Некоторые законы управления.

При управл. целесообразно использовать все имеющиеся возможности и всю доступную информацию для повышения качества управления.

Поэтому часто исп. комбинац. методы управл. (по возмущению, по отклонению), если только возмущения (или часть из них) доступны контролю или м.б. спрогнозированы.

 

Комбинационное управление по программе и обратные связи по входу.

Т.к. обратная связь стабилизирует объект и гарантирует его устойчивость, то можно для повышения кач-ва управления использ. и програмное управление. Пусть объект

a(D) y(t)=b(D) U(t)+g(D) w(t) (1)

Выберем закон управления в виде:

U(t)= U_f(t)+ U_п(t) (2)

где U_f(t) из ур-ния

l(D) U_f(t)=-K(D) y(t) (3)

а U_п(t) задается по программе от времени.

Исключая из этих ур-ний перем. U_f(t)

D(D) y(t)=l(D)[b(D) U_п(t) +g(D) w(t)] (4)

где D(D)=l(D) a(D)+b(D) g(D) (5)

Т.е. обрат связь изм. св-ва объекта и принимает вид D(D), что делает сист. устойчивой.

И поэтому к замкнутому объекту (U), кот. устойчив можно применить прогр. управл.

U_п(t) м.б. расчитана из ур-ния

D(D) r(t)=l(D)[b(D) U_п(t) +g(D) w(t)]

При этом управл., найденное из 6 обеспеч. рав-во 0 ошибки e(t)=r(t)-y(t),

если нач. усл. были нулевые. (t>r)

 

Управл. по возмущению.

Если есть возможность суммировать возмущение, действ. на объект, то эту информ. можно использ. при выработке управл. воздействия.

Пусть обект описывается ур-нием 1 и управл. строится на осн. ур-ния.

b(D) U(t)=-g(D) w(t) (7)

Такое упр. может обеспечивать текущую компенсацию w (t). Однако, при его исмольз. надо иметь в виду, что если объект неустойчив., то маленькая ошибка в определении возмущения w(t) со временем накопится и будет большой. Если мн-член b(D) имеет форму правой полуплоскости, то при нач. знач. U(t)!=0 решение ур-ния 7 содержит возрастающие компоненты, приводящие к вредному увеличению управления U(t).

 

Управление с ОС по ошибке.

Такого рода управление часто встречается в системах регулирования, когда известно техническое значение управляемой переменной и ее заданное значение. В эт. случае управление выбирается ф-ей разности между измененным и заданным значением ошибки. Пусть контролируется ошибка e (t)=r(t)-y(t) (8). С помощью вычислительного устройства регулятора по этой ошибке выбирается управление. Например, его можно определить из решения уравнения:

l(D)U(t)=K(D)e (t) (9) или

U(t)=H_f(D) e (t)

Из 8 и 10 следует что управление можно представить в виде 2 составляющих:

U(t)=U₁(t)+U₂(t), из которых U₁ (t) связано с r(t), а U₂ (t) с y(t).

U₁ (t)= H_f(D) r(t), U₂ (t)= -H_f(D) y(t) (11, 12)

Здесь U₂ (t) – сигнал ОС по выходной величине, рассматривавшийся при решении задач стабилизации. U₁ (t) – зависит от желаемого значения выходной переменной.

Из уравнений 1, 8 и 9 следует выражение для e (t)

d (D) e (t) = l(D) a (D) r(t) – l(D) g (D) w (t) (13 точно w???)

e (t) = S(t) [1-H₃(D)]

l(D) a (D) Hp(D)

H₃(D)=1- ------------------- = ---------------

d (D) 1 + Hp (D)

S(t)=r(t)-Hwy(D)w(t)

Hwy(t)=g (D)/a (D), где a, g – многочлены из исх. задания, Hp(D) – передаточная ф-я разомкнутой системы, S(t) – приведенный сигнал (отрабатываемое воздействие).

Структурная схема системы с регулятором:

 

w(t)

Hwg (p)

 

 

+ + - + r(t)

 

e (t)

 

 

В систему часто вводятся внутрениие ОС для повышения регулирования.

 

Элементы дискретных систем

 

Основные понятия дискретных систем

Появились и широко используются в последние десятилетия из-за постоянного развития дискретных вычислительных машин. Обладают рядом неоспоримых преимуществ перед аналоговыми, как то: точность, малая цена, внешнее программирование.

 

Объект и регулятор в общем случае.

 

 

 

Up z

Объект

u

D

y

 

 

Vm

r

 

r – эталонная переменная;

z – управляемая переменная;

y – наблюдаемая переменная;

Vm – помехи.

 

В общем случае различают задачи слежения и терминального управления.

