Описание и изображение звеньев

H (jw)

H(p)

u y u y

 

	W (p)

u y

 

Они описываются обыкновенными диффурами с пост. коэффициентами.

 

dⁿx(t) a _n-1 d^n-1x(t) d^mu b _m-1 d^m-1u

a n * -------- + ------------------- +...+ a ₀= b m * -------- + ---------------+

dt ⁿ dt ^n-1 dt ^m dt ^m-1

...+ b ₀ u(t)

 

 

d^mx(t) s _m-1 d^m-1x(t)

s n * -------- + ------------------- +...+ s ₀ * x (t) = y(t) (4.2)

dt ^m dt ^m-1

Используя преобразование Лапласа, получим связь выхода со входом:

a (p) X (p) = b (p) U (p)

 

/ a (p) = a_n * pⁿ + a_n-1 * p^n-1 +...+ a₁ * p + a₀

\ b (p) = b _r * p^r + b _r-1 * p^r-1 +...+ b ₁ * p + b ₀

 

X(p) = (b (p) / a (p)) * U (p)

Y(p) = (s (p) * b (p) / a (p)) * U (p)

 

Y (p) = H (p) U (p), где H (P) = s (p) * b (p) / a (p).

 

Описание соединений.

Пусть у нас имеется n звеньев, которые соединены так:

 

Yi(p)=Hi(p)Ui(p), i = 1..n (4.8)

Ui(p)= S (j, g _ij * Yj (p) + U’i (p), i =1..n) (4.9)

g ij = {0 – связи нет, 1 – связь есть}

U’i – внешние связи входа данного звена. Т.о. 4.8 и 4.9 описывают всю систему: входы и выходы. Для состояния этой системы нужно выписать уравнение X(p) = (b (p) / a (p)) * U (p) для всех звеньев, и тогда вектор, составленный из Хi (p), i=1..n, образует вектор состояния этой системы. Если входов и выходов у системы несколько, то она будет векторная, несмотря на то, что звенья скаляры.

Совокупность U’i (p) i=1..n образуют входы всей системы.

 

Типовые соединнения

 

Последовательное соединение.

 

 

H2(p)

H1(p)

u1 y1 u2 y2

 

 

/Y1(p)=H1(p)U1(p)

{Y2(p)=H2(p)U2(p)

\U2(p)=Y1(p)

 

Т.о. H(p)=H1(P)*H2(P);

p=j w; H(j w)=H1(j w)*H2(j w);

 

|H(j w)| = |H1(j w)|*|H2(j w)|;

 

arg H(j w)= arg H1(j w)* arg H2(j w);

 

Если звеньев несколько (n), то формула:

 

H(p)=П (i=1..n Hi(p)).

 

Из Y(p) = (s (p) * b (p) / a (p)) * U (p) получаем:

a1(p) Y1(p) = s1 (p) * b1 (p) * U1 (p)

a2(p) Y2(p) = s2 (p) * b2 (p) * U2 (p)

 

Y1 (p)= U2 (p)

 

 

/a1(p) Y1(p) + 0 * Y2 (p) = s1 (p) * b1 (p) * U1 (p)

\-s2 (p) * b2 (p) * U2 (p) + a2(p) Y2(p) = 0

 

A(p)Y(p)=B(p)U(p)

Y(p)=A^-1(p) * B(p) * U(p)

 

det A = a1(p)*a2(p)

 

Параллельное соединение

H1

Y1

Y1 Y=Y1+Y2

U

		H2

Y2

Y2

 

Y(p)=Y1(p)+Y2(p)

Y(p)=(H1(p)+H2(p))*U(p)

 

p=j w: H(j w) = H1 (j w)+H2 (j w);

Если использовать операторное представление, то получим:

 

a1 Y1 = s1 * b1 * U1

a2 Y2 = s2 * b2 * U2

 

U1=U2=U,

 

a1 0 0 a2

Y1 Y2

=

s1 * b1 s2 * b2

* U

 

det A = a1*a2

 

Соединение с ОС.

 

H1

u u1 y1

_

 

H2

y2 u2

 

Отрицательная ОС

 

Если H2(P)=1, то систему с жесткой ОC

~ ~

det A = a1 (p) * a2 (p) + b1 (p) * b2 (p)

~

b1 (p) = A s1 (p) * b1 (p)

 

Векторный вариант для ОС.

