Тема 5. Моделювання та оптимізація ризику

1. Функція ризику.

2. Критерії прийняття рішень при заданому розподілі ймовірностей.

3. Критерії прийняття рішень, коли невідомий розподіл ймовірностей.

4. Критерії прийняття рішень у ситуації, що характеризується антагоністичними інтересами середовища.

5. Шоста інформаційна ситуація.

1. Функція ризику.

Для дослідження статистичних моделей за умов ризику та невизначеності ви­хо­дять із схеми, що передбачає наявність:

- у суб’єкта керування – множини взаємовиключаючих рішень Х = {х₁, х₂, …, х_м}, одне з яких йому необхідно прийняти;

- множини взаємовиключаючих станів економічного середовища, однак, суб’єктові керування невідомо, у якому стані буде знаходитись середовище;

- у суб’єкта керування – функціонал оцінювання F = {f_kj}, що характеризує “виграш” чи “програш” під час вибору рішення х_к Х, якщо середовище знаходиться (буде знаходитися) у стані Ø_j Ø.

Творча складова прийняття рішень за умов ризику має вирішальне значення.

Формальна складова процесу прийняття рішення за умов невизначеності полягає у проведенні розрахунків, за існуючими алгоритмами, показників ефективності, що входять у визначення функціоналу оцінювання F={f_kj}, та розрахунків для знаходження оптимального розв’язку х^* Х (чи множини таких розв’язків Х^* Х), згідно з обраними критерієм прийняття рішень.

Функціонал оцінювання F має позитивний інгредієнт, якщо намагається досягнути

(5.1)

Для таких випадків записують F=F⁺={f_kj⁺}.

Для негативного інгредієнта, якщо намагаються досягнути відповідно записують

, (5.2)

F=F ^-={f ^-_kj}.

Визначення функціоналу оцінювання у формі F=F⁺, як правило, використовується для оптимізації категорії корисності, виграшу, ефективності, ймовірності досягнення цільових подій, тощо. У формі F=F ^- - використовують для оптимізації збитків, ризику, тощо.

Так звана функція ризику визначається як лінійне перетворення позитивно чи негативно заданого інгредієнта функціоналу оцінювання до відносних одиниць вимірювання. Таке перетворення встановлює початок відліку функціоналу оціню­вання для кожного стану економічного середовища Ø_j Ø:

1) для F⁺,коли мають зафіксований стан середовища Ø_j Ø знаходять

l_j = ; j= ; k= ; (5.3)

функція ризику визначається у виді

r_kj = r_j(x_k) = l_j – f ; j= ; k= ; (5.4)

2) для F ^-, при фіксованих Ø_j Ø знаходять

L_j = ; j= ; k= ; (5.5)

функція ризику визначається у вигляді

r_kj = r_j(x_k) = f - L_j; j= ; k= ; (5.6)

2. Критерії прийняття рішень при заданому розподілі ймовірностей

Спочатку дамо визначення інформаційної ситуації.

Під інформаційною ситуацією J розуміють певний ступінь градації невиз­на­че­ності вибору середовищем своїх станів у момент прийняття рішення.

За класифікатором інформаційних ситуацій, пов’язаних з невизначеністю середовища, виділяють шість інформаційних ситуацій:

· J₁ – характеризується заданим розподілом апріорних ймовірностей на еле­мен­тах множини Ø;

· J₂ – характеризується заданим розподілом ймовірностей з невідомими па­ра­метрами;

· J₃ – характеризується заданою системою лінійних співвідношень на компо­нентах апріорного розподілу станів середовища;

· J₄ – характеризується невідомим розподілом ймовірностей на елементах множини Ø;

· J₅ – характеризуються антагоністичними інтересами середовища у процесі прийняття рішень;

· J₆ – характеризуються як проміжні між J₁ та J₅ при виборі середовища своїх станів.

Отже, перша інформаційна ситуація J₁ має місце тоді, коли мають апріорний розподіл ймовірностей

P= (p₁, p₂, …, p_j), p_j = p (Ø=Ø_j), =1 на елементах Ø_j Ø.

Ця ситуація є, мабуть, найбільш розповсюдженою в більшості практичних задач прийняття рішень за умов ризику. При цьому ефективно використовуються конструктивні методи теорії ймовірностей та математичної статистики.

Розглянемо один із критеріїв прийняття рішень у цій ситуації.

Критерій Байєса

Суть критерію – максимізація математичного сподівання функціоналу оціню­ван­ня. Назва критерію пов’язана з перетворенням формул апріорних ймовір­но­с­тей у апостеріорні. Критерій Байєса часто називають критерієм середніх (сподіва­них) затрат (критерієм ризику при F=F ^-).

