Тема 4. Ризик та теорія корисності

1. Концепція корисності

2. Корисність за Нейманом. Сподівана корисність.

3. Різні схильності до ризику та корисність

4. Криві байдужості

1. Концепція корисності.

Для задач прийняття рішень за умов невизначеності та ризику принцип оптимальності нерідко будується у вигляді функції корисності. Оскільки при наявності ризику результати рішень залежать від випадкових величин, то для порівняння їх ефективності необхідно вміти порівнювати функції розподілу ефективності. У цьому випадку важливе значення для прийняття рішень мають результати про властивості функцій корисності.

Корисність визначає ступінь задоволення, яке одержує суб’єкт від споживання товару чи виконання будь – якої дії.

Найбільш загальний підхід щодо оцінки ступеня (міри) ризику полягає у введенні функції корисності. Концепція функції корисності є одним з важливих елементів будь – якої сучасної економічної теорії. Вона дозволяє здійснити співвимірність споживчих елементів різних товарів.

Корисність включає важливу психологічну компоненту, тому що люди досягають корисності, отримуючи речі, що приносять їм задоволення. В економічному аналізі корисність часто використовується для того, щоб описати пріоритети при ранжуванні наборів споживчих товарів та послуг.

Застосовуючи різні функції корисності, можна описати будь – які варіанти оцінки випадкової економічної ситуації у вигляді сподіваного значення такої функції.

Введемо таке поняття як пріоритет, яке досить часто використовується суб’єктами прийняття рішень.

Позначимо поняття “пріоритетніше ніж”, ”байдуже”, “не гірше ніж” відповідними символами >, ~, >~.

Нестроге співвідношення пріоритетності “ не гірше ніж” є одним із основних найпростіших понять; його записують так:

x >~ y, (4.1)

де x та y є набором товарів чи послуг (точками простору Х).

Цей запис означає, що певний суб’єкт (споживач) вважає для себе набір х або пріоритетнішим ніж набір у, або не робить між ними різниці, тобто х не гірший ніж у. Можна визначити поняття байдужості та строгої пріоритетності у термінах нестрогого співвідношення пріоритетності: набори товарів х та у байдужі (еквівалентні) для споживача (х ~ у) тоді і лише тоді, коли

x >~ y та y >~ х. (4.2)

А коли споживач бажає обрати х, а не у, тобто х пріоритетніше, ніж у (записують х > у), тоді і лише тоді, якщо х не гірше ніж у, а у не гірше ніж х. Значить х > у тоді і лише тоді, коли

x >~ y, а x >~ y – несправедливе. (4.3)

Надалі будемо вважати, що нестроге співвідношення пріоритетності задовольняє дві основні аксіоми.

Перша аксіома стверджує, що це співвідношення є досконалою напів­упо­ря­д­ко­ваністю у просторі товарів Х. Співвідношення називається досконалим, якщо для двох заданих наборів товарів х та у з Х справедливе одне з двох спів­від­но­шень:

x >~ y, або y >~ х, або одночасно. (4.4)

Це означає, що у просторі товарів немає таких “білих плям”, де пріоритет не існує. Співвідношення називають частковою впорядкованістю, якщо воно транзитивне, тобто для трьох заданих наборів х, у та z із Х виконується умова:

якщо x >~ y та y > z, то x > z, (4.5)

що виражає сумісність пріоритетів. І, якщо співвідношення рефлексивне, тобто для будь – якого х є Х:

x >~ x. (4.6)

Цей факт випливає з досконалості співвідношення.

Нестроге співвідношення пріоритетності є досконалою частковою впорядкованістю простору товарів і означає, що співвідношення байдужості є співвідношенням еквівалентності, яке транзитивне, оскільки при заданих х, у та z є Х, якщо

x ~ y та y ~ z, тоді x ~ z - рефлексивне, (4.7)

оскільки при заданому х є Х: x ~ x, (4.8)

та симетричне, оскільки при заданих х та у є Х:

x ~ y означає y ~ x. (4.9)

Для доведення, наприклад, транзитивності зазначимо, що x ~ y та y ~ x означає з визначення байдужості, що x >~ у та у >~ z і що z >~ у та у >~ х. Тоді з транзитивності нестрогого співвідношення пріоритетності x >~ z та z >~ х випливає, що х ~ z.

Співвідношення байдужості, як співвідношення еквівалентності, ділить простір товарів Х на класи еквівалентності – підмножини, що попарно не перетинаються, називаються множинами байдужості, кожна з яких складається з усіх наборів, байдужих заданому наборові

І_х = { у є Х| у ~ х} (4.10)

Друга основна аксіома стверджує, що нестроге співвідношення пріоритетності неперервне, тобто пріоритетні множини, кожна з яких складається з усіх наборів, що є пріоритетніші чи байдужі заданому набору Х:

Р_х = {у єХ| у >~ х}, (4.11)

і непріоритетні множини, кожна з яких складається з усіх таких наборів, для яких заданий набір Х пріоритетніший чи байдужий

NP_x = {y є X|x >~y}, (4.12)

є замкнутою множиною простору товарів для будь – якого х є Х.

За цією аксіомою обидві множини містять усі граничні точки, причому для обох множин ці точки утворюють множину байдужості І_х, рівну перетинові Р_хINP_x.

З цих основних аксіом досконалої нестрогої впорядкованості та неперервності випливає, що існує неперервна дійсна функція, визначена на елементах множини Х є U(o), котру називають функцією корисності і для якої

U(x) >~U(y), якщо х >~ у. (4.13)

Функція корисності зіставляє кожному наборові споживчих товарів певне число в такий спосіб, що, якщо набір А пріоритетніший, ніж набір В (А > В), то число, яке відповідає набору А, буде більшим, ніж те, що відповідає набору В.

Гранична корисність вимірює додаткове задоволення, яке отримує особа від споживання додаткової кількості товару.

Наприклад, гранична корисність, що пов’язана із зростанням споживання від 1 до 5 одиниць шоколаду, може дорівнювати 10, від 6 до 10 одиниць – 5, а від 11 до 15 одиниць – 3. Ці цифри узгоджуються з принципом зниження граничної корисності. У міру зростання споживання товару процес додаткового споживання дає усе менший приріст корисності.

 

2. Корисність за Нейманом. Сподівана корисність.

Для визначення корисності розглянемо вибір особи за умов ризику, який формалізується за допомогою поняття лотереї.

Для цього необхідно з множини пред’явлених експертам значень певного еко­номічного показника (об’єкта) виділити два х_* та х^* таких, що х_* ~< х для всіх х_* Х та х^* >~х для всіх х Х, тобто найменше пріоритетне, в певному сенсі, зна­че­ння економічного показника (це буде “нуль” даної шкали інтервалів) і найбільш пріоритетне у певному сенсі значення показника (разом з “нулем” воно визначить масштаб даної шкали). Власне так побудована функція корисності Дж.Неймана і О.Моргенштерна. Експерти пропонують порівнювати альтернативу: 1) значення показника х; 2) лотерею: одержати х^* з імовірністю (1-р) чи х_* з імовірністю (р). Величину ймовірності р змінюють доти, доки, на погляд експерта, значення показника х і лотерея L(x_*, p, х^*) не стануть еквівалентними. Максимальному та мінімальному значенням х^* та х_* приписують довільні числові значення U^*=U(x^*) та U_*=U(x_*), але так, щоб U^*>U_*.

Під лотереєю L(x_*,p(х),х^*) розуміють ситуацію, в якій особа може отримати х_* з імовірністю р(х) або х ^* з імовірністю 1-р(х).

Корисність варіанту х визначається ймовірністю р(х), при якій особі байдуже, що обирати х – гарантовано, чи лотерею L(x_*,p(х),х^*), де х^*,х_* вектори, більш та менш пріоритетні порівняно з х.

Нехай L – лотерея, що приводить до виграшів (подій) х₁,х₂,…,х_N з відпо­від­ни­ми ймо­вірностями р₁,р₂,…, р_N. Позначимо сподіваний виграш (математичне сподівання виграшу) через х:

. (4.14)

Справедлива головна формула теорії сподіваної корисності , (4.15)

тобто корисність ансамблю результатів збігається з математичним сподіванням корисності результатів.