Также как и для скалярных систем можно определить предат. ф-ции H(p) но для векторных систем.. Рисунок тот же, но с другими стрелками (с двойными).

 

/x1’(t)=A1x1(t)+B1u1(t)

\y1(t)=C1x1(t);

 

/x2’(t)=A2x2(t)+B2u2(t)

\y2(t)=C2x2(t);

Связи:

/y1=u2

\u1=u-y2

Используя их можно исключ. из правых частей ур-ний лишние перем.

/U2(t)=y1(t)=C1x1(t)

\U1(t)=U-C2x2(t)

 

/x1’(t)=A1x1(t)-B1C2x2(t)+B1U(t)

\x2’(t)=A2x2(t)+B2C1x1(t)

 

x’(t)=

x1(t) x2(t)

, A=

A1 -B1C2 B2C1 A2

, B=

B1

 

Y1=Y; Y(p)=W1(p)(U(p)-Y2(p))=W1(p)*U(p)-W1(p)*W2(p)*Y(p)

Y(p)=W1(p)*(I-W1(p)*W2(p))^-1*U(p)

 

Структурные преобразования линейных систем.

Учитывая линейность систем можно осущ. преобр. структурных сх., что бывает полезно для их упрощения.

Т. к.линейная сист. сост. из сумматоров, точек разветвление и более простых линейных сист., то достаточно научиться переставлять местами эти эл-ты. При преобр. участка схемы вх. и вых. сигналы этого участка должны оставаться без изм.

1.

x 1 2

 

x x

 

 

x 1 2

 

2.

x1 1 2

y=x1+x2+x3

 

x2 x3

 

 

x1 2 1

y=x1+x2+x3

 

x2 x3

 

 

3. При переносе узла через сумматор по вх. сигн. или сумматора через узел против вх. следует добавить связь с коэфф. –1 и вычесть дополнит. сигнал.

x1

y2=x1+x2

 

 

x2

y1=x1

 

x1 y2=x1+x2

 

-1

x2

y1=x1

 

 

 

4. При переносе узла через сумматор против вх. сигн. или сумматора через узел по ходу сигн. следует добавить связь между линией 2-го вх. сумматора и ответвлением, направленного против вх. сигн. в прямой цепи.

 

x1 1 2

y=x1+x2

 

 

x2 y

 

 

y=x1+x2

 

x2

x2

y

 

 

5. При переносе узла через линейную сист. по ходу сигн. необх. включ. в ответвление обратную лин. сист.

 

y2=Ax

 

y1=x

 

 

A

y2=Ax

		A^-1

 

 

 

y1=A^-1*Ax=x

 

 

6. При переносе узла через лин. сист. против хода сигн. необх. вкл. такую же сист. в ответвление.

 

x y1=Ax

 

 

y2

 

 

A

y1=Ax

y2=x

	A^-1

 

y2=y-Ax

 

 

7. При переносе сумматора через лин. сист. по ходу сигнала необх. вкл. в линию 2-го вх. сумматора такую же систему.

 

 

x1 y=A(x1+x2)

 

 

 

x2

 

 

A

x1 Ax1 Ax1+Ax2

 

x2

A

 

 

 

x2

 

8. При переносе сумматора через лин. сист. против вх. сигн. необх. вкл. в линию 2-го вх. сумматора лин. сист.

 

 

x1 y=Ax1+x2

 

x2

 

A

x1 y=Ax+x2

 

 

x2

	A^-1

 

 

 

x2

 

 

9. Ветви парал. соединения можно менять местами.

10. В сист. с ОС можно менять местами сист. нах. в прямой цепи и в обратой заменив при этом входы сист. обратными им.

 

	A1

y

 

		A2^-1

 

 

y

 

 

 

Эти правила справедливы для всех лин. сист., а для стац. систем еще два правила.

11. Последов. Соединенные лин. стац. сист. можно менять местами.

12. Последов. соед усилители стац. и нестац., можно менять местами.

 

 

 

Устойчивость.

Среди хар-к сист. важнейшей явл. устойчивость.

Только устойчивая система м. б. работоспособной.

Определение устойчивости системы.

x’(t)=f(x(t),u(t),t)

t -->OO

Сначала рассмотрим случай, когда внешних воздействий нет.

x’(t)=f(x(t),t)

xo(t) – номинальное сост. соотв. решению.

x’o(t)= f(xo(t),t)

Опр. 1 Пусть имеется урние 2 с ном. решением xo(t), тогда ном. решение ур-ния. 2 явл. устойчивым в смысле Ляпунова, если для сущ. to и e>0 сущ. d(e,to)>0,такое, что при ||x(t)-xo(t)||<e, t>=to

||x(t)||=sqr(S(i, xi²)

Опр. 2.Ном. решение ур-ния 2 асимптотич. устойчиво, если:

а) оно устойчиво в смысле Ляпунова.;

б) для всех to сущ. ro(to)>0, такое, что в случае ||x(to)-xo(to)||<ro имеем ||x(t)-xo(t)||->0 при t->OO.

Опр. 3. Ном. решение ур-ния 2 явл. асимптотич. устойчивым в целом, если:

а) оно уст. в смысле Ляпунова;

б) Сущ. x(to) сущ. to выполн. следующее.

||x(t)-xo(t)||->0 при t->OO.

Для лин. сист. устойчивость решений совпадает с уст. сист., при этом удобно использовать.

 

xo(t) º 0,

x’(t) = A(t)*x(t) (5)

Устойчива в определенном смысле (по Ляпунову, асимптотически, асимптотически в целом), если ее тривиальное решение устойчиво в этом смысле.

Система (5) с переменными коэф-ми является экспоненциально устойчивой, если сущ-ют положительные константы a и b такие, что для любого xo(t) имеет место

||x(t)||<= a*exp(-b(t-to))*||x(to)||, t>=to

 

Устойчивость линейных систем с постоянными параметрами.

 

x’(t)=Ax(t) (7)

Т.1. Пусть A – nxn матрица. lambda1, lambda2,…, lambdan – ее различныехарактеристические числа, а e’1, e’2,…, e’n – соотв. Этим числам собственные векторы. Тогда из этих векторов и чисел можно постороить nxn матриц.

T = (e’1, e’2,…, e’n) (8)

L = diag(lambda1, lambda2,…, lambdan) (9)

Тогда матрица Т-неособая и матрица А м.б. представлена в виде

A = T L T^-1 (10)

 

T диагонализирует матрицу А.

Кроме того, имеет место следующее представление:

а) exp(At) = T*exp(Lt)*T^-1 (11)

б) exp(Lt) = (exp(l₁t), exp(l₂t),…, exp(l_nt))

 

Т. 2. Система (7), где матрица А удовлетворяет теореме (1)

Запишем T^-1 = (f1,f2,…,fn)^T, где fi – векторы-строки матрицы T^-1, тогда решение ур-ния (7) м.б. для to = 0:

x(t)=S(i=1,n;exp(l_it)*e_i*f_i x(o)).

Обозначим скаляры f_i x(o) = m_i и запишем ур-ние в виде:

x(t)=S(i=1,n; m_i exp(l_it)*e_i) (14)

Из этого видно, что решение системы (7) предст. собою комбинацию движений по собственным векторам матрицы А.

Если в матрице системы (7) имеются кратные корни, то в ф-ле (10) вместо матрицы l будет стоять жорданова нормальная форма матрицы А. В ней на месте кратного харак-кого числа l_i кратности m_i будет стоять блок размером m_i x m_i, а реакция системы кроме чисто экспоненц. членов вида exp(l_it) будут содержать и члены вида t* exp(l_it),…, t^(m_i)exp(l_it).

Запись реакции системы (7) в виде (14) доказывает, что для устойчивости системы при любых значениях m_i н. и д., чтобы l_i были < 0.Из этого следует:

1) Для устойчивости системы н. и д., чтобы все характеристические числа матрицы А имели неположительные действительные части,

2) любому характеристическому числу на мнимой оси кратности m должно соответствовать m собственных векторов матрицы А (в этом случае система устойчива в смысле Ляпунова).

Т. 3. Система спотоянными параметрами явл. асимптотически устойчивой т. и т.т., когда все харак. числа матрицы А имеют строго отрицательные действительные части. Такая система явл. экспоненциально устойчивой.