Цифрова модель місцевості (ЦММ) – це цифрова картографічна модель, яка містить в собі дані про об’єкти місцевості та їхні характеристики.

Цифрова модель рельєфу (ЦМР) – це цифрова модель місцевості, яка містить в собі інформацію про її рельєф. Для створення цифрових моделей рельєфу використовують стереопари топографічних фотознімків, які обробляються на аналітичних стереофотограмметричних приладах.

Цифрова модель рельєфу є моделлю зображення, а зображення існують двох типів: зображення основані на точках; зображення основані на лініях.

Метод зображення рельєфу на основі ліній – передбачає сканування або цифрування існуючих ізоліній. Після вводу даних вони являють собою як лінійні об’єкти, або полігони з визначеною висотою в якості атрибуту. Оскільки за такою моделлю даних складно визначити нахил місцевості, або побудувати профілі місцевості, то звичайно її перетворюють в точкову модель. В результаті отримують дискретну матрицю висот. Ця матриця відповідає методу точкового зображення поверхні, де кожна точка має одне значення висоти. Для цифрування використовують регулярну або нерегулярну сітку. Оскільки регулярна сітка призводить до надлишковості даних на ділянках з мінімумом топографічної інформації і в той же час до недостатності даних на ділянках з великим обсягом топографічної інформації, то нерегулярна сітка більш приваблива.

Нерегулярна сітка значень висот може бути перетворена в модель TIN двома способами. Перший спосіб перетворення полягає у використанні самих точок сітки в якості вершин трикутників граней TIN. Його перевага – у відсутності вимоги вводу додаткових даних. У другому підході передбачено, що відстань між точками і їх значення висот використовуються при інтерполяції значень вершин регулярної матриці трикутників граней TIN. Але значення точок, отримані шляхом інтерполяції не такі точні, як значення висот точок, що отримані під час вимірювання стереопари фотознімків на приладі. Таким чином, будь-яка модель висот, яка створена на основі цієї технології має додатковий обсяг помилок по висоті.

Серед переваг цифрової моделі рельєфу, яка отримана на основі регулярної матриці, є легкість вводу таких даних в растрові ГІС. Цифрові матриці рельєфу, що отримані на основі нерегулярної матриці, при вводі таких даних в растрові геоінформаційні системи потребують растрової інтерполяції. Тому далі необхідно розглянути подання безперервних поверхонь у растрових ГІС і процеси інтерполяції.

Растрові поверхні. Як нам відомо в растровій моделі даних кожна чарунка може мати тільки одне значення висоти. Це призводить до того, що безперервна просторова величина отримає дискретне подання. Крім того так, як кожна чарунка растру має тільки одне значення висоти, то вона ще займає деяку площу, із збільшенням якої зменшується точність подання поверхні в растровій моделі даних. Таким же важливим, як і розмір чарунки є питання про те, де в її межах знаходиться дійсна точка, висота якої присвоєна даній чарунці растру. На практиці це може бути центр чарунки або один з її чотирьох кутів.

Необхідно відмітити і ще один момент. Висотні дані, як матрицю висот можливо подати в одній з двох форм – регулярна чи нерегулярна сітка. Коли регулярна сітка досить мілка, щоб відповідати розміру чарунок растру, що прийнятий, то можна легко перетворити значення висоти вкожній вершині сітки безпосередньо у значення висот чарунок растру.

Коли ж дані про висоти місцевості подані у формі нерегулярної сітки, перед користувачем постає завдання оцінити або передбачити всі відсутні значення висот точок місцевості. Цей процес, який називається інтерполяцією. Він необхідний тому, що всі чарунки растру повинні мати конкретні значення висоти. Виходячи з цього, інтерполяція – корисний аналітичний інструмент для моделювання, як окремо, так і у поєднанні з іншими методами аналізу для побудови більш складних моделей.

Таким чином, користувач при вирішенні завдань просторового аналізу має справу з поверхнями. В свою чергу поверхні можуть бути подані як в растровому так і у векторному форматі у вигляді цифрової моделі рельєфу. Розглянуті основні підходи до створення цифрової моделі рельєфу: регулярна та нерегулярна сітка.

 

Види аналізу поверхні.

 

Так як для безперервних поверхней ми використовуємо вибірку, то нам необхідна можливість відображати з потрібною точністю об’єкти, які ми спостерігаємо. В традиційній картографії, точкові значення висот або значення для інших статистичних поверхней перетворюються у візуальну форму, яка використовує ізолінії. Крім того нам важливо мати можливості створення інших форм візуального подання (діаграми, графіки), визначення нахилу, перерізу, передбачення невідомих значень висот об’єктів для яких ми не маємо відповідних даних. Для вирішення цих завдань і застосовується інтерполяція, яка забезпечує більшість з того, що потрібно для виконання вище перелічених операцій. Тому розглянемо сутність основних видів інтерполяції.

