Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Расчет напряженности и потенциала электростатического поля
С помощью принципа суперпозиции План решения задач 1.Изобразите на рисунке схему расположения точечных зарядов или заряженных тел в соответствии с условием задачи. На схеме: 1) покажите знаки зарядов и их символы с индексом, равным номеру заряда; 2) обозначьте точку, в которой нужно определить величины напряженности и потенциала ЭСП, например, точка . 2. Запишите принцип суперпозиции для расчета напряженности поля в следующем виде: а) если ЭСП создается системой точечных зарядов или заряженных тел, то (1) где – вектор напряженности поля i-того заряда или заряженного тела; число слагаемых в уравнении (1) равно числу зарядов, создающих поле; б) если ЭСП создается зарядом, распределенным равномерно, например, по длине заряженного тела, тогда , (2) где – бесконечно малый вектор напряженности, создаваемый элементарным зарядом , выделенным на заряженном теле. 3. Так как в уравнениях (1) и (2) записана сумма векторов, которые следует складывать геометрически, то необходимо показать на рисунке направления суммируемых векторов. Для этого мысленно помещают в исследуемую точку поля пробный положительный заряд и показывают направление сил , действующих на этот пробный заряд со стороны каждого i-того заряда (естественно, что векторы всех сил, приложенных к заряду , начинаются в точке ). Поскольку векторы напряженности , то обозначают изображенные векторы символами , где индекс величины совпадает с индексом заряда, создающего поле. Аналогично определяют направление векторов от бесконечно малых точечных зарядов и , которые выбирают, как правило, в точках заряженного тела, распложенных симметрично относительно его оси симметрии. 4. Сложение двух векторов обычно выполняют с помощью правила параллелограмма (или треугольника); при этом модуль определяемого результирующего вектора находят по теореме косинусов. Если число складываемых векторов равно трем и более, в том числе и при суммировании бесконечно малых векторов , то находят проекции результирующего вектора на координатные оси , проецируя на эти оси каждый из суммируемых векторов. В этом случае модуль результирующего вектора определяют с помощью теоремы Пифагора: . Оси направляют таким образом, чтобы удобно было записывать проекции , т. Е. чтобы были известны углы, образованные векторами с осями координат. Либо одну из осей проводят по предполагаемому направлению результирующего вектора , которое можно определить, используя симметрию в расположении зарядов, если таковая имеется.
5. Потенциал электростатического поля в исследуемой точке находят также с помощью принципа суперпозиции: , (3) алгебраически суммируя потенциалы, которые создаются в данной точке заряженными телами, в том числе, точечными зарядами или бесконечно малыми точечными зарядами . При этом суммировании знаки потенциалов равны знакам соответствующих -тых зарядов, в частности, отрицательный заряд создает в точке электростатическое поле с отрицательным значением потенциала. Задача 4. Два точечных заряда и расположены в двух вершинах равностороннего треугольника со стороной . Определите напряженность электростатического поля и его потенциал в точке А, находящейся в третьей вершине.
