарядов: . Следовательно, по теореме Гаусса определяем (2) Область : . В этой области проводим сферу радиусом через произвольную точку 2. Внутри данной вспомогательной сферы находится заряд – на поверхности первой заряженной сферы радиусом . Приравниваем поток, определяемый формулой (1), по теореме Гаусса: , где . Отсюда выражаем зависимость , т. е. . (3) Область : . В этой области вспомогательная сфера радиусом проходит через точку 3. Внутри данной сферы находятся заряды обеих сфер, следовательно
. ; . (4) Таким образом, проекция вектора напряженности , а модуль величины , т. е. уменьшается с увеличением расстояния 2) Заданная точка для определения напряженности поля находится на расстоянии от центра сфер, следовательно, она лежит в области , поэтому проекцию напряженности рассчитываем по формуле (4): (5) Здесь – электрическая постоянная. Вычисляем напряженность ЭСП сфер в заданной точке по формуле (5): . Проекция напряженности отрицательная, следовательно, вектор в этой точке противоположен радиальному направлению, т. е. направлен к центру сфер, что соответствует показанному на рис. 22.
Задача 13. На двух коаксиальных бесконечно длинных цилиндрах радиусами равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями и , где . 1) Используя теорему Гаусса, найдите зависимость проекции вектора напряженности ЭСП от расстояния для трех областей: (рис. 24). 2) Покажите направление вектора и вычислите модуль в точке на расстоянии от оси цилиндров. 3) Постройте график зависимости . Дано Решение
1) По условию задачи заряды, равномерно распределенные по поверхности цилиндров, находятся на одинаковых расстояниях от оси цилиндров: и . Следовательно, ось цилиндров является осью симметрии данной системы зарядов, а ЭСП, созданное цилиндрами, обладает осевой симметрией. На рис. 25 показаны силовые линии поля. Линии вектора начинаются на положительных зарядах второго цилиндра и идут к отрицательным зарядам первого цилиндра либо в бесконечность по радиальным линиям, так как такое поле является осесимметричным. Вспомогательные поверхности для расчета потока в теореме Гаусса выбираем также в виде цилиндров радиусом , так как на их боковой поверхности одинакова величина проекции . Единичные нормали к этим поверхностям идут по радиальным направлениям, поэтому проекции и совпадают. Чтобы боковая поверхность была замкнутой «закроем» основания (торцы) цилиндров дисками, плоскость которых ортогональна боковой поверхности цилиндра. В этом случае векторы будут скользить вдоль плоскости оснований и проекция напряженности на нормаль к основаниям , следовательно, и поток Поток вектора через такой замкнутый цилиндр радиусом и высотой определяется следующей формулой: (1) Расчет функции выполняем по следующим областям: Область : . В этой области выбираем произвольную точку 1 и проводим вспомогательный цилиндр радиусом такой, чтобы точка 1 лежала на боковой поверхности цилиндра (см. рис. 25). Внутри этого цилиндра нет зарядов: . Следовательно, по теореме Гаусса получаем (2) Область : . В этой области проводим вспомогательный цилиндр радиусом , равным расстоянию от оси цилиндра до произвольной точки 2, чтобы эта точка оказалась на боковой поверхности цилиндра. Внутри данного вспомогательного цилиндра на поверхности первого цилиндра радиусом находится заряд . Приравниваем поток, определяемый формулой (1), по теореме Гаусса:
, где . При этом произвольно выбранный параметр сокращается, и получаем зависимость в виде: . (3) Таким образом, проекция вектора , а модуль , т. е. уменьшается с увеличением расстояния Область : . В этой области боковую поверхность вспомогательного цилиндра проводим через точку 3. Внутри данного цилиндра находятся заряды обоих цилиндров, следовательно, ; , т. е. . (4) 2) Заданная в условии задачи точка для определения напряженности поля находится на расстоянии от оси цилиндров, следовательно, она лежит в области , поэтому проекцию напряженности рассчитываем по формуле (4): . (5) Здесь – электрическая постоянная. Вычисляем значение проекции напряженности ЭСП цилиндров в заданной точке по формуле (5): . Проекция напряженности положительная, следовательно, вектор в этой точке направлен по радиальному направлению от оси цилиндров, что соответствует показанному на рис. 25. 3) Для построения графика зависимости найдем значения проекции вектора напряженности на границах участков:
; . Задача 14. На двух бесконечных параллельных плоскостях равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями и , где . 1) Используя теорему Гаусса и принцип суперпозиции электрических полей, найдите зависимость проекции вектора напряженности электростатического поля от координаты для трех областей: (рис. 27). 2) Покажите направление вектора и вычислите модуль в точке, расположенной справа от плоскостей. 3) Постройте график зависимости . Дано Решение
ЭСП, созданное двумя заряженными плоскостями, не обладает симметрией, в отличие от поля одной заряженной плоскости, которое имеет зеркальную симметрию. Поэтому с помощью теоремы Гаусса найдем напряженность поля, создаваемого одной заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда . Силовые линии этого поля перпендикулярны плоскости и направлены от плоскости в обе стороны (рис. 28) – такое поле симметрично относительно «плоскости-зеркала».