Згідно з критерієм Байєса оптимальними розв’язками х Х (або множиною та­ких оптимальних рішень) вважаються такі рішення, для котрих математичне спо­дівання функціоналу оцінювання досягає найбільшого можливого значення.

. (5.7)

Якщо максимум досягається на декількох рішеннях з х, множину яких позна­чимо через , то такі рішення називають еквівалентними.

Величина називається байєсівським значенням фун­к­ці­о­на­лу оцінювання для рішення . Критерій Байєса є найбільш розповсюдженим в інформаційній ситуації J₁. Цей критерій тісно пов’язаний з аксіомами теорії ко­рисності (аксіома Неймана та Моргенштерна), де сумарна сподівана корисність визначається як математичне сподівання корисностей окремих результатів.

Якщо функціонал оцінювання задано у формі F ^-, то замість оператора max ма­те­матичного сподівання використовується min математичного сподівання. Якщо фу­нкціонал оцінювання задано в ризиках, то сподівану величину B^- (x_k,p) нази­вають байєсівським ризиком для розв’язку x_k .

У першій інформаційній ситуації J₁ при прийняті рішень за умов ризику ко­ри­с­туються апріорними ймовірностями.

 

3. Критерії прийняття рішень, коли невідомий розподіл ймовірностей

Інформаційна ситуація J₄ характеризується невідомим розподілом P=(p₁,…, p_n), p_j= P{Ø=Ø_j}, на елементах Ø, з одного боку, та відсутністю активної протидії середовища цілям щодо прийняття рішень суб’єктом керування з іншого. Поводження “пасивної природи”, що досліджується у теорії статистичних рішень, та середовища співпадає. Інакше кажучи, ситуація J₄ характеризується цілковитим незнанням суб’єктом керування про те, що стосується ймовірності поводження середовища.

На практиці такі ситуації виникають, коли впроваджуються на підприємствах зразки нової техніки, коли мова йде про реалізацію нових зразків товарів народного споживання, коли зовсім невідомий попит, а також при відпрацюванні у виробництві нових технологічних способів, транспортних маршрутів тощо.

Критерій Бернуллі-Лапласа

В основу цього критерію покладено відомий “принцип недостатніх підстав”. Він вперше був сформульований Бернулі і в загальних рисах означає: якщо немає да­них для того, щоб вважати один стан середовища з множини Ø більш ймо­вір­ним, ніж будь-який інший стан середовища з множини Ø, то апріорні ймовірності p_j станів середовища треба вважати рівними, тобто згідно з принципом недостатніх підстав точкові оцінки визначаються так

. (5.8)

Ці оцінки розподілу апріорних ймовірностей дозволяють застосовувати критерії першої інформаційної ситуації J₁.

Критерій Бернуллі-Лапласа, що ґрунтується на застосуванні критерію Байєса та принципу недостатніх підстав для одержання оцінок апріорних ймовірностей p_j, формулюється таким чином.

Оптимальним згідно з критерієм Бернуллі-Лапласа є те рішення , де

(5.9)

Таким чином, можливі стани розглядаються як рівноймовірні, якщо немає жодних відомостей про умови, за яких кожний стан може відбутися.

Домінування розв’язку х_к над розв’язком х_i можна гарантувати у тому і лише в тому випадку, коли

(5.10)

Тому необхідною і достатньою умовою пріоритету розв’язку х_к з множини Х є використання нерівності

0 (5.11)

Принцип максимуму Гіббса-Джейнса

Згідно з принципом Гіббса-Джейнса найбільш характерними розподілами ймо­ві­р­ностей станів невизначеного середовища є такі розподіли, котрі максимізують ви­брану міру невизначеності при заданий інформації щодо поводження середо­вища.

Тут використовується формалізм відтворення невідомих законів розподілу випадкової величини за наявності обмежень з умов максимуму ентропії Шеннона:

(5.12)

Необхідно зазначити, що Н(р) являє собою міру невизначеності, що знаходиться з розподілу апріорних ймовірностей р станів середовища.

Формалізм Джейнса постулює: найменш сумнівним розподілом ймовірностей буде такий, що максимізує невизначеність при врахуванні всієї заданої інформа­ції.

Застосування принципу максимальної невизначеності Гіббса-Джейнса за умов ін­формаційної ситуації J₄ дозволяє визначити точкову оцінку з умов

(5.13),

у виді . Однак точкова оцінка апріорного розподілу станів середовища постулюється також принципом Бернуллі-Лапаса.