Расположение зарядов относительно точки показано на рис. 11. (1) где и – напряженности полей, создаваемых в точке зарядами соответственно. Чтобы определить направление складываемых векторов, в точку мысленно помещаем пробный заряд и рассматриваем действующие на него силы: первый заряд отталкивает заряд силой , направленной по линии соединяющей заряды , а второй – отрицательный заряд притягивает к себе положительный заряд силой , также направленной по линии, соединяющей заряды . Напряженность поля, создаваемого i-тым зарядом, , т. е. совпадает по направлению с соответствующей силой. Модуль результирующего вектора можно найти любым из двух способов: а) по теореме косинусов: , (2) где напряженности ЭСП, создаваемого точечными зарядами в точке , находящейся на расстоянии от каждого заряда: ; (3) б) по проекциям принципа суперпозиции (1) на координатные оси : ; (4) (5) Ось направляем вдоль вектора , при этом вектор образует известные углы с осями (см. рис. 11). Следовательно, проекции результирующего вектора : , – на координатные оси , будут определяться выражениями:
В результате (6) Подставим формулы (3) для напряженностей в выражение (6) и, вынося одинаковый сомножитель за скобки и из радикала, получим следующую расчетную формулу величины : (7) Вычисляем по формуле (7) напряженность электростатического поля в точке , заметив, что при этом нужно подставлять модуль отрицательного заряда , поскольку знак его уже учтен в направлении вектора : . 2) Расчет потенциала в точке электростатического поля выполняем, используя принцип суперпозиции: , (8) где потенциалы ЭСП, созданного точечными зарядами в точке , находящейся на расстоянии от каждого заряда, определяются следующими формулами: (9) С учетом этих формул равенство (8) запишется в виде: (10) В полученной расчетной формуле каждый заряд записывается с его знаком, так как только в этом случае получим алгебраическую сумму потенциалов полей, создаваемых отдельными зарядами. Вычислим потенциал в исследуемой точке электростатического поля по формуле (10): . Задача 5. Четыре точечных заряда , , и , расположены в вершинах квадрата со стороной . Определите напряженность электростатического поля и его потенциал в точке пересечения диагоналей квадрата. Дано Решение
Расположение зарядов в вершинах квадрата показано на рис. 12. 1) Для расчета напряженности вектора в точке используем принцип суперпозиции электростатического поля в виде: , (1) где – напряженности полей, создаваемых в точке О зарядами соответственно. Для определения направления суммируемых векторов в исследуемую точку поля О мысленно помещаем пробный положительный заряд и рассматриваем действующие на него силы: каждая сила направлена по линии, соединяющей пробный заряд и заряд и приложена к пробному заряду в точке . При этом положительные заряды отталкивают от себя , а отрицательный заряд притягивает к себе . По направлениям этих сил , действующих на пробный заряд, направлены соответствующие векторы напряженностей (см. рис. 12). Векторы, направленные по одной прямой (коллинеарные) складываем попарно: ; так как , то модуль вектора ; (2) ; так как , то модуль вектора (3) Учитывая эти равенства, принцип суперпозиции (1) перепишем в следующем виде: (4) Так как векторы взаимно перпендикулярны, то их складываем по правилу параллелограмма (треугольника); при этом модуль результирующего вектора определяем с помощью теоремы Пифагора: С учетом формул (2) и (3) модуль напряженности ЭСП в точке (5) Напряженность ЭСП, создаваемого точечным зарядом : (6) где – расстояние от точечного заряда до точки в ЭСП. Подставляя напряженности согласно формуле (6) в равенство (5) и вынося одинаковый сомножитель за скобки и из радикала, получим расчетную формулу для величины напряженности в следующем виде: (7) Вычисляя по формуле (7) напряженность поля в точке , заметим, что при этом в формулу следует подставить модуль отрицательного заряда , так как знак его уже учтен в изображении вектора на рис. 12. . 2) Рассчитываем потенциал электростатического поля в точке с помощью принципа суперпозиции:
, (8) где – потенциал поля, создаваемого точечным зарядом в точке , находящейся на расстоянии от заряда: . (9) Подставляя формулы (9) в равенство (8), получаем следующую расчетную формулу для потенциала ЭСП в точке : (10) Здесь заряды записываются с их знаками: так как отрицательный заряд создает поле с отрицательным потенциалом, то . Вычисляем потенциал точки электростатического поля по формуле (10): . Задача 6. В вершинах правильного шестиугольника со стороной находятся четыре положительных и два отрицательных точечных заряда; все заряды имеют одинаковый модуль . Определите напряженность электростатического поля и потенциал в центре шестиугольника при трех различных вариантах расположения этих зарядов. Дано Решение
