Импульсная и переходная ф-я систем

Решение ур-й состояния ЛС

 

x’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) – неоднородное ДУ

Решение неоднородного ДУ выполняется как решение двух однородных.

Для получения решения ОДУ

x’(t)=A(t)x(t) (1.7)

F – некоторая неизвестная матрица, функциональная.

Общее решение:

xo(t)=F(t,to)*x(to) (1.8)

 

/F’(t,to)=A(t)*F(t,to)

\F(to,to)=I (1.9)

F полностью определяет А.

Непоср. решение с помощью (1.9) возможно только в самых простых случаях, когда А слабо заполнена и имеет небольшие размеры. (1.9) дает матрицу для однородного ур-я, а частное решение неоднородного уравнения x_r записывается в виде:

x_r(t)=F(t,to)*V(t) (1.10)

V(t) – функция. Надо найти так, чтобы решение удовлетворяло (1.3)

 

Общее решение неоднородного уравнения –

x(t)=F(t, to) * x(to)+ò(F(t,tau)*B(tau)*U(tau),

d tau=to..t)

1 слагаемое зависит от начального значения состояния и характеризует влияние начального зн. состояния на сост. системы в текущий МВ.

2 слагаемое описывает влияние внешних воздействий за промежуток времени to..t

 

Импульсная и переходная ф-я систем

Если х (to) = 0, то

y(t)=ò (C(t) * F (t, tau) * B(tau) * U (tau) dtau = to..t)

= ò (K(t, tau) * U(tau), dtau = to..t);

K (t, tau) = C(t) * F (t, tau) * B(tau) – матричная импульсная, или весовая, ф-я системы. Ее эл-ты характеризуют реакцию величины y_j в МВ t на импульс, поданный по входу i в момент времени tau. S(t,tau) = ò(K(t,s)d s = t..tau), t>tau.

Матрично-переходная ф-ция хар-ет реакцию системы на ступенчатые внешеие воздействия типа ф-ции Хевисайда. Если U_l(tau)=1, то S_jl(t,tau) будет характеризовать значение выхода y_j в момент времени t.

 

Линейно-стационарные системы

Описываются ур-ями 1.5 – 1.6 с пост. коэффициентами.

x’(t)=Ax(t)+Bu(t)

y(t)=Cx(t);

Решение – экспонента:

dx/dt = ax (a=const)

dx/x = a*dt, ò (dx/x)=ò (a*dt); ln x = at + ln (c);

x = c*exp (at).

Также решается и 1.5.

Для стационарных систем выражение для импульсной хар-ки трансформируется в:

/ K (t, tau) = C * exp(A(t-tau)) * B

{ S (t, tau) = ò (K (t, tau)), K (t, tau) = K (t – tau)

\ S (t, tau) = S (t – tau) (1.21)

 

Частотные ф-ии непрерывных систем.

Ясно, что прохождение сигналов через систему зависит от частоты. В природе всегда существует инерция.

Реакция на период воздействия

Наиболее простой период воздействия

U(t)=Um*exp(j*w*t), t>=0. (1)

 

Рассмотрим лин. стац. систему, которая описывается уравнениями

x’(t)=Ax(t)+Bu(t) (1.5)

y(t)=Cx(t); (1.6)

 

Если найдена передаточная ф-я и известно входное воздействие, то очень просто определяется выходная величина. Пусть например

mu_k*sin(ut+f _k) – k-й вход

h_i(t) – i-й выход

H (j w) – известна, т.е. известно и c _k (j w), которая определяет влияние k входа на i выход.

h _i (t) = | c _k (j w)| * mu_k*sin(ut+ f _k + y _ik)

y _ik = arg (c _k (j w)’)

 

Частотные характеристики.

ВЧХ – вещественная частотная хар-ка.

R(w) = Re (H (j w)) (9)

МЧХ – мнимая частотная хар-ка

I(w) = Im (H (j w)) (10)

АЧХ

A(w) = |H (j w)| (11)

ФЧХ

y (w) = arg (H (j w)) (12)

k k*T*w

H(j w) = ---------------- - j ------------

1+T²*w² 1+T²*w²

 

Наиболее часто используются АЧХ и ФЧХ. Годограф АЧХ характеризует H при изменении w. Исключив параметр w, можно показать, что уравнение (*) описывает окружность радиусом k/2 и сдвинутую по действительной оси на k/2.