U(t), to<=t<=t₁, z(t₁)->r, где r - задано, z(to) – произвольно

Управление ограничено: U(t) E U, to<=t<=t₁ – задача терминального управления

z (t) -> r(t), любое t >= to – задача слежения.

Если r(t)=const, то эта задача регулирования.

При рассмотрении вопросов определения управления имеют в виду, что:

a) на систему действуют возмущения;

b) имеются ошибки в параметрах объекта;

c) начальное состояния м.б. неизвестно;

d) измеряемая переменная м.б. искажена шумами и не давать непосредственно значения r(t).

 

U(t)=fp (r(t), to<=t)

U(t)=fg (r(t), y(t), to<=t)

 

Объект, как и раньше, описывается:

x’(t)=Ax(t)+Bu(t)+Vp(t), x(to)=xo; (2)

g(t)=Cx(t)+Vm(t), Vm(t) – помеха (стохастический процесс) (3)

z(t)=Dx(t) (4)

 

Регулятор:

q’(t)=Lq(t)+k_rr (t) – k_f y(t); q(to)=qo (5)

U(t)=Fq(t)+H_r r(t) – H_fy(t) (6)

Здесь q(t) – состояние регулятора, r(t), y(t) – входы. Видно, что выходы объекта являются входами регулятора и наоборот. Если k_f, H_f ≡ 0, то это разомкнутый регулятор. 2-6 определяют объект и регулятор.

Среднее значение квадрата ошибки слежения и квадрата входной переменной определяется:

c_e(t) = E {e^t(t) W_e(t) e(t) }, t>=to (7)

c_u(t) = E {u^t(t) W_u(t) u(t) }, t>=to (8)

 

e(t) – ошибка, которая опр. как разница между текущим и заданным значением управляемой переменной:

e(t)=z(t)-r(t), t>=to (9)

W_e(t), W_u(t) – весовые матрицы, неотрицательно определенные. Будем считать, что W_e(t) и W_u(t) – диагональные матрицы, тогда 7 и 8 дают матожидания квадратичных отклонений.

При управлении c_e(t) -> 0 при t -> oo, c_u(t) E C’_u (надо чтобы было так).

 

 

Замкнутая система.

 

U(t)=Fq(t)+H_rr (t) – H_fCx(t) - H_fv_m(t) (10)

x’(t)=(A-BH_fC) x(t) + BFq(t) + BH_rr (t) - B H_fv_m + v_p (11)

q’(t)=Lq(t)+K_rr (t) – K_fCx(t)-K_fv_m(t) (12)

 

x’(t) q’(t)

=

A-BHfC BF KfC L

*

x(t) q(t)

+

BHr Kr

r(t) +

-BHf I -Kf 0

*

vm(t) vp(t)

 

(13)

Уравнение 13 определяет движение замкнутой системы (и регулятора, и объекта). Можно определить ошибку с учетом функционирования регулятора.

 

e^T(t)=z(t)-r(t)=[D 0] * [x(t) q(t)] ^T – r(t) (14)

U(t) = [-H_fC F] * [x(t) q(t)] ^T + H_rr (t) – H_fv_m (t) (15)

 

Если мы теперь подставим (14) и (15) в (7) и (8), то получим выражение для средних квадратов ошибки и управления. Обычно c_e(t), c_u(t) представляют в виде 2 составляющих – матожидания e’(t)=E{e(t)} (16)

и дисперсии (отклонения от среднего значения) e~(t). Обычно при анализе принимаются следующие упрощающие выражения: система устойчива, входные воздействия r(t), v_p(t), v_m(t) некореллированы и стационарны в широком смысле. Причем входное воздействие м.б. представлено в виде 2 составляющих – исходного и добавка в виде стохастического значения: r(t)=r₀+r_v(t) (17).При таких предположениях разложение квадрата ошибки и вх. воздействия можно записать:

 

c_e(t)= e’^T w_e e’ + e~^T w_e e~ (18)

c_u(t)= U^T w_u u’ + u~^T w_u u~ (19)

 

Тогда к системе выдвигается ряд требований:

1) Она должна быть устойчивой. Ее собственные числа должны иметь действительные части <0.

2) Она должна обеспечивать требуемую точность, характеризующую c_e(t) при ограниченной мощности, характеризуемой c_u(t).