Суттєвою перевагою принципу максимальної невизначеності Гіббса-Джейнса є те, що існує можливість одержання оцінок апріорного розподілу, в яких суб’єктом керування можуть бути накладені обмеження на розподіл апріорних ймовірностей станів середовища, наприклад, у формі задання середніх та дисперсій (ризику) характеристик значень функціоналу оцінювання F.

 

4. Критерії прийняття рішень у ситуації, що характеризується анта­гоніс­тичними інтересами середовища

Критерій Вальда

На відміну від “пасивного” середовища чи середовища, стан якого реалізується згідно з заданим розподілом ймовірностей, активне середовище прагне до вибору таких станів з множини Ø, для котрих функціонал оцінювання F=F⁺ приймає мінімальне значення з множини своїх можливих значень. Основною тенденцією для суб’єкта керування буде при цьому забезпечення собі гарантованих (максимінних) рівнів значень функціоналу оцінювання, тобто зведення ризику до нуля.

Таким чином, у ситуації J₅ невизначеність цілком обумовлена тим, що суб’єктові керування невідомо, в якому стані з множини Ø знаходиться економічне середовище. У теоретичній моделі ступінь невизначеності зменшений через припущення, що економічне середовище активно протидіє досягненню найбільшої ефективності рішень, що приймаються, шляхом вибору таких своїх станів, які зводять до мінімуму максимальну ефективність процесу управління.

Коли F=F⁺, то згідно з принципом максиміну кожному рішенню х_к Х при­своюють як показник його гарантований рівень, що визначається найменшим за станом середовища значенням функціоналу

. (5.14)

Оптимальним називають таке рішення , для якого

. (5.15)

Тобто, критерій Вальда ґрунтується на максимінному принципі для F=F⁺, що полягає у прийнятті такого рішення , яке задовольняє умові

. (5.16)

Критерій мінімального ризику Севіджа

Цей критерій був запропонований у 1951 році і на даний час є одним із основ­них критеріїв, що задовольняє принципові мінімаксу.

У критерії Севіджа функціонал оцінюється вираженням у формі ризику F=F ^-. Згідно з цим критерієм оптимальним рішенням є таке, що задовольняє умові

(5.17)

Доречним обмеженням у критерії Севіджа є обмеження виду

для усіх х_к Х (5.18)

5. Шоста інформаційна ситуація

Інформаційна ситуація J₆ визначається наявністю факторів, що характеризу­ють два типи “проміжної” поведінки середовища.

Для першого типу характерна наявність у суб’єкта керування деякої “неяс­ної” інформації щодо дійсних розподілів стану середовища. Якою б “неясною” ін­фо­рмація не була, суб’єкт керування хоч і не може постулювати яку-небудь кон­крет­ну інформаційну ситуацію J_i(i= ), але може встановити деякий рівень песимізму - оптимізму.

Для другого типу вважається, що суб’єкт керування має інформацію про стан середовища, яка є “проміжною” між інформаційними ситуаціями J₁ та J₅, тобто для цього випадку така інформаційна ситуація знаходиться між двома крайніми ситуаціями J₁ та J₅, що характеризуються, з одного боку, повним або частковим знанням щодо розподілів ймовірностей на Ø, а з другого – антагоністичною поведінкою середовища.

Критерій Гурвіца

Критерій Вальда та Севіджа песимістичні в тому розумінні, що з кожним рішенням вони поєднують стан середовища, що призводить до гарантованих (без­ри­зикових) наслідків для прийнятого суб’єктом керування рішення. Але можна спробувати врахувати поводження середовища, що вважається для суб’єкта ке­ру­ва­­ння зваженою комбінацією найкращого та найгіршого.

Такий підхід до вибору критерію прийняття рішення, відомий як критерій по­каз­ника песимізму – оптимізму, був вперше запропонований Гурвіцем. Особливі­с­тю цього критерію є те, що він передбачає не повний антагонізм середовища, а ли­ше частковий.

Сутність критерію Гурвіца полягає в знаходженні оптимального рішення (або множини таких рішень ), для якого виконується умова

(5.19)

при фіксованому . Якщо позначити

, (5.20)

то для фіксованого з кожним рішенням можна поєднати показник , який будемо називати показником Гурвіца рішення .

Критерій Ходжеса-Лемана

Ходжес та Леман стверджують, що в практиці прийняття рішень за умов неви­зна­ченості інформації щодо стану середовища часто знаходиться між повним не­зна­нням та точним знанням апріорного розподілу.

Критерій Ходжеса-Лемана дозволяє використати можливу інформацію, яку має суб’єкт керування, але в той самий час забезпечує заданий рівень гарантії у випадку, коли ця інформація неточна. В деякому розумінні критерій Ходжеса-Лемана являє собою “суміш” критеріїв Байєса та Вальда.