 

Im

 

k/2 k Re

w=0

 

 

k

A (w) = ------------------

sqr (1+T² * w² )

 

y (w) = -arctg (T w)

 

Типовые структуры.

Типовые соединнения

 

Параллельное соединение

H1

Y1

Y1 Y=Y1+Y2

U

		H2

Y2

Y2

 

Y(p)=Y1(p)+Y2(p)

Y(p)=(H1(p)+H2(p))*U(p)

 

p=j w: H(j w) = H1 (j w)+H2 (j w);

Если использовать операторное представление, то получим:

 

a1 Y1 = s1 * b1 * U1

a2 Y2 = s2 * b2 * U2

 

U1=U2=U,

 

a1 0 0 a2

Y1 Y2

=

s1 * b1 s2 * b2

* U

 

det A = a1*a2

 

Соединение с ОС.

 

H1

u u1 y1

_

 

H2

y2 u2

 

Отрицательная ОС

 

Если H2(P)=1, то систему с жесткой ОC

~ ~

det A = a1 (p) * a2 (p) + b1 (p) * b2 (p)

~

b1 (p) = A s1 (p) * b1 (p)

 

Векторный вариант для ОС.

Также как и для скалярных систем можно определить предат. ф-ции H(p) но для векторных систем.. Рисунок тот же, но с другими стрелками (с двойными).

 

/x1’(t)=A1x1(t)+B1u1(t)

\y1(t)=C1x1(t);

 

/x2’(t)=A2x2(t)+B2u2(t)

\y2(t)=C2x2(t);

Связи:

/y1=u2

\u1=u-y2

Используя их можно исключ. из правых частей ур-ний лишние перем.

/U2(t)=y1(t)=C1x1(t)

\U1(t)=U-C2x2(t)

 

/x1’(t)=A1x1(t)-B1C2x2(t)+B1U(t)

\x2’(t)=A2x2(t)+B2C1x1(t)

 

x’(t)=

x1(t) x2(t)

, A=

A1 -B1C2 B2C1 A2

, B=

B1

 

Y1=Y; Y(p)=W1(p)(U(p)-Y2(p))=W1(p)*U(p)-W1(p)*W2(p)*Y(p)

Y(p)=W1(p)*(I-W1(p)*W2(p))^-1*U(p)

 

Структурные преобразования линейных систем.

Учитывая линейность систем можно осущ. преобр. структурных сх., что бывает полезно для их упрощения.

Т. к.линейная сист. сост. из сумматоров, точек разветвление и более простых линейных сист., то достаточно научиться переставлять местами эти эл-ты. При преобр. участка схемы вх. и вых. сигналы этого участка должны оставаться без изм.

1.

x 1 2

 

x x

 

 

x 1 2

 

2.

x1 1 2

y=x1+x2+x3

 

x2 x3

 

 

x1 2 1

y=x1+x2+x3

 

x2 x3

 

 

3. При переносе узла через сумматор по вх. сигн. или сумматора через узел против вх. следует добавить связь с коэфф. –1 и вычесть дополнит. сигнал.

x1

y2=x1+x2

 

 

x2

y1=x1

 

x1 y2=x1+x2

 

-1

x2

y1=x1

 

 

 

4. При переносе узла через сумматор против вх. сигн. или сумматора через узел по ходу сигн. следует добавить связь между линией 2-го вх. сумматора и ответвлением, направленного против вх. сигн. в прямой цепи.

 

x1 1 2

y=x1+x2

 

 

x2 y

 

 

y=x1+x2

 

x2

x2

y

 

 

5. При переносе узла через линейную сист. по ходу сигн. необх. включ. в ответвление обратную лин. сист.

 

y2=Ax

 

y1=x

 

 

A

y2=Ax

		A^-1

 

 

 

y1=A^-1*Ax=x

 

 

6. При переносе узла через лин. сист. против хода сигн. необх. вкл. такую же сист. в ответвление.

 

x y1=Ax

 

 

y2

 

 

A

y1=Ax

y2=x

	A^-1

 

y2=y-Ax

 

 

7. При переносе сумматора через лин. сист. по ходу сигнала необх. вкл. в линию 2-го вх. сумматора такую же систему.

