Первичная обработка результатов измерений

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

 

Предметом математической статистики является изучение методов сбора, систематизации и обработки экспериментальных данных, получаемых в результате наблюдения массовых случайных явлений. К основным задачам математической статистики относятся следующие:

1) задача нахождения неизвестного закона распределения СВ по статистическим данным;

2) задача нахождения неизвестных параметров распределения или числовых характеристик СВ;

3) задача проверки правдоподобия гипотез о законах или параметрах распределения СВ.

 

ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Выборка и её вариационный ряд.

Гистограмма и полигон частот

 

Пусть Х – непрерывная СВ, результаты измерений которой представлены в виде статистического ряда, т.е. построены интервалы , и найдены частоты , . Гистограммой частот называется кусочно-постоянная функция , которая на каждом из интервалов принимает значение , где есть длина соответствующего интервала. При и полагается . Площадь ступенчатой фигуры под графиком равна сумме частот всех интервалов, т.е. единице.

Полигоном частот называется функция , графиком которой является ломаная, последовательно соединяющая точки

, ,..., .

Таким образом, график полигона – это ломаная, вершины которой расположены на серединах ступеней графика гистограммы . При и полагается . При большом объёме выборки гистограмма и полигон частот используются в качестве оценки плотности распределения СВ Х.

 

 

Пусть теперь Х – дискретная СВ, результаты измерений которой представлены в виде статистического ряда, т.е. определены различные элементы выборки , расположенные в порядке возрастания, и соответствующие им частоты . Тогда полигоном частот называется функция , графиком которой является ломаная, последовательно соединяющая точки . При большом объёме выборки полигон частот служит статистическим аналогом многоугольника распределения.

 

ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ

Точечные оценки математического ожидания, дисперсии

Получение точечных оценок методом максимального

Правдоподобия. Оценки параметров распределения Пуассона

И нормального распределения

 

Пусть – случайная выборка объёма n из генеральной совокупности Х, закон распределения которой зависит от некоторых параметров . Если Х – дискретная СВ, то функцией правдоподобия случайной выборки называется

,

где есть вероятность события , зависящая от значения аргумента и от значений параметров (для значений аргумента х, не являющихся возможными значениями СВ Х, соответствующая вероятность равна нулю при любых возможных значениях параметров). Функция L при любом фиксированном наборе значений аргументов равна вероятности того, что при указанных значениях параметров в результате n независимых измерений СВ Х будет получена данная выборка . Если Х – непрерывная СВ, то

,

где есть плотность распределения СВ Х, зависящая от значений параметров .

Построив функцию правдоподобия L, нужно найти такие функции , , в результате подстановки которых вместо соответствующих аргументов функция L при любых значениях аргументов принимает максимальное значение. Пользуясь необходимым условием экстремума, для этого следует решить систему уравнений , относительно . Полученные выражения , принимаются в качестве формул для нахождения реализаций оценок соответствующих параметров по данным выборки. Заменив на и на , получим искомые оценки.

Поскольку максимумы функций L и достигаются при одних и тех же значениях аргументов, то для удобства вместо функции правдоподобия L обычно используется логарифмическая функция правдоподобия и решается система , . Метод максимального правдоподобия позволяет получать состоятельные оценки параметров, которые являются асимптотически несмещёнными, а для некоторых законов распределения – несмещёнными и эффективными.

Пусть генеральная совокупность Х имеет распределение Пуассона. Тогда функция правдоподобия имеет вид

.

Для нахождения функции , при которой L обращается в максимум, перейдём к логарифмической функции правдоподобия Решив уравнение относительно l, найдём , т.е. искомая оценка параметра l имеет вид

Пусть, далее, генеральная совокупность Х имеет нормальное распределение. Тогда функция правдоподобия имеет вид

.

Переходя к логарифмической функции правдоподобия

и решая систему уравнений

,

относительно m и s, находим , , т.е. оценки параметров имеют вид

 

Критерий согласия Пирсона

 

Критерий Пирсона используется для проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения генеральной совокупности Х по данным выборки . Этот закон может быть задан с помощью функции, плотности или ряда распределения. Параметры соответствующего закона задаются заранее или определяются по данным выборки.

Множество возможных значений СВ Х разбивается на l непересекающихся интервалов (в случае непрерывной СВ) или l групп различных значений (в случае дискретной СВ). Далее по данным сформированной выборки определяются значения , где – количество элементов выборки, попавших в i -й интервал (i -ю группу значений), – вероятность попадания СВ Х в i -й интервал (i -ю группу значений), вычисленная для предполагаемого закона распределения. После этого вычисляется значение статистики

,

где l – число интервалов (групп значений), n – объём выборки, – СВ, реализацией которых являются соответствующие значения .

Если гипотеза является истинной, то статистика К при бесконечно большом n независимо от закона распределения СВ Х имеет распределение “хи-квадрат” с степенями свободы, где r – количество параметров закона распределения, значения которых определяются по данным выборки. Если, например, выдвинута гипотеза о согласии статистических данных с нормальным распределением (или с распределением Пуассона), но соответствующие параметры m и s (или параметр l) не заданы и в качестве их значений используются реализации точечных оценок, то следует положить (или ). Если выдвинута гипотеза о согласии с заданным законом распределения с заданными значениями параметров, то .

При использовании критерия предполагается, что и разбиение на интервалы или группы значений проведено так, что , . Рекомендуется брать .

Для принятия или отклонения гипотезы задаётся уровень значимости a и с помощью таблицы определяется значение , удовлетворяющее условию . Если вычисленное по данным выборки значение статистики К не превосходит , то выдвинутая гипотеза принимается, иначе – отклоняется.

Основное достоинство критерия Пирсона состоит в возможности определять значения параметров предполагаемого закона распределения по данным выборки. Основной недостаток критерия состоит в том, что при его использовании происходит потеря информации из-за группировки элементов выборки по интервалам или группам значений.

 

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

 

Предметом математической статистики является изучение методов сбора, систематизации и обработки экспериментальных данных, получаемых в результате наблюдения массовых случайных явлений. К основным задачам математической статистики относятся следующие:

1) задача нахождения неизвестного закона распределения СВ по статистическим данным;

2) задача нахождения неизвестных параметров распределения или числовых характеристик СВ;

3) задача проверки правдоподобия гипотез о законах или параметрах распределения СВ.

 

ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