Лінійна інтерполяція. Процес інтерполяції теоретично може бути простим, але він потребує одного апріорного твердження, на основі якого буде описуватися процес функціонування величини, яка досліджується.

Найбільш простим видом інтерполяції є лінійна. Її сутність полягає в тому, що в середині простих послідовностей ми можемо легко ідентифікувати відповідне апріорне твердження, що кожне послідуюче число визначається простою математичною дією. Як що ми можемо розпізнати цю дію, то маємо можливість відновити пропущені значення. Розглянемо простий приклад (рис.4.16).

 

 

 

В нас є дві точки із значеннями висот 100 і 150 м. Якщо встановити, що висота поверхні змінюється лінійним образом, то чотири числа, що розміщені на рівних проміжках один від одного будуть проінтерпольовані як 110, 120, 130, 140 м. У випадку, якщо ми зробимоце для всієї поверхні, а не для одного перерізу то зможемо отримати значення для всіх точок з інтервалом по 10 метрів. З’єднав лініями ці точки, ми зможемо створити карту ізоліній, яка дозволить отримати інформацію про висоти місцевості.

Але на практиці зміна відліків висот точок місцевості не завжди наслідує лінійному закону. В деяких випадках це може бути логарифмічний закон, а в деяких випадках і більш складна математична залежність. Тому потрібно розглянути інші основні методи інтерполяції.

Існує на практиці три найбільш відомі методи інтерполяції: метод обернених вагових відстаней; метод поверхні тренда; кригінг.

Метод обернених вагових відстаней, базується на положенні, що чим ближче один від одного знаходяться точки даних, то тим ближче їх значення. Сутність методу розглянемо на прикладі (рис. 4.17).

200 м. 1 . 250 м 100 м 2 А 150 м .   50 м 70 м 3.. 300 м 350 м 4

 

Нам потрібно визначити висоту точки А, а ми маємо висоти (Н) кількох точок (1, 2, 3, 4), що знаходяться на різних відстанях від точки А. Спочатку нам потрібно виміряти відстань між точками А і всіма прилеглими точками (1, 2, 3, 4). Далі встановлюємо значення вагового коефіцієнту (Р) для кожної точки за формулою:

P = , (4.6)

де d – відстань від точки А.

Точки, що знаходяться ближче до точки А, відповідно будуть мати більший ваговий коефіцієнт. Далі обчислюється значення висоти точки А за формулою:

. (4.7)

В деяких випадках, нас більше всього цікавить загальна тенденція поверхні, ніж точне моделювання нерівностей місцевості. Найбільш поширений підхід до визначення такої характеристики поверхні називається поверхнею тренда.

Як і в методі обернених вагових відстаней, для поверхні тренда ми використовуємо набори точок в межах встановленої місцевості (зони). В межах цієї місцевості (зони) будується поверхня найкращого наближення на основі математичних рівнянь (поліномів). Ці рівняння є нелінійними залежностями, які апроксимують криві або інші форми числових послідовностей. Для побудови поверхні тренда, кожне із значень на місцевості підставляється у відповідне рівняння. З рівняння, що використовується для побудови поверхні найкращого наближення, отримується одне значення і присвоюється точці, для якої інтерполюється значення висоти. Далі процес продовжується для всіх точок, що визначаються. За необхідності, поверхня тренда може бути розширена на все покриття.

Потрібно пам’ятати, що тип рівняння, яке використовується, (ступінь поліному) визначає величину хвилястості поверхні. Чим простіше поверхня місцевості (тренда), тим менший порядок буде мати поліном, що її описує. Так, поверхня тренду першого порядку є площиною, що має нахил в одному напрямку. Якщо поверхня має один вигин, то таку поверхню називають поверхнею тренда другого порядку. Приклади порядку поверхнею тренда показані на рис.4.18.

	Рис.4.18. Порядки поверхней тренда. Поверхні першого, другого і третього порядку в залежності від складності поліному, який застосовується для подання поверхні.

 

 

Третій метод, кригінг, оптимізує процедуру інтерполяції на основі статистичної природи поверхні. Кригинг використовує ідею регіоналізованої змінної, яка змінюється від одного місця до іншого з деякою безперервністю, але не може моделюватися тільки одним математичним рівнянням.