 

 

x1 y=A(x1+x2)

 

 

 

x2

 

 

A

x1 Ax1 Ax1+Ax2

 

x2

A

 

 

 

x2

 

8. При переносе сумматора через лин. сист. против вх. сигн. необх. вкл. в линию 2-го вх. сумматора лин. сист.

 

 

x1 y=Ax1+x2

 

x2

 

A

x1 y=Ax+x2

 

 

x2

	A^-1

 

 

 

x2

 

 

9. Ветви парал. соединения можно менять местами.

10. В сист. с ОС можно менять местами сист. нах. в прямой цепи и в обратой заменив при этом входы сист. обратными им.

 

	A1

y

 

		A2^-1

 

 

y

 

 

 

Эти правила справедливы для всех лин. сист., а для стац. систем еще два правила.

11. Последов. Соединенные лин. стац. сист. можно менять местами.

12. Последов. соед усилители стац. и нестац., можно менять местами.

 

 

 

Устойчивость.

Среди хар-к сист. важнейшей явл. устойчивость.

Только устойчивая система м. б. работоспособной.

Определение устойчивости системы.

x’(t)=f(x(t),u(t),t)

t -->OO

Сначала рассмотрим случай, когда внешних воздействий нет.

x’(t)=f(x(t),t)

xo(t) – номинальное сост. соотв. решению.

x’o(t)= f(xo(t),t)

Опр. 1 Пусть имеется урние 2 с ном. решением xo(t), тогда ном. решение ур-ния. 2 явл. устойчивым в смысле Ляпунова, если для сущ. to и e>0 сущ. d(e,to)>0,такое, что при ||x(t)-xo(t)||<e, t>=to

||x(t)||=sqr(S(i, xi²)

Опр. 2.Ном. решение ур-ния 2 асимптотич. устойчиво, если:

а) оно устойчиво в смысле Ляпунова.;

б) для всех to сущ. ro(to)>0, такое, что в случае ||x(to)-xo(to)||<ro имеем ||x(t)-xo(t)||->0 при t->OO.

Опр. 3. Ном. решение ур-ния 2 явл. асимптотич. устойчивым в целом, если:

а) оно уст. в смысле Ляпунова;

б) Сущ. x(to) сущ. to выполн. следующее.

||x(t)-xo(t)||->0 при t->OO.

Для лин. сист. устойчивость решений совпадает с уст. сист., при этом удобно использовать.

 

xo(t) º 0,

x’(t) = A(t)*x(t) (5)

Устойчива в определенном смысле (по Ляпунову, асимптотически, асимптотически в целом), если ее тривиальное решение устойчиво в этом смысле.

Система (5) с переменными коэф-ми является экспоненциально устойчивой, если сущ-ют положительные константы a и b такие, что для любого xo(t) имеет место

||x(t)||<= a*exp(-b(t-to))*||x(to)||, t>=to

 

Устойчивость линейных систем с постоянными параметрами.

 

x’(t)=Ax(t) (7)

Т.1. Пусть A – nxn матрица. lambda1, lambda2,…, lambdan – ее различныехарактеристические числа, а e’1, e’2,…, e’n – соотв. Этим числам собственные векторы. Тогда из этих векторов и чисел можно постороить nxn матриц.

T = (e’1, e’2,…, e’n) (8)

L = diag(lambda1, lambda2,…, lambdan) (9)

Тогда матрица Т-неособая и матрица А м.б. представлена в виде

A = T L T^-1 (10)

 

T диагонализирует матрицу А.

Кроме того, имеет место следующее представление:

а) exp(At) = T*exp(Lt)*T^-1 (11)

б) exp(Lt) = (exp(l₁t), exp(l₂t),…, exp(l_nt))

 

Т. 2. Система (7), где матрица А удовлетворяет теореме (1)

Запишем T^-1 = (f1,f2,…,fn)^T, где fi – векторы-строки матрицы T^-1, тогда решение ур-ния (7) м.б. для to = 0:

x(t)=S(i=1,n;exp(l_it)*e_i*f_i x(o)).

Обозначим скаляры f_i x(o) = m_i и запишем ур-ние в виде:

x(t)=S(i=1,n; m_i exp(l_it)*e_i) (14)

Из этого видно, что решение системы (7) предст. собою комбинацию движений по собственным векторам матрицы А.

