Количество элементов в множестве. Формула включений и исключений.

Пусть существует два конечных множества А и В, количество элементов которых N(A) и N(В). Тогда

N(АÈВ)= N(A)+N(В) –N(АÇВ).

Эта формула называется формулой включений и исключений и позволяет решать многие задачи теории множеств.

Действительно, количество элементов, составляющих общую для множеств А и В часть - АÇВ, входит в сумму N(A)+N(В) дважды и его необходимо вычесть для получения числа элементов обоих множеств N(АÈВ).

Из этой формулы следует, что если множества А и В не пересекаются, то

N(АÈВ)= N(A)+N(В).

Пример 9. Из 15 спортсменов, занимающихся боксом или борьбой, 10 – боксеры. Сколько спортсменов занимается обоими видами спорта, если борьбой занимается 8 из них?

Решение: множество спортсменов, занимающихся боксом обозначим A, тогда N(A)=10. Множество спортсменов, занимающихся борьбой обозначим В и N(В)=8. Тогда множество спортсменов, занимающихся боксом или борьбой AÈВ и N(AÈВ)=15. Количество спортсменов, занимающихся и боксом и борьбой: АÇВ. Тогда N(AÈВ)=N(A)+N(B)-N(АÇВ).

N(АÇВ)=N(A)+N(B)-N(AÈВ)=10+8-15=3.

Пример 10. В двух группах учатся 50 курсантов. Для прибытия в институт 12 из них пользуются автобусом, 18 добираются пешком, 7 и идут, и едут в автобусе. Используя теорию множеств, найдите:

Сколько человек или добираются пешком или пользуются автобусом?

Сколько человек пользуются только автобусом?

Сколько человек пользуются другим транспортом?

Решение: множество курсантов, пользующихся автобусом обозначим A, тогда N(A)=12. Множество курсантов, добирающихся пешком обозначим В, тогда N(В)=18.

1. Множество курсантов, которые или добираются пешком или пользуются автобусом AÈВ. Множество курсантов, которые и идут, и едут в автобусе будет AÇB и N(AÇB)=7.

Тогда N(AÈВ)=N(A)+N(B)-N(АÇВ).

N(AÈВ)=12+18-7=23 человека или добираются пешком или пользуются автобусом.

2. Множество курсантов, которые пользуются только автобусом будет А\В и N(A\B)=N(A)-N(AÇB)=12-7=5.

3. Обозначим за I множество рассматриваемых курсантов. Тогда, по условию задачи, N(I)=50. Обозначим за С множество курсантов, которые пользуются другим транспортом. Поскольку 23 человека или добираются пешком или пользуются автобусом, то N(C)=50-23=27 человек пользуются другим транспортом.

Пример 11. В группе 30 курсантов. 20 из них сдали зачет по стрельбе из пистолета, еще 20 сдали зачет по физподготовке, причем 15 сдали оба зачета. Сколько человек не сдали ни одного зачета?

Решение: Обозначим за I множество рассматриваемых курсантов. Тогда, по условию задачи, N(I)=30. Обозначим за А множество курсантов, которые сдали зачет по стрельбе из пистолета, тогда N(A)=20. Обозначим за В множество курсантов, которые сдали зачет по физподготовке, тогда N(В)=20. Количество курсантов, которые сдали хотя бы один зачет: N(AÈB)=N(A)+N(B)-N(AÇB) = 20+20-15 = 25. Тогда количество курсантов, которые не сдали оба зачета будет равно N(I)\N(AÈB) =30-25=5.

Контрольные вопросы:

1. Понятие множества и подмножества.

2. Операции с множествами: объединение, пересечение, разность, симметрическая разность.

3. Количество элементов в множестве. Формула включений и исключений.

4. Найти объединение, пересечение, разность и симметрическую разность множеств А и В, если

а) А={1, 2, 3, 4, 5}, В={2, 4, 6, 8, 10};

б) А={а, б, в, г, д, е}, В={а, в, д, к, и};

в) А={а, в, д, ж, и, м, н, о}, В={в, к, и, о, м, п, с, ф};

г) А={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, В={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

5. Даны следующие числовые множества: А={1,3,5,7,9,11}, B={2,5,6,11,12}, C={1,2,3,5,9,12}. Найти множества, которые будут получены в результате выполнения следующих операций:

а) (АÇС)D В; б) (АÈС)\В; в) С\BDА;

г) АÇBÇC; д) В\(АÈС); е) (BDC)\A.

 

Основная литература

1. Информационные технологии в юридической деятельности: учебник для бакалавров / под общ. ред. П.У. Кузнецова. – М: Издательство Юрайт, 2012. – 422с. – Серия: Бакалавр. ISBN 978-5-9916-1509-9.

2. Давыдов, А.С. Математика и информатика. Раздел «Математика»: учебное пособие / А.С. Давыдов, А.П. Соколов. – Челябинский юридический институт МВД РФ (ЧелЮИ МВД России), 2010. – 76 с.

3. Гресс, П.В. Математика для гуманитариев: учебное пособие / П.В. Гресс. – М.: Университетская книга, Логос, 2010. – 160 с. ISBN 978-5-98704-094-9.

4. Арбузов, П.В. Высшая математика для юристов: учебное пособие / П.В. Арбузов, В.Н. Герасименко, С.В. Гуде, Д.В. Медянцев. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2009. – 448 с. – ISBN: 978-5-222-12688-2.

5. Виленкин, Н. Я. Рассказы о множествах / Н. Я. Виленкин. – М.: МЦНМО, 2005. – 150 с. ISBN 5-94057-036-4.

Дополнительная литература

6. Информатика. Базовый курс: учебное пособие: рекомендовано Министерством образования и науки РФ / под ред. С. В. Симонович. – СПб: Питер, 2009. – 639 с. ISBN 5-947237-52-8 (*).

7. Попов, А.М. Информатика и математика: учебное пособие: рекомендовано УМЦ / А.М. Попов, В.Н. Сотников, Е.И. Нагаева, под ред. А.М. Попова. – Москва: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. – 302 с. ISBN 5-238-01396-1 (*).

8. Информационные технологии в юридической деятельности. Учебное пособие для бакалавров. Гриф МО РФ / под редакцией В.Д. Элькина. – М: Юрайт, 2012. – 527 c. ISBN 978-5-9916-1766-6.

9. Мухачев, С.В. Математика для юристов: учебное пособие / С.В. Мухачев, А.В. Монахов, К.В. Перетятькин, Ю.В. Заварыкина, под ред. С.В. Мухачева. – Екатеринбург: УрЮИ МВД России, 2010. – 103 с. – ISBN 978-5-88437-232-0.

 

Этап 2.

Учебные вопросы:

1. Понятие высказывания.

2. Логические операции: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация, эквивалентность.

3. Логические формулы. Решение логических задач.

 

Распределение времени:

ВВОДНАЯ ЧАСТЬ (характеристика занятия) 5 мин.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 80 мин.

- понятие высказывания 10 мин.

- операция отрицания 10 мин.

- операция дизъюнкции 10 мин.

- операция конъюнкции 10 мин.

- операция импликации 10 мин.

- операция эквивалентности 10 мин.

- логические формулы, решение логических задач 20 мин.

ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ (анализ степени реализации

поставленных целей занятия, выставление оценок) 5 мин.

 

Рекомендации:

1. В процессе изучения первого вопроса следует сформировать у обучаемых четкое представление о том, какие повествовательные предложения являются высказываниями, а какие нет.

2. При изучении второго вопроса следует обратить внимание на правила составления сложных высказываний из простых.

3. При изучении третьего вопроса необходимо уделить внимание алгоритму решения логических задач.