Для расчета в центре шестиугольника (в точке ) напряженности электростатического поля, создаваемого системой из шести точечных зарядов, используем принцип суперпозиции: , (1) где – вектор напряженности поля, создаваемого в точке i-тым зарядом (; индекс вектора совпадает с индексом заряда . Чтобы определить направления суммируемых векторов, в точку мысленно поместим пробный положительный заряд и покажем направления действующих на него сил со стороны i-тых зарядов: все силы направлены вдоль линий, соединяющих пробный заряд с зарядом . При этом положительные заряды отталкивают от себя пробный заряд, а отрицательные –притягивают к себе . По направлениям сил , действующих на пробный заряд, направлены соответствующие векторы напряженности (рис. 13). Векторы, направленные вдоль одной прямой (коллинеарные), складываем попарно, учитывая, что модули всех векторов одинаковы: . (2) С учетом направления векторов в точке (см. рис. 13), перепишем равенство (1) в виде: . (1а) Так как вектор , то их сумма ; сумма сонаправленных векторов: , и . С учетом этих соотношений принцип суперпозиции (1а) перепишем в следующем виде: . (3) Векторы складываем по правилу параллелограмма (треугольника). Так как диагонали шестиугольника разделяют его площадь на равносторонние треугольники, то по рис. 13 видно, что . Тогда результирующий вектор напряженности ЭСП в точке . С учетом формулы (2) модуль этого вектора . (4)
Вычисляем напряженность ЭСП в исследуемой точке : . Потенциал электростатического поля в точке определяется по принципу суперпозиции как алгебраическая сумма потенциалов полей, создаваемых шестью точечными зарядами: , (5) где – потенциал поля, создаваемого точечным зарядом в точке , находящейся на расстоянии от заряда; он определяется следующей формулой: . Поскольку все заряды одинаковы по модулю и находятся на одинаковом расстоянии от исследуемой точки поля , то слагаемые в уравнении (5) различаются только знаком; при этом, согласно условию задачи, имеем ; . В соответствии с уравнением (5) сумма этих потенциалов (6) Величина , определяемая уравнением (6), не изменяется при любом варианте размещения данных зарядов в вершинах шестиугольника. Вычисляем потенциал электростатического поля в точке : .
, (7) где модуль напряженности , – в соответствии с формулой (2). Модуль результирующего вектора определяем из треугольника на рис. 14 по теореме косинусов, в соответствии с уравнением (7): (8) Сравнивая формулы (8) и (4), отмечаем, что в данном варианте размещения зарядов напряженность в раз больше, чем в первом случае: .
В последнем уравнении векторы, заключенные в скобки, равны по модулю и противоположны по направлению; следовательно, их сумма равна нулю. Соответственно, и результирующий вектор , так как поля, созданные зарядами одинакового знака, в точке взаимно компенсируются. Задача 7. Электростатическое поле создается нитью длиной , несущей заряд , равномерно распределенный по длине нити. Определите напряженность и потенциал в точке , лежащей на продолжении нити на расстоянии от ближайшего ее конца. Дано Решение
1) Размер заряженного тела – длина нити , соизмерим с расстоянием от нити до исследуемой точки поля , следовательно, заряд нити не является точечным. В таких случаях мысленно разделяют заряд нити на элементарные заряды и суммируют создаваемые ими в точке поля напряженностью (рис. 16). Чтобы определить направление векторов в точке , мысленно поместим в эту точку пробный положительный заряд и покажем векторы сил , действующих со стороны элементарных зарядов нити на пробный заряд. Векторы направлены по линии, соединяющей заряды , а векторы , следовательно, все бесконечно малые векторы напряженности полей элементарных зарядов нити направлены вдоль оси , т. е. параллельны друг другу.
Результирующий вектор , согласно принципу суперпозиции: , (1) в этом случае направлен вдоль оси , а его модуль равен сумме модулей складываемых векторов: , (2) где напряженность поля , создаваемого точечным зарядом , который находится на участке бесконечно малой длиной , определяется формулой (3) Здесь величина заряда , где – линейная плотность заряда нити; – расстояние от заряда до исследуемой точки поля .
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 704; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.133.121.160 (0.123 с.) |