Цель лабораторной работы № 4

Цель работы: изучение основных методов и приобретение навыков решения систем линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений средствами системы компьютерной математики MathCad.

Многие задачи математического моделирования сложных электротехнических систем сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с начальными условиями (задача Коши для ОДУ). В MathCad реализовано несколько классических алгоритмов численного решения ОДУ как записанных в виде одного дифференциального уравнения n-го порядка относительно неизвестной функции одной переменной, так и в виде системы линейных или нелинейных уравнений первого порядка. Кроме того, в MathCad имеются функции решения краевых задач ОДУ, например, функция sbval, реализующая решение краевой задачи «методом прогонки».

1. Решение ОДУ с помощью решающего блока Given …Odesolve

Одним из основных блоков решения обыкновенных дифференциальных уравнений в Mathcad является блок Given…Odesolve. Этот решающий блок используется для решения обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями, и применим как для решения линейных и нелинейных уравнений n –го порядка с одной неизвестной функцией, так и для решения систем линейных уравнений первого порядка с n неизвестными.

 

Решение ОДУ первого порядка

В случае уравнения первого порядка задаётся одно начальное условие на левом конце интервала интегрирования, т.е. в виде y(t₀)=y₀. Решение уравнения разыскивается на отрезке времени [ t₀,t₁ ]. На рабочем листе алгоритм решения уравнения записывается следующим образом (рис. 1):

· задаётся имя правой части уравнения, например f(t,y), которому присваивается её выражение;

· печатается оператор Given;

· печатается дифференциальное уравнение в классической форме;

· записывается начальное условие;

· решение записывается в виде: y:=Odesolve(t, t1).

 

Рис. 1. Пример решения дифференциального уравнения 1-го порядка блоком Given…Odesolve

Примечание. Для ввода главного символа производной «'» необходимо после имени функции напечатать[Ctrl ] + F7. Внутри блока Given…Odesolve левая и правая части в записи уравнения и начального условия отделяются только символом эквивалентности(выделенный знак равенства), который вводится комбинацией клавиш [Ctrl ] + =(равно) или щелчком мыши на панели Boolean.

2.3. Решение ОДУ n -го порядка с одной неизвестной функцией

Решение ОДУ n -го порядка с одной неизвестной функцией блоком Given…Odesolve формально не отличается от решения уравнения первого порядка: сначала на рабочем листе записывается ключевое слово Given, далее дифференциальное уравнение с начальными условиями и, наконец, функция Odesolve(t, tend,k) с параметрами. В список параметров входят: t – аргумент искомой функции, tend – правый конец интервала интегрирования уравнения, k – число шагов, за которые происходит вычисление решения уравнения (рис.2) (необязательный параметр, который может в записи функции не указываться).

На рис. 2 приведен пример решения ОДУ 3-го порядка с одной неизвестной функцией x(t).

 

Рис. 2. Пример решения ОДУ 3-го порядка блоком Given …Odesolve