Кригинг обробляє поверхні так, що вважає їх створеними з трьох незалежних величин. Перша складова, яка називається дрейфом або структурою поверхні, являє собою як би загальний тренд у визначеному напрямку. Далі, вважається, що є друга складова – випадковий шум. Третя складова – це наявність відхилень від загальної тенденції (маленькі пагорби або впадини, які є випадковими, але пов’язані одне з другим просторово (просторово корельовано)) (рис. 4.19).

Кригінг існує у двох основних формах. Загальний кригінг застосовується коли поверхня оцінюється за нерегулярно розподіленими відліками при наявності тренда.

Ординарний кригінг передбачає, що дані зібрані через рівні інтервали. Найбільш часто він використовується для пошуку точкових оцінок на основі інших точкових даних, а не для визначення рівнянь, що характеризують поверхні.

Кригінг часто дає достатньо точні оцінки значень, що пропущені, але для забезпечення такої умови потрібні значні витрати часу на обчислення та відповідна обчислювальна техніка. Але в той же час він дозволяє отримати не тільки інтерпольовані значення, а і оцінку можливої помилки визначення цих значень. В той же час, користувачі повинні пам’ятати, що у випадку, коли є великий рівень шуму із-за помилок вимірів або великі варіації висоти між відліками, то в такому випадку буде дуже складно побудувати поверхню за допомогою кригінгу. А кінцевий результат може бути не кращім ніж результати, що отримані за допомогою інших методів.

В векторних моделях даних (частіше всього у TIN моделях), процес інтерполяції виконується вибіркою точок з їх значеннями висот і перетворенням їх у матрицю висот точок. А далі, до цієї матриці застосовують один з трьох розглянутих методів.

В растрових моделях даних, значення висоти звичайно відносять до точок, що розміщені в середині кожної чарунки. Кожній інтерполіруємій чарунці растру присвоюється значення висоти, отримане для точок, що їх подають. Далі, також використовують для оцінки розглянуті три методи.

Потрібно пам’ятати, що на практиці, інтерполяція поверхні має широке застосування. Це і створення ізоліній для опису поверхні, відображення поверхні за допомогою блок-діаграм, вирішення прикладних задач (встановлення зон затоплення; проектування шляхів; оцінкародовищ корисних копалин, тощо).

Розглянувши основні методи інтерполяції поверхні, необхідно і розглянути проблемні питання, які можуть виникнути під час її здійснення.

При виконанні інтерполяції будь-яким з розглянутих методів, потрібно враховувати наступні чотири фактори:

1. Кількість вихідних точок.

2. Положення (розміщення) вихідних точок.

3. Проблема виникнення точок перегину (сідловинних точок).

4. Розмір області, що містить точки даних.

Тепер більш докладно зупинимось на сутності кожного з наведених факторів.

1. Кількість вихідних точок. В загальному випадку можливо сказати, що чим більше вихідних точок ми будемо мати, тим більш точною буде інтерполяція і тим з більшою імовірністю інтерпольована поверхня буде доброю моделлю. Однак існують межі кількості відліків, які можуть бути зроблені для будь-якої поверхні. Поступово досягається момент зниження покращення результату: із збільшенням кількості точок точність опису місцевості не покращується якість результату, але в той же час збільшується час обчислення і обсяг даних (рис. 4.20.). Проте звичайно, кількість вихідних точок, часто є функцією від форми рельєфу (поверхні). Чим складніше поверхня, тим більш потрібно точок даних. А для важливих об’єктів (долини річок) потрібні ще і додаткові дані.

 

 

2. Положення (розміщення) вихідних точок. Крім того, потрібнопам’ятати, хоча положення точок вимірів відносно один одного має вплив на точність інтерполяції, сама ця залежність є нелінійною.

3. Проблема виникнення точок перегину. Дуже часто під час інтерполяції даних виникає проблема точки перетину, яку ще іноді називають проблемою альтернативного вибору. Ця проблема виникає, коли дві точки однієї пари діагонально розміщених значень висоти (Н), утворюючих прямокутник, розміщені нижче, а дві точки другої діагональної пари знаходяться вище того значення, яке потрібно знайти за допомогою алгоритму інтерполяції (рис. 4.21.). Ця проблема, як правило, виникає тільки при лінійній інтерполяції. Простим способом рішення цієї проблеми є поміщення середнього з двох значень, що отримані по діагоналях, у точку перетину діагоналей.