Для вычисления 18 и 19 обычно существует заданная матрица момента второго порядка для r₀:

E {r₀, r₀^T} = R (20)

 

Для характеристики переменной части r_v(t) задается спектральных плотностей энергии S_r (w) процесса r_v(t)

При принятых ограничениях на r(t), Vp(t), Vm(t) C_l(t) и Cn(t) сходятся к установившимся постоянным величинам:

C_l¥ =lim(t->¥; C_l(t)) (21)

C_n¥ =lim(t->¥; C_n(t)) (22)

Удобно выделить матрицы, связывающие воздействия эталонной переменной на управление.

r -> z T(p)

r -> u N(p)

Выражения для матриц T и N.

 

В соотв. с исходным описанием из (+++(13)-описание замкнутой системы в матричной форме) после применения преобразования Лапласа можно получить передаточные матрицы. При обращении ~A целесообразно использовать ф-лу блочного обращения матриц. В рез-те можно будет получить передаточные матрицы, в которых удобно выделить и обозначить следующие передаточные ф-ции:

K(p) – ф-ция, показывающая влияние управления на управляемую переменную.

K(p) = D(p I -A)^-1B, u -> z.

H(p) – ф-ция, харак. влияние управления на измеряемую переменную y.

H(p) = C(p I -A)^-1B, u -> y.

P(p) – ф-ция, харак. влияние эталонной переменной на управление.

P(p) = F(p I -L)^-1 + H_r, r -> u.

G(p) – ф-ция, харак. влияние измеряемой переменной на управление.

G(p) = F(p I -L)^-1 *K_f + H_f, r -> u.

Это представление соотв-ет след. схеме (большими буквами изображения по Лапласу, т.е. U(p)=L[u(t)]):

 

P(p) Z(p)

	P(p)		K(p)

 

+ U(p)

_

 

V(p) Y(p)

 

 

Регулятор Объект

 

 

Эта схема отражает ур-ние (12) и соотв. ур-ния для вых. величин.

U(p)=P(p)R(p) - G(p)Y(p) = (I + G(p)H(p))^-1 P(p)R(p)

Z(p)=K(p)U(p) = K(p)(I + G(p)H(p))^-1 P(p)R(p)

Y(p)=H(p)U(p)

T(p) = K(p)(I + G(p)H(p))^-1 P(p) (23)

Z(p) = T(p) R(p) (24)

N(p) = [I + G(p)H(p)]^-1 P(p) (25)

U(p) = N(p) R(p) (26)

Видно, что матрицы N и T между собой тесно связаны, т.е. T(p) = K(p)*N(p).

Эти матрицы хар-ют влияние объекта и регулятора на установившиеся значения квадрата ошибки слежения C_l¥ и на уст. зн. квадрата вх. переменной C_u¥, поэтому при конструировании требуется только выбрать параметры этих матриц. Трудность – для различных требований к качеству изменения параметров диаметрально противоположны.

 

Полосы пропускания.

u, z, r, W_l = 1, W_u = 1 - скаляры. Тогда C_l¥ =lim(t->¥; C_l(t)) и C_n¥ =lim(t->¥; C_n(t)) дает след. рез-т для установившихся значений:

C_l¥ = Ro[T(0)-1]² + ò(-inf..+inf, S_r (w) |T(j w) – 1|² df) (28)

C_n¥ = Ro[N(0)]² + ò(-inf..+inf, S_r (w) |N(j w)|² df) (29)

Из (28) видно, что малые установившиеся значения ошибки S_r (w) |T(j w) – 1|² зависят от частотного состава вх. переменной и от |T(j w) – 1|², поэтому желательно выбирать частоту ф-ции так, чтобы S_r (w) |T(j w) – 1|² -> 0 (30)

, для всех действ. значений частот.

Если перем. составляющая эталонной величины r_v(t) = 0 (h₀ + r_v(t)), то целесообразно иметь

T(0) = 1.

Интеграл (28) зависит от w, причем обычно с ростом w ф-ция спектральной плотности S_r (w) уменьшается, поэтому сомножитель |T(j w) – 1| должен быть малым в той области частот, где S_r (w) велико. Отсюда понятия полосы частот эталонной переменной и полосы частот пропускания системы.

Опр. Пусть T(p) – скаляр. передат. ф-ция (в матр. случае – эл-т матр. передат. ф-ции) асимптотически устойчивой лин. системы с пост. параметрами. Тогда полоса частот системы управления опред. как мн-во частот w, (w >= 0), для кот. |T(j w) – 1| <= e, где e<<1.

Если полоса частот предст. интервал [w₁, w₂], то разность w₁ - w₂ явл. полосой пропускания системы управления. Если интервал имеет вид [0, w_c], то w_c наз-ся частотой среза. В обозначении частоты среза обычно исп-ся ошибка e. Если e=0.01, то говорят об однопроцентной частоте среза.

|T(j w) – 1|

 

1

 

 

e

 

 

w_c w

0

 

[0, w_c] – полоса пропускания системы управления.