Если в матрице системы (7) имеются кратные корни, то в ф-ле (10) вместо матрицы l будет стоять жорданова нормальная форма матрицы А. В ней на месте кратного харак-кого числа l_i кратности m_i будет стоять блок размером m_i x m_i, а реакция системы кроме чисто экспоненц. членов вида exp(l_it) будут содержать и члены вида t* exp(l_it),…, t^(m_i)exp(l_it).

Запись реакции системы (7) в виде (14) доказывает, что для устойчивости системы при любых значениях m_i н. и д., чтобы l_i были < 0.Из этого следует:

1) Для устойчивости системы н. и д., чтобы все характеристические числа матрицы А имели неположительные действительные части,

2) любому характеристическому числу на мнимой оси кратности m должно соответствовать m собственных векторов матрицы А (в этом случае система устойчива в смысле Ляпунова).

Т. 3. Система спотоянными параметрами явл. асимптотически устойчивой т. и т.т., когда все харак. числа матрицы А имеют строго отрицательные действительные части. Такая система явл. экспоненциально устойчивой.

 

Алгоритм

1. Найти НОД a_o(p) мн-членов a(p) и b(p). Если он неустойчив, то стабилизация невозможно выделить взаимно простые мн-члены.

a’(p)=a(p)/a_o(p),

b’(p)=b(p)/b_o(p)

Пусть deg(a’(p))=n’, deg(b’(p))=n’

a’(p)=pⁿ+a1

2. Выбрать n’+m’-1 чисел l₁, l₂, …,l _n’+m’-1, отриц. веществ чисел и составим мн-член.

D’^d(p)=(p-l₁)(p-l₂)... (p-l _n’+m’-1)=p ^n’+m’-1+D’ _n’+m’-1+…+D’o

3. Из тождества a’(p) l(p)+b’(p) K(p)= D’^d(p) нужно найти n’+m’ лин. ур-ний относительно (n+m) неизвестных коэфф. мн-членов:

K’(p)=K’o+K’1p+… K’_n’-1p^n’-1

l’(p)=l’o+l’1p+…+l_m’-1p^m’-1

4. Найтирешение этих лин. ур-ний, т.е. найти значения коэфф.K’_i, i=0…n’-1 и lj, j=0… m’-1

5. Написать стабилизирующий закон. управления. если заданы нач. условия и его пр-ные в нач. момент времени.

 

Элементы дискретных систем

 

Основные понятия дискретных систем

Появились и широко используются в последние десятилетия из-за постоянного развития дискретных вычислительных машин. Обладают рядом неоспоримых преимуществ перед аналоговыми, как то: точность, малая цена, внешнее программирование.

 

Объект и регулятор в общем случае.

 

 

 

Up z

Объект

u

D

y

 

 

Vm

r

 

r – эталонная переменная;

z – управляемая переменная;

y – наблюдаемая переменная;

Vm – помехи.

 

В общем случае различают задачи слежения и терминального управления.

U(t), to<=t<=t₁, z(t₁)->r, где r - задано, z(to) – произвольно

Управление ограничено: U(t) E U, to<=t<=t₁ – задача терминального управления

z (t) -> r(t), любое t >= to – задача слежения.

Если r(t)=const, то эта задача регулирования.

При рассмотрении вопросов определения управления имеют в виду, что:

a) на систему действуют возмущения;

b) имеются ошибки в параметрах объекта;

c) начальное состояния м.б. неизвестно;

d) измеряемая переменная м.б. искажена шумами и не давать непосредственно значения r(t).

 

U(t)=fp (r(t), to<=t)

U(t)=fg (r(t), y(t), to<=t)

 

Объект, как и раньше, описывается:

x’(t)=Ax(t)+Bu(t)+Vp(t), x(to)=xo; (2)

g(t)=Cx(t)+Vm(t), Vm(t) – помеха (стохастический процесс) (3)

z(t)=Dx(t) (4)

 

Регулятор:

q’(t)=Lq(t)+k_rr (t) – k_f y(t); q(to)=qo (5)

U(t)=Fq(t)+H_r r(t) – H_fy(t) (6)

Здесь q(t) – состояние регулятора, r(t), y(t) – входы. Видно, что выходы объекта являются входами регулятора и наоборот. Если k_f, H_f ≡ 0, то это разомкнутый регулятор. 2-6 определяют объект и регулятор.

