Управление. ОС. Стабилизация.

Цель управления. Идеальное управления.

Встречаются 2 термина – слежение и регулирование.

1. Если r(t) задано и y(t) должно -> к r(t), при t>=to, то такая задача назыв. задачей слежения.

2. r(t)=r "t>=to. Тогда задача стабилизации (регулирования):

e(t)=y(t)-r(t)

Если e(t)º0 "t>=to,

то это означает идеальное управление. Сист. в кот. это обеспечивается, назыв. инвариантной.

Пусть мы имеем объект описываемый лин. диф. ур. вида 2.1, кот. с пом. оператора дифференцирования a (D), b (D) приведены к виду (2.3).

/a (D) x(t)=b’(D) U(t)

\y(t)=x(D) x(t)

В этой системе нет возмущений, поэтому добавим в 1-е ур-ние внеш. неупр. воздействие (возмущение) w (t).

С учетом возмущений ур-ние для упр. перем., т. е. для y, может быть записана в виде:

y(t)= x(D) x(t)

a (D) y(t)=b’(D) U(t)+g (D) w(t)

a, b, g – соотв. многочлены D.

С учетом 1 ур-ние 3 можно переписать в виде:

a (D)[r(t)+ e(t)]=b (D)U(t)+g (D) w(t).

Примем след. соглашение:

а) e(t), e’(t), e’’(t)… e^n-1(t)=0

n – степень мн-члена a.

б) a, b, g и r(t), w(t) известны для всех моментов времени t=>0.

Тогда необх. управл. м. б. найдено из 4. Исп. усл. 2 получаем идеальное управл.

b (D) U(t)=b (D)r(t)-g(D)w(t) (5)

При управл. 5 ошибка будет равна.

a (D) e(t)º0 при e(to), e’(to), … 0 (6)

Особенно просто определить управл. в том сл., если b (D)=const=b_o. Мы получаем, что:

| |

U(t)=b^-1_o |a(d)r(t)-g(D)w(t) | (7)

| |

(TD+1)y(t)=U(t) (здесь b_o=1 y(0)=0)

r(t)=Ct1(t) C – const, t>=0

В этом случае по ф-ле 7 при w (t)=0 мы получим, что U(t)=1(TD+1)C*t*1(t)=C[T+t]*1(t)

В других случаях при b (t)!=const ф-лу 5 можно преобразовать по Лапласу и найти L-образ управления U(p).

a(p) g (p)

U(p)=----------R(p) - ------- W(p) (8)

b(p) b (p)

Определив оригинал U(t), мы найдем т.о. управление обеспечивающее инвариантность, т.о. если вып. усл. а и б относит. точного знака модель, мы всегда можем найти инвариантное (реальное) управление. Однако нельзя гарантировать его ограниченность,т.е. приемлемость.

В реальной сист. ресурсы всегда ограничены.

 

Влияние неточности матмодели.

Управл. мы всегда опр. на онове матем. описания объекта к сожалению нельзя создать абсолютно точную модель, т.к. нельзя учесть все особенности, в кот. он функционирует. Поэтому неточности модели приводят к неточности опр. управлений и неточность модели не позволяет поэтому реализовать так назыв. програмное управление.

Управление опр. из 5 и 8, как мы видим, зависит от a, b и g и поэтому, если они будут не точны, то управл. будет содержать ошибку.

Точно также ошибка будет вноситься неточным значением w.

Стабилизация с помощью ОС.

Если есть возможность измерения вых. перем., то сведения о фактич. значениях вых. перем. можно и нужно использовать для стабилизации сист. с пом. введения ОС.

Пусть объкт описывается след. образом:

a (D) y(t)=bo U(t)+g(D) w(t) (9)

Определим управление U(t) в виде суммы2-х слагаемых:

U(t)=U_f(t) + Uo(t), где: (10)

U_f(t) – ОС.

Uo(t) – управл. опред. каким либо другим способом.