1) Для расчета напряженности выберем точки 1 и справа и слева от плоскости на одинаковом расстоянии от нее; в силу симметрии поля в этих точках одинаков модуль векторов: . В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости. При этом нормали к основаниям (см. рис. 28), следовательно, проекции и слева, и справа от плоскости. Поток вектора через боковую поверхность цилиндра равен нулю: , так как и поэтому , поскольку линии напряженности не пересекают боковую поверхность. Заметим, что в качестве вспомогательной поверхности можно выбрать и прямую призму или параллелепипед, основания которых проходили бы через точки 1 и . Вычислим поток вектора через такой замкнутый цилиндр: (1) Заряд, находящийся внутри этой замкнутой поверхности, размещен на диске площадью (см. рис. 28) и равен . Приравняем поток, определяемый формулой (1), по теореме Гаусса: . Из этого уравнения получаем зависимость (2) Из формулы (2) следует, что напряженность электростатического поля заряженной плоскости не зависит от расположения точки поля относительно плоскости и одинакова во всех точках поля – такое поле называется однородным. Это справедливо, пока плоскость можно считать бесконечно большой, т. е. на расстояниях от заряженной плоскости, достаточно малых по сравнению с ее размерами. Для электростатического поля двух плоскостей, заданного в условии задачи, найдем напряженность, используя принцип суперпозиции полей: , (3) где – векторы напряженности полей первой и второй плоскости, причем модули этих векторов определяются формулой (2): ; . Но сложение векторов в уравнении (3) необходимо выполнять с учетом их направлений, которые определяем, как обычно, помещая в выбранную точку поля пробный положительный заряд . Отрицательные заряды первой плоскости будут притягивать к себе пробный заряд силой , а положительные заряды второй плоскости будут отталкивать от себя заряд силой . По направлениям этих сил направлены линии напряженности ЭСП: и . В каждой области пространства покажем по одной линии напряженности поля заряженных пластин: линию и линию (рис. 29).
Запишем проекцию вектора напряженности поля плоскостей, проецируя уравнение (3) принципа суперпозиции на ось : (4) Найдем проекцию в каждой области: Область (слева от плоскостей): (5) Область (между плоскостями): (6) Область (справа от плоскостей): . (7) Заметим, что для определения проекции напряженности в уравнения (5), (6) и (7) следует подставлять модули величин , так как их знак учтен знаком проекций , которые соответствуют указанным направлениям векторов для каждой плоскости.
2) Рассчитаем проекцию вектора напряженности ЭСП в области – справа от плоскостей, по уравнению (7): . (8) Проекция отрицательна, следовательно, вектор направлен противоположно положительному направлению оси . Вычисляем модуль вектора : 3) Чтобы построить график зависимости проекции вектора напряженности от координаты , найдем значения проекций в каждой области пространства по уравнениям (5), (6) и (7):
; ; ; ; ; .
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 419; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.14.6.194 (0.097 с.) |