Среднее значение квадрата ошибки слежения и квадрата входной переменной определяется:

c_e(t) = E {e^t(t) W_e(t) e(t) }, t>=to (7)

c_u(t) = E {u^t(t) W_u(t) u(t) }, t>=to (8)

 

e(t) – ошибка, которая опр. как разница между текущим и заданным значением управляемой переменной:

e(t)=z(t)-r(t), t>=to (9)

W_e(t), W_u(t) – весовые матрицы, неотрицательно определенные. Будем считать, что W_e(t) и W_u(t) – диагональные матрицы, тогда 7 и 8 дают матожидания квадратичных отклонений.

При управлении c_e(t) -> 0 при t -> oo, c_u(t) E C’_u (надо чтобы было так).

 

 

Замкнутая система.

 

U(t)=Fq(t)+H_rr (t) – H_fCx(t) - H_fv_m(t) (10)

x’(t)=(A-BH_fC) x(t) + BFq(t) + BH_rr (t) - B H_fv_m + v_p (11)

q’(t)=Lq(t)+K_rr (t) – K_fCx(t)-K_fv_m(t) (12)

 

x’(t) q’(t)

=

A-BHfC BF KfC L

*

x(t) q(t)

+

BHr Kr

r(t) +

-BHf I -Kf 0

*

vm(t) vp(t)

 

(13)

Уравнение 13 определяет движение замкнутой системы (и регулятора, и объекта). Можно определить ошибку с учетом функционирования регулятора.

 

e^T(t)=z(t)-r(t)=[D 0] * [x(t) q(t)] ^T – r(t) (14)

U(t) = [-H_fC F] * [x(t) q(t)] ^T + H_rr (t) – H_fv_m (t) (15)

 

Если мы теперь подставим (14) и (15) в (7) и (8), то получим выражение для средних квадратов ошибки и управления. Обычно c_e(t), c_u(t) представляют в виде 2 составляющих – матожидания e’(t)=E{e(t)} (16)

и дисперсии (отклонения от среднего значения) e~(t). Обычно при анализе принимаются следующие упрощающие выражения: система устойчива, входные воздействия r(t), v_p(t), v_m(t) некореллированы и стационарны в широком смысле. Причем входное воздействие м.б. представлено в виде 2 составляющих – исходного и добавка в виде стохастического значения: r(t)=r₀+r_v(t) (17).При таких предположениях разложение квадрата ошибки и вх. воздействия можно записать:

 

c_e(t)= e’^T w_e e’ + e~^T w_e e~ (18)

c_u(t)= U^T w_u u’ + u~^T w_u u~ (19)

 

Тогда к системе выдвигается ряд требований:

1) Она должна быть устойчивой. Ее собственные числа должны иметь действительные части <0.

2) Она должна обеспечивать требуемую точность, характеризующую c_e(t) при ограниченной мощности, характеризуемой c_u(t).

Для вычисления 18 и 19 обычно существует заданная матрица момента второго порядка для r₀:

E {r₀, r₀^T} = R (20)

 

Для характеристики переменной части r_v(t) задается спектральных плотностей энергии S_r (w) процесса r_v(t)

При принятых ограничениях на r(t), Vp(t), Vm(t) C_l(t) и Cn(t) сходятся к установившимся постоянным величинам:

C_l¥ =lim(t->¥; C_l(t)) (21)

C_n¥ =lim(t->¥; C_n(t)) (22)

Удобно выделить матрицы, связывающие воздействия эталонной переменной на управление.

r -> z T(p)

r -> u N(p)

Выражения для матриц T и N.

 

В соотв. с исходным описанием из (+++(13)-описание замкнутой системы в матричной форме) после применения преобразования Лапласа можно получить передаточные матрицы. При обращении ~A целесообразно использовать ф-лу блочного обращения матриц. В рез-те можно будет получить передаточные матрицы, в которых удобно выделить и обозначить следующие передаточные ф-ции:

K(p) – ф-ция, показывающая влияние управления на управляемую переменную.

K(p) = D(p I -A)^-1B, u -> z.

H(p) – ф-ция, харак. влияние управления на измеряемую переменную y.

H(p) = C(p I -A)^-1B, u -> y.

P(p) – ф-ция, харак. влияние эталонной переменной на управление.

P(p) = F(p I -L)^-1 + H_r, r -> u.

G(p) – ф-ция, харак. влияние измеряемой переменной на управление.

G(p) = F(p I -L)^-1 *K_f + H_f, r -> u.