Поняття детермінованого еквівалента лотереї L є одним з основних при розгляді різних характеристик ризику і їх взаємозв’язку з функціями корисності. Детермінований еквівалент лотереї L – це гарантована сума , отримання якої еквівалентне участі в лотереї, тобто ~ L. Отже визначається з рівняння

U( ) =M[U(X)], тобто = U^-1MU(x). (4.16)

Сподіваний виграш та детермінований еквівалент, визначені згідно з формулами (4.14) та (4.16), стосовно лотереї із скінченим числом можливих виграшів. Якщо можливі виграші описуються щільністю (х), то сподіваний виграш у цій лотереї дорівнює

, (4.17)

а детермінований еквівалент є розв’язанням рівняння

. (4.18)

Згідно з теорією сподіваної корисності, суб’єкт керування, що приймає рі­ше­н­ня за умов невизначеності та ризику, повинен максимізувати математичне сподівання корисності результатів. Отже, якщо f(x,w) – вектор результатів, що залежить від вектора плану х та елементарної події w, то ефективність плану для значень w, які містяться у множині Ω, w є Ωз імовірнісною мірою Р(dw), має вид

F(x) = . (4.19)

Величина Р(dw) визначається або за статистичними методами при наявності необхідної кількості спостережень, або за допомогою спеціальних експертних процедур.

3. Різні схильності до ризику та корисність

Особу, що приймає рішення, називають несхильною до ризику, якщо для неї більш пріоритетною є можливість отримати гарантовано сподіваний виграш у лотереї, ніж приймати в ній участь.

З попереднього відомо, що корисність лотереї збігається з математичним сподіванням корисності її випадкових результатів.

Отже, умова несхильності до ризику приймає вид

U(M[x(w)])>M[U(x(w))], (4.20)

де М() – символ (оператор) математичного сподівання,

х – випадкова величина, що залежить від елементарної події w.

Для зростаючих функцій корисності премією (х) за ризик в лотереї L є різ­ниця між сподіваним виграшем та детермінованим еквівалентом

(х) = М[x(w)]- . (4.21)

Страховою сумою (СС) називають величину детермінованого еквівалента з протилежним знаком, тобто

СС(х)= - = -U^-1(M[U(x(w))]), (4.22)

Умова схильності до ризику має вид

U(M[x(w)])<M[U(x(w))], (4.23)

Умова байдужості до ризику має вид

U(M[x(w)])=M[U(x(w))], (4.24)

За своєю суттю премія за ризик (надбавка за ризик) – це сума (в одиницях виміру критерію х), якою суб’єкт керування (особа, що приймає рішення) згоден знехтувати (поступитися нею) з середнього виграшу (тобто ця сума менша, ніж математичне сподівання виграшу), за те, щоб уникнути ризику, по­в’­язаного з лотереєю.

Якщо особа, що приймає рішення зіштовхується з несприятливою для неї ло­те­реєю (тобто лотереєю, що менш пріоритетна ніж стан, в якому вона у даний час знаходиться), то природно виникає питання, скільки вона заплатила б (в одиницях виміру критерію х) за те, щоб не брати участі у цій лотереї (уникнути її).

На рис. 4.1 показано, як графічно можна зобразити ставлення особи до ризи­ку. Крива, що задає рівень корисності (на осі ординат), котрий може бути досягнутий за відповідним рівнем доходу (відкладеного в графіку на осі абсцис). Ця крива ілюструє несхильність особи до ризику.

Рис. 4.1. Функція корисності особи, що несхильна до ризику

 

4. Криві байдужості.

На основі функції корисності в декартовій системі координат можна представити криву байдужості. Розглянемо її економічну сутність. Чим більше середньоквадратичне відхилення - тим гірше (за інших однакових умов). У свою чергу, чим більший сподіваний прибуток - тим краще. Припустимо, що середньоквадратичне відхилення доходу певного проекту збільшується. У цьому разі його корисність зменшується. Для того, щоб зберегти корисність на попередньому рівні, необхідно збільшити сподіваний прибуток. Таким чином, сподіваний прибуток може компенсувати величину ризику. Таким чином, криві байдужості - це комбінація сподіваних доходностей і відповідних їм ризиків, які мають однакову корисність для інвестора,це лінія, що об'єднує еквівалентні, з точки зору певної особи, комбінації: "сподіваний прибуток - ступінь ризику".

Характерний вигляд таких поверхонь байдужості зображений на Рис. 4.2 Будемо позначати сподіваний прибуток через ц, а середньоквадратичне відхилення доходу (ступінь ризику) через а.

Звернемо увагу на точку А. В області 1 містяться заздалегідь кращі комбінації "сподіваний прибуток - ступінь ризику", оскільки в цій області сподіваний прибуток більший, а ступінь ризику менший. Аналогічно область 3 містить заздалегідь гірші комбінації, оскільки сподіваний дохід тут менший, а ступінь ризику - більший. Отже, поверхня байдужості, яка містить еквівалентні сполуки, повинна проходити через області 2 та 4. Користуючись цими міркуваннями, можна з'ясувати, що поверхня байдужості U₃ містить сполуки з більшою корисністю, ніж U₂ та U₁, а U₂ - з більшою, ніж U₁.

Для сподіваного доходу та оцінки ризику (за допомогою середньоквадратичного відхилення) можна запровадити поняття граничної норми заміни.

Граничною нормою заміни ступеня ризику сподіваним доходом (MRSσμ) будемо називати величину сподіваного доходу, що еквівалентна одиниці зміни ступеня ризику.

Геометрично гранична норма заміни ступеня ризику сподіваним доходом є тангенсом кута нахилу до поверхні байдужості "сподіваний доход - ступінь ризику" (Рис. 4.2). На ньому тангенс кута а є граничною нормою заміни ступеня ризику сподіваним доходом.

З того, що ризик - антиблаго, випливає додатність граничної норми заміни ризику сподіваним доходом. Це означає, що кожна додаткова одиниця ступеня ризику повинна компенсуватись додатнім приростом сподіваного доходу.

На Рис. 4.2 також відображена важлива особливість поверхонь байдужості в просторі "сподіваний доход - ризик". Вона полягає в тому, що кожна додаткова одиниця ризику вимагає все більшої компенсації сподіваним доходом. Тобто, йдеться про зростаючу граничну норму заміни ризику сподіваним доходом.

Основні властивості кривих байдужості:

1. Вони опуклі донизу, не перетинаються, хоча не обов’язково паралельні (як доходність, так і ризик мають свою корисність для підприємця, тому пересуваючись вздовж кривої підприємець отримує більший дохід і відповідно більший ризик.

2. Мають від’ємний знак і чим більше схильний інвестор до ризику, тим менший кут нахилу кривої байдужості до осі ОХ.

3. Направлення зростання корисності проходить вгору і вліво.

4. Криві байдужості є спадаючими, оскільки для підприємця існує точка максимального ризику, вище якої він ризикувати не буде, тому подальше незначне збільшення ризику повинно приносити все більший дохід, щоб задоволення корисності від діяльності залишалось незмінним.

Кожен суб’єкт управління має свій графік кривих байдужості, які будуються на основі власної функції корисності. Для побудови функції корисності для будь-якого економічного показника може використовуватись наступна схема:

1. Визначається найкраще і найгірше з можливих допустимих значень показника, їм присвоюється значення корисності відповідно 100 і 0 (якщо корисність оцінюється за 100-бальною шкалою).

2. Розглядається декілька проміжних значень і визначаються для них значення корисності (експертним методом).

3. Після того, як кожен член експертної групи дав самостійну оцінку корисності проміжних значень, розраховуються середні значення цих оцінок.

4. Якщо спостерігається розсіювання значень для будь-якого із значень показника, то потрібно повернутись до попереднього кроку, тобто потрібне подальше узгодження думок експертів до досягнення прийнятого діапазону розсіювання оцінок.

5. Знаходиться функція корисності шляхом побудови функції регресії методом найменших квадратів.