Релятивистское сложение скоростей

 

Скорости света нельзя достигнуть при сложении скоростей, меньших С. Возможная скорость достигает своего максимального значения u′ = С лишь в случае, если u или u равно с.

Скорость света С является предельной относительной скоростью движения, недостижимой для частиц вещества.

Релятивистское тяготение

 

Общая теория относительности представляет собой современную релятивистскую теорию тяготения.

Классическая теория тяготения Ньютона дает:

,

где F – мгновенно действующая сила (сигнал или энергия передается мгновенно).

Такой вывод противоречит принципу теории относительности: ни энергия, ни сигнал не могут распространяться быстрее скорости света.

Это противоречие привело Эйнштейна к постулированию принципа эквивалентности.

Поле силы тяжести эквивалентно ускоряющей системе отсчета (т.е. тождественность гравитационной и инертной масс).

Элементы релятивистской динамики

 

При переходе от одной инерциальной системы к другой должны соответствующим образом преобразовываться компоненты вектора силы и должна изменяться масса.

Масса

Масса движущегося тела m зависит от его скорости u и минимальна в системе отсчета, в которой тело покоится (масса покоя). Эта зависимость, имеющая вид:

, (180)

была впервые получена Лоренцем для электронов и приписывала им возрастание массы (инерции) за счет электромагнитного поля движущегося электрона. Эйнштейн показал, что уравнение (174) – совершенно универсальный закон, не зависящий от частных свойств частиц.

График зависимости m от С имеет вид:

Рис. 153

В точке А увеличение массы на 15 % от mо. Световые частицы – фотоны, нейтрино – движутся со скоростью света в пустоте, u = c. Применяя к фотонам (180), получаем: . (181)

Так как фотоны имеют конечную и, вообще говоря, различную массу, то следует считать массу покоя фотона m₀ тождественно равной нулю. Тогда отношение математически является неопределенным и может принимать разные значения, которые определены далее.

Частицы вещества и света материальны и обладают массой. Однако между ними имеется существенная качественная разница.

Частицы вещества имеют «массу покоя» и могут двигаться с любыми скоростями, всегда меньшими скорости света в пустоте:

 

m₀ ≠ 0 и 0 ≤ u< с. (182)

 

Частицы света не имеют массы покоя и могут двигаться только со скоростью света:

 

m₀ = 0 и u = с. (183)

 

Фотон, не имея массы покоя m₀, имеет только массу движения, но только тогда, когда он движется со скоростью с.

Распространение света в среде со скоростью:

,

меньшей скорости света в пустоте с, не означает уменьшения скорости движения самих фотонов. Грубо этот факт можно толковать так: каждый отдельный фотон летит со скоростью с, но при встрече с атомами среды как бы поглощается ими, а затем снова испускается. Благодаря наличию таких «остановок» средняя скорость света в среде u оказывается ниже скорости движения фотонов с.

Энергия

 

Е = mc² (184)

 

представляет собой некоторую энергию материальной точки, движущейся со скоростью v относительно данной системы отсчета (это энергия рассматриваемой точки в «подвижной» системе). Ее называют полной энергией материальной точки. Мы получили закон взаимосвязи массы и энергии, установленный Эйнштейном в 1905 г.

 

Всякий объект, масса которого m, имеет соответствующую полную энергию Е.

 

В системе отсчета, относительно которой точка покоится, ее кинетическая энергия
Т = 0 и полная энергия Е = m₀с² = Е₀ равна энергии покоя.

Законы сохранения

Обозначим кинетическую энергию i-й частицы системы через T_i, а потенциальную энергию взаимодействия i-й и k-й через U_ik. Тогда кинетическая и потенциальная энергия системы частиц Е равна:

, (185)

 

(половинка перед второй суммой учитывает, что каждая энергия взаимодействия между i-й и k-й частицей появляется в ней дважды, в виде U_ik и U_ki).

Обозначая массу покоя i-й частица через m_0i, получим для массы М всей системы:

 

. (186)

 

Если система изолирована, то ее полная масса сохраняется:

 

. (187)

 

Формула (181) выражает закон сохранения массы в теории относительности.

Если выражение для полной массы системы (181) умножить на квадрат скорости света c², то получим релятивистский закон сохранения энергии W замкнутой системы:

 

. (188)

 

Очень существенно то обстоятельство, что релятивистские законы сохранения массы (187) и энергии (188) не являются независимыми: любой из них можно рассматривать как следствие другого, так как они связаны совершенно универсальным отношением:

 

W = Mc². (189)

 

Следует отметить встречающиеся в литературе неправильные толкования релятивистского закона сохранения энергии – массы. Часто можно было встретить утверждения, что согласно теории относительности имеет место превращение массы в энергию и энергии в массу. Они ошибочны.

 

Релятивистский импульс

1. Частица называется релятивистской, если υ сравнимо с с. Чтобы определить, является ли частица релятивистской, надо сравнить Т с Е₀. Если

, (190)

то частица классическая.

2. Чтобы определить, является ли частица, обладающая импульсом р релятивистской, надо сравнить его с ее комптоновским импульсом – m₀c. Если

 

, (191)

 

то частица классическая.

 

Вопросы к разделу 9 «Границы применимости классической механики»

 

1. Что называется эфиром?

2. Сформулируйте принцип относительности.

3. Сформулируйте постулаты Эйнштейна.

4. Сформулируйте основное отличие преобразований Лоренца от преобразований
Галилея.

5. Сформулируйте принцип эквивалентности.

6. Запишите формулу для расчета массы движущегося тела.

7. Сформулируйте закон взаимосвязи массы и энергии.

8. Запишите формулу взаимодействия массы и энергии.

9. Запишите условие, при котором частица называется классической.

 

О. Н. Гречухина,

А. М. Лихтер,

А. А. Попов

 

 

Механика

 

Учебное пособие

 

 

ООО «Астраханская полиграфическая компания»

Уч.-изд. п. л. 7, тираж – 500 экз.