 

 

 

4. Розмір області, що містить точки даних. Остання проблема, яка повинна враховуватися під час інтерполяції, є загальною для геоінформаційних систем, що мають справу з областю, в межах якої збираються точки даних. Іншими словами для того, щоб інтерполяція працювала відповідним чином, інтерполюємі точки повинні бути оточені точками з відомими значеннями висот з усіх сторін. Але коли ми вибираємо для аналізу всю область дослідження і використовуємо ту ж область для виконання інтерполяції, то нам необхідно інтерполювати точки поблизу границі. З наближенням до границі області алгоритм інтерполяції змушений використовувати вихідні точки з трьох або з двох сторін від точки, для якої виконується інтерполяція. Як нам відомо, найкращий результат можливо отримати, коли ми можемо розширити місцевість (зону) по всіх напрямках для вибору вихідних точок і визначення ваг. У відсутності таких точок, алгоритм буде використовувати тільки всі наявні точки і допускати систематичні помилки повздовж границь області.

Для вирішення цієї проблеми потрібно розширити границю покриття висот за межі області дослідження, потім провести інтерполяцію, а після чого знов повернутися до вихідних границь “відрізав” краї (моделі висот тощо) (рис.4.22).

 

 

 

Визначення розміру додаткової площі покриття, яка потрібна для отримання задовільних результатів інтерполяції – складне питання. Теоретично, було б корисно провести аналіз для встановлення, як далеко повинні розміщуватися точки даних, щоб гарантувати те, що вони не здійснюють вплив на сусідні з ними значення висот, але для цього потрібні значні витрати часу.

З практики встановлено, що достатньо збільшення на 10 % в кожну сторону для забезпечення добрих результатів, але при цьому потрібно враховувати і складність рельєфу поверхні.

Нарізання статистичних поверхонь. Нами булорозглянуто, що основним методом відображення інформації про поверхню є використання ізоліній (горизонталей), які приводяться через встановлені інтервали. Значення інтервалу між горизонталями встановлюється таким чином, щоб найкраще відображати форму земної поверхні.

Сьогодні більшість растрових і векторних геоінформаційних систем дозволяє змінювати цей інтервал і перетворювати область кожного інтервалу в плоску поверхню. Такий процес називається нарізанням (рис.4.23).

Зміна значення інтервалу дозволяє розглянути особливості рельєфу поверхні. Так, збільшення значення інтервалу між ізолініями дозволяє виявити загальну форму об’єктів без надлишкових подробиць. І навпаки, щоб побачити більше подробиць, потрібно зменшити вертикальний інтервал між ізолініями. При цьому, вихідні дані про рельєф місцевості повинні бути достатньо повні та докладні.

 

Рис.4.23. Приклад нарізання поверхні.

Визначення обсягів, які обмежені поверхнями. Інтерполяція може застосовуватися і до множини інших задач, що пов’язані з обчисленням об’ємів під об’єктами на поверхні, або об’ємів матеріалів, які потрібно вилучити або навпаки – заповнити ними. В таких випадках потрібне знання двох граничних поверхней: верхньої та нижньої. Застосував нарізання або методи інтегрального обчислення, ми можемо визначити об’єм. Розглянемо, як це робиться. На практиці, найчастіше використовують метод ординат. Розглянемо його сутність на основі прикладу визначення об’єму опадів на місцевості.

 

	Рис.4.24. Сутність методу ординат.

Спочатку визначають координати кожного вимірювача опадів і створюють матрицю висот місцевості. Потім, використовуємо відповідний метод інтерполяції для створення поверхні. Далі виконуємо нарізання (розрізання) поверхні на частини рівної товщини (на основі ізоліній). Якщо прийняти, що стінки отриманих шарів вертикальні, то ми зможемо виконати підрахунок об’єму для кожного з них. Склавши всі отримані значення, ми підраховуємо точне значення об’єму опадів.

Розглянутий процес обчислення об’єму опадів можливий як з використанням растрової так і на основі векторної моделі даних. Для кожного шару нарізання ми просто перемножуємо значення площі і висоти опадів (глибини). Для підвищення точності визначення обсягу потрібно збільшити кількість шарів нарізання. А на практиці для цього використовують формули інтегрального обчислення.

Потрібно пам’ятати, що розрахунки об’єму озера та пагорбу за своєю суттю однакові так, як одна з обмежуючих поверхней є площиною. Для обчислення обсягу корисних копалин обчислюють обсяг двох нерівних поверхонь. А потім від більшого значення віднімають об’єм меншої поверхні. Різниця дає нам шукану величину.

Хоча ідея обчислення об’єму проста, але вона реалізується не у всіх геоінформаційних системах. В такому випадку нам потрібно підготувати потрібні вихідні дані та скористуватися можливостями експорту або імпорту даних в інші програмні продукти.

Завершуючи розгляд питання потрібно відмітити, що аналіз поверхні є дуже важливою функцією географічної інформаційної системи. Ми розглянули сутність та можливі методи інтерполяції поверхні, а також нарізання статистичних поверхонь і визначення обсягів, які обмежені поверхнями.