Определим ОС в виде:

U_f(t)=-K(D) y(t) (11)

K(D) – полином от оператора дифференцирования D.

K(D)=Ko+K₁D+K₂D²+…+ K_rD^r (12)

Т.е. мы предполагаем, записывая 11-12, что мы можем контролировать вых. величину.

y(t), y’(t), …, y^r(t)

Подставим 11 в 10, а 10 в 9. в рез-те получим:

[a(D)+b_oK(D)]y(t)= b_oU(t)+g(D) w(t) (13)

характеристич. ур-ние или полином сист.

a (p)+ b_o(p)=D(p) (14)

D^d(p) – устойчивый полином, параметры кот. нами подобраны по своему виду.

Тогда мы можем подставить устойч. полином в 14 и отсюда определить K(p)

K(p)=(1/ b_o)(D^d(p)-a(p)) (15)

Т.к. D^d(p) – устойчивый полином, то используя K(p) по 15, мы получим K(p), обеспеч. устойчивость сист.

 

Обобщенный алгоритм стабилизации ОС.

Пусть теперь b(D) – произв. мн-член степени не выше n. Необх. сделать более общ., чем в 11 виде.

Предположим, что

l(D) U_f(t)=-K(D) y(t) (18)

l(D) – произв. отличный от нуля мн-член.

Ур-ние объекта 3 и ОС 18 образуют след. систему.

/a(D) y(t)=b(D) [U_f(t)+ U_П(t)] +g(D) w (t) (20)

\l(D) U_f(t)=-K(D) y(t)

Если из этих ур-ний исключим U_f(t), и преобр. по Лапласу, то получим:

[a(p) l(p)+b(p) K(p)] Y(p)=l(p)[b(p) U_г(t)+g(p) W(p)] (21)

Отсюда видно, что характеристич. мн-член замкн. сист. имеет вид:

D(p)=a (p) l(p)+b(p) K(p) (22)

Теорема 1.

Пусть мн-член a(p) и b(p) явл. взаимно простыми, тогда мн-члены k(p) и l(p), опр. вид ОС 18 м. б. выбраны так, чтобы характеристич. мн-член замкнутой сист. имел произв. наперед заданное располож. корней и соотв. ему коэфф.

Следствие.

пусть мн-член a(p) и b(p) явл. взаимно простыми или имеют в кач-ве НОД устойчивый мн-член. ИТогда можно выбрать ОС вида 18, обеспеч. устойчивость замкнутой сист. При неуст. Объкте. В противном сл. Стабилизация невозможна.

В итоге можно сформулировать алгоритм стабилизации объекта, описываемого ур-нием 3.

Алгоритм

1. Найти НОД a_o(p) мн-членов a(p) и b(p). Если он неустойчив, то стабилизация невозможно выделить взаимно простые мн-члены.

a’(p)=a(p)/a_o(p),

b’(p)=b(p)/b_o(p)

Пусть deg(a’(p))=n’, deg(b’(p))=n’

a’(p)=pⁿ+a1

2. Выбрать n’+m’-1 чисел l₁, l₂, …,l _n’+m’-1, отриц. веществ чисел и составим мн-член.

D’^d(p)=(p-l₁)(p-l₂)... (p-l _n’+m’-1)=p ^n’+m’-1+D’ _n’+m’-1+…+D’o

3. Из тождества a’(p) l(p)+b’(p) K(p)= D’^d(p) нужно найти n’+m’ лин. ур-ний относительно (n+m) неизвестных коэфф. мн-членов:

K’(p)=K’o+K’1p+… K’_n’-1p^n’-1

l’(p)=l’o+l’1p+…+l_m’-1p^m’-1

4. Найтирешение этих лин. ур-ний, т.е. найти значения коэфф.K’_i, i=0…n’-1 и lj, j=0… m’-1

5. Написать стабилизирующий закон. управления. если заданы нач. условия и его пр-ные в нач. момент времени.