Опр. Пусть r(t) – скал. стац. в широком смысле стохаст. процесс со спектр. плотностью S_r(w), тогда полоса частот S процесса r(t) опр-ся, как мн-во частот, для кот. вып-ся нер-во:

S_r (w)>= a.

Здесь a выбирается так, чтобы полоса частот W содержала заданную часть половины энергии процесса r(t).

ò(wÎOMEGA; S_r (w) df) = (1-e)*ò(w>0; S_r (w) df)

Если интервал имеет вид [0, w_c], то w_c наз-ся частотой среза процесса. Если e=0.01, то говорят об однопроцентной частоте среза и ò(wÎOMEGA; S_r (w) df) содержит 99% от половины энергии спектра.

Из (28) можно сформулировать след. принцип проектирования для стох. систем:

для получения малого сред. установившегося значения квадрата ошибки слежения необходимо, чтобы полоса пропускания системы управления содержала max возм. часть полосы пропускания эталон. переменной.

 

S_r(w) |T(j w) – 1|

 

 

1 3

 

 

e

 

 

0 t

 

1- полоса пропускания системы.

2- -//- перем. части эталон. сигнала.

3- зона несовпадения этих полос, кот. и обуславливает осн. долю ошибки слежения.

y(i+1)=e(i+1) x(i+1) (8)

Матрицы A и B вычисл. способом, кот. был изложен при рассмотрении решения ур-ния 5. В частности, если сист. стационарная, т.е. 5,6 имеют вид:

 

/x’(t)=Ax(t)+Bu(t)

\y(t)=Cx(t)

 

то матрицы Ф(t,to)=exp(A(t-to))*ò(Ф(t,tau)*B(tau)dtau=to..t)=ò(exp(A(t-to))*B dtau=to..t)

 

Решение разностных уравнений состояний.

 

Переход к разностным ур-ниям полезен еще и тем, что процедура их решения наглядней, чем дифференциальных.

Теорема 1.

Рассмотрим разностное ур-ние состояния.

x(i+1)=A(i)x(i)+B(i)U(i) (9)

Решение его м.б. представлено в виде:

x(i)=Ф(i,io)x(io)+S(j=io..i-1, Ф(i,j+1)B(j)U(j), j>=io+1 (10)

/ A(i-1)A(i-2)...A(io), при i>=j+1

Ф(i,io)={ (11)

\ I i=0

Переходная матрица A(i,io) явл. решением разностного ур-ния:

Ф(i+1,io)=A(i)Ф(i,io)

Ф(io,io)=I

Если сист. стац., то A(i)=A для всех i, то Ф(i,io)=A^i-io (13)

Пусть вых. перем. описывается ур-нием 8:

y(i)=C(i)x(i) (14)

и пусть

x(io)=0, то подставив 10 в 14.получим для вых. величины:

y(i)=S(j=io..i, K(i,j)U(j)), i>=io (15)

K(i,j) — матричная импульсная ф-ция системы.

 

K(i,j)= /C(j)Ф(i,j+1)B(j), j<=i-1

\0, j=i (16)

Если сист. стац., то K9i,j) будет зависеть только от i-j, т.е. K(i,j)->K(i-j)

Если сист. имеет прямую связь, т.е. ур-ние для вых. величин. имеет вид:

y(i)=C(i)x(i)+D(i)U(i) (17)

то

K(i,j)= / C(i)Ф(i,j+1)B(j), j<=i-1

\ D(j), j=i (18)

Если сист. с пост. параметрами, то для A^i-io можно провести диагонализацию и записать решение в виде композиции расходящихся при |lambda_j|>1, установившихся при |lambda_j|=1 и сходящихся при |lambda_j|<1.

|lambda_j| — собственные числа.

 

Устойчивость.

 

Все понятия сформулированные для непрерывных сист. переносятся и на дискретные сист.

Теорема 1.

Лин. дискрет. сист. с пост. параметрами устойчива в смысле Ляпунова тогда и только тогда, когда:

1) все характеристич. числа матрицы А имеют модуль не превышающий 1.

2) любому характеристич. числу с модулем 1 кратности m соответствует точно m собственных векторов матр. А.

Теорема 2.

Лин. дискр. сист. с пост. параметрами асимптотич. устойчива, тогда и только тогда, когда все характеристич. числа матр. А по модулю <1.

 

Задача построения линейного дискретного оптимального регулятора.

 

Рассмотрим дискр. сист., описав след. образом:

 

/x(i+1)A(i)x(i)+B(i)U(i)+D(i)W(i)

\y(i+1)=C(i+1)x(i+1) (1)

W(i) — возмущение.

Рассмотