Точечные оценки математического ожидания, дисперсии

И среднего квадратического отклонения

 

Пусть – случайная выборка из генеральной совокупности Х, математическое ожидание m и дисперсия D которой неизвестны. В качестве точечной оценки математического ожидания на практике обычно используется среднее арифметическое случайных результатов измерений, т.е. СВ . В силу теоремы Чебышёва данная оценка является состоятельной. Она является несмещённой, т.к.

.

При некоторых законах распределения СВ Х эта оценка является эффективной. Величина называется выборочным математическим ожиданием (выборочным средним).

В качестве точечной оценки дисперсии может использоваться выборочная дисперсия , т.е. среднее арифметическое квадратов отклонений случайных результатов измерений от выборочного среднего. Доказывается, что , т.е. СВ является асимптотически несмещённой оценкой дисперсии. В качестве несмещённой оценки используется исправленная дисперсия . Оценки и являются состоятельными. При большом объёме выборки их реализации почти не различаются.

В качестве точечных оценок среднего квадратического отклонения обычно используются величины

и ,

называемые, соответственно, выборочным и исправленным средними квадратическими отклонениями. Оценки S и являются состоятельными и асимптотически несмещёнными.

Реализации оценок и , вычисленные по данным выборки , обозначаются, соответственно, и .

 

Получение точечных оценок методом максимального

Правдоподобия. Оценки параметров распределения Пуассона

И нормального распределения

 

Пусть – случайная выборка объёма n из генеральной совокупности Х, закон распределения которой зависит от некоторых параметров . Если Х – дискретная СВ, то функцией правдоподобия случайной выборки называется

,

где есть вероятность события , зависящая от значения аргумента и от значений параметров (для значений аргумента х, не являющихся возможными значениями СВ Х, соответствующая вероятность равна нулю при любых возможных значениях параметров). Функция L при любом фиксированном наборе значений аргументов равна вероятности того, что при указанных значениях параметров в результате n независимых измерений СВ Х будет получена данная выборка . Если Х – непрерывная СВ, то

,

где есть плотность распределения СВ Х, зависящая от значений параметров .

Построив функцию правдоподобия L, нужно найти такие функции , , в результате подстановки которых вместо соответствующих аргументов функция L при любых значениях аргументов принимает максимальное значение. Пользуясь необходимым условием экстремума, для этого следует решить систему уравнений , относительно . Полученные выражения , принимаются в качестве формул для нахождения реализаций оценок соответствующих параметров по данным выборки. Заменив на и на , получим искомые оценки.

Поскольку максимумы функций L и достигаются при одних и тех же значениях аргументов, то для удобства вместо функции правдоподобия L обычно используется логарифмическая функция правдоподобия и решается система , . Метод максимального правдоподобия позволяет получать состоятельные оценки параметров, которые являются асимптотически несмещёнными, а для некоторых законов распределения – несмещёнными и эффективными.

Пусть генеральная совокупность Х имеет распределение Пуассона. Тогда функция правдоподобия имеет вид

.

Для нахождения функции , при которой L обращается в максимум, перейдём к логарифмической функции правдоподобия Решив уравнение относительно l, найдём , т.е. искомая оценка параметра l имеет вид

Пусть, далее, генеральная совокупность Х имеет нормальное распределение. Тогда функция правдоподобия имеет вид

.

Переходя к логарифмической функции правдоподобия

и решая систему уравнений

,

относительно m и s, находим , , т.е. оценки параметров имеют вид