Это представление соотв-ет след. схеме (большими буквами изображения по Лапласу, т.е. U(p)=L[u(t)]):

 

P(p) Z(p)

	P(p)		K(p)

 

+ U(p)

_

 

V(p) Y(p)

 

 

Регулятор Объект

 

 

Эта схема отражает ур-ние (12) и соотв. ур-ния для вых. величин.

U(p)=P(p)R(p) - G(p)Y(p) = (I + G(p)H(p))^-1 P(p)R(p)

Z(p)=K(p)U(p) = K(p)(I + G(p)H(p))^-1 P(p)R(p)

Y(p)=H(p)U(p)

T(p) = K(p)(I + G(p)H(p))^-1 P(p) (23)

Z(p) = T(p) R(p) (24)

N(p) = [I + G(p)H(p)]^-1 P(p) (25)

U(p) = N(p) R(p) (26)

Видно, что матрицы N и T между собой тесно связаны, т.е. T(p) = K(p)*N(p).

Эти матрицы хар-ют влияние объекта и регулятора на установившиеся значения квадрата ошибки слежения C_l¥ и на уст. зн. квадрата вх. переменной C_u¥, поэтому при конструировании требуется только выбрать параметры этих матриц. Трудность – для различных требований к качеству изменения параметров диаметрально противоположны.

 

Полосы пропускания.

u, z, r, W_l = 1, W_u = 1 - скаляры. Тогда C_l¥ =lim(t->¥; C_l(t)) и C_n¥ =lim(t->¥; C_n(t)) дает след. рез-т для установившихся значений:

C_l¥ = Ro[T(0)-1]² + ò(-inf..+inf, S_r (w) |T(j w) – 1|² df) (28)

C_n¥ = Ro[N(0)]² + ò(-inf..+inf, S_r (w) |N(j w)|² df) (29)

Из (28) видно, что малые установившиеся значения ошибки S_r (w) |T(j w) – 1|² зависят от частотного состава вх. переменной и от |T(j w) – 1|², поэтому желательно выбирать частоту ф-ции так, чтобы S_r (w) |T(j w) – 1|² -> 0 (30)

, для всех действ. значений частот.

Если перем. составляющая эталонной величины r_v(t) = 0 (h₀ + r_v(t)), то целесообразно иметь

T(0) = 1.

Интеграл (28) зависит от w, причем обычно с ростом w ф-ция спектральной плотности S_r (w) уменьшается, поэтому сомножитель |T(j w) – 1| должен быть малым в той области частот, где S_r (w) велико. Отсюда понятия полосы частот эталонной переменной и полосы частот пропускания системы.

Опр. Пусть T(p) – скаляр. передат. ф-ция (в матр. случае – эл-т матр. передат. ф-ции) асимптотически устойчивой лин. системы с пост. параметрами. Тогда полоса частот системы управления опред. как мн-во частот w, (w >= 0), для кот. |T(j w) – 1| <= e, где e<<1.

Если полоса частот предст. интервал [w₁, w₂], то разность w₁ - w₂ явл. полосой пропускания системы управления. Если интервал имеет вид [0, w_c], то w_c наз-ся частотой среза. В обозначении частоты среза обычно исп-ся ошибка e. Если e=0.01, то говорят об однопроцентной частоте среза.

|T(j w) – 1|

 

1

 

 

e

 

 

w_c w

0

 

[0, w_c] – полоса пропускания системы управления.

Опр. Пусть r(t) – скал. стац. в широком смысле стохаст. процесс со спектр. плотностью S_r(w), тогда полоса частот S процесса r(t) опр-ся, как мн-во частот, для кот. вып-ся нер-во:

S_r (w)>= a.

Здесь a выбирается так, чтобы полоса частот W содержала заданную часть половины энергии процесса r(t).

ò(wÎOMEGA; S_r (w) df) = (1-e)*ò(w>0; S_r (w) df)

Если интервал имеет вид [0, w_c], то w_c наз-ся частотой среза процесса. Если e=0.01, то говорят об однопроцентной частоте среза и ò(wÎOMEGA; S_r (w) df) содержит 99% от половины энергии спектра.

Из (28) можно сформулировать след. принцип проектирования для стох. систем:

для получения малого сред. установившегося значения квадрата ошибки слежения необходимо, чтобы полоса пропускания системы управления содержала max возм. часть полосы пропускания эталон. переменной.

 

S_r(w) |T(j w) – 1|

 

 

1 3

 

 

e

 

 

0 t

 

1- полоса пропускания системы.

2- -//- перем. части эталон. сигнала.

3- зона несовпадения этих полос, кот. и обуславливает осн. долю ошибки слежения.

y(i+1)=e(i+1) x(i+1) (8)

Матрицы A и B вычисл. способом, кот. был изложен при рассмотрении решения ур-ния 5. В частности, если сист. стационарная, т.е. 5,6 имеют вид:

 

/x’(t)=Ax(t)+Bu(t)

\y(t)=Cx(t)

 

то матрицы Ф(t,to)=exp(A(t-to))*ò(Ф(t,tau)*B(tau)dtau=to..t)=ò(exp(A(t-to))*B dtau=to..t)

 

Решение разностных уравнений состояний.

 

Переход к разностным ур-ниям полезен еще и тем, что процедура их решения наглядней, чем дифференциальных.

Теорема 1.

Рассмотрим разностное ур-ние состояния.

x(i+1)=A(i)x(i)+B(i)U(i) (9)

Решение его м.б. представлено в виде:

x(i)=Ф(i,io)x(io)+S(j=io..i-1, Ф(i,j+1)B(j)U(j), j>=io+1 (10)

/ A(i-1)A(i-2)...A(io), при i>=j+1

Ф(i,io)={ (11)

\ I i=0

Переходная матрица A(i,io) явл. решением разностного ур-ния:

Ф(i+1,io)=A(i)Ф(i,io)

Ф(io,io)=I

Если сист. стац., то A(i)=A для всех i, то Ф(i,io)=A^i-io (13)

Пусть вых. перем. описывается ур-нием 8:

y(i)=C(i)x(i) (14)

и пусть

x(io)=0, то подставив 10 в 14.получим для вых. величины:

y(i)=S(j=io..i, K(i,j)U(j)), i>=io (15)

K(i,j) — матричная импульсная ф-ция системы.

 

K(i,j)= /C(j)Ф(i,j+1)B(j), j<=i-1

\0, j=i (16)

Если сист. стац., то K9i,j) будет зависеть только от i-j, т.е. K(i,j)->K(i-j)

Если сист. имеет прямую связь, т.е. ур-ние для вых. величин. имеет вид:

y(i)=C(i)x(i)+D(i)U(i) (17)

то

K(i,j)= / C(i)Ф(i,j+1)B(j), j<=i-1

\ D(j), j=i (18)

Если сист. с пост. параметрами, то для A^i-io можно провести диагонализацию и записать решение в виде композиции расходящихся при |lambda_j|>1, установившихся при |lambda_j|=1 и сходящихся при |lambda_j|<1.

|lambda_j| — собственные числа.

 

Устойчивость.

 

Все понятия сформулированные для непрерывных сист. переносятся и на дискретные сист.

Теорема 1.

Лин. дискрет. сист. с пост. параметрами устойчива в смысле Ляпунова тогда и только тогда, когда:

1) все характеристич. числа матрицы А имеют модуль не превышающий 1.

2) любому характеристич. числу с модулем 1 кратности m соответствует точно m собственных векторов матр. А.

Теорема 2.

Лин. дискр. сист. с пост. параметрами асимптотич. устойчива, тогда и только тогда, когда все характеристич. числа матр. А по модулю <1.

 

Задача построения линейного дискретного оптимального регулятора.

 

Рассмотрим дискр. сист., описав след. образом:

 

/x(i+1)A(i)x(i)+B(i)U(i)+D(i)W(i)

\y(i+1)=C(i+1)x(i+1) (1)

W(i) — возмущение.

Рассмотрим в начале задачу управления состояниями:

x E Rⁿ, u E R^r, w E Rⁿ,

Найти управление переводящее сист. из начального сост. хо заданного нами, в конечное сост. x(N) за N шагов. Мв можем выбирать управление, исходя из различных требований. Наиб. простое решение получается, если использовать квадратичный критерий качества J_N:

J_N=S(i=1..N, {x^T(i)V₁(i)x(i)+U^T(i-1)V₂(i-1)U(i-1)} (2)

удем искать управление так, чтобы этот критерий минимизировать.

U(i)=mu_i(x’(i))

x’(i) — расширенный вектор-столбец, составл. из всех (x(0))

x’(i)= |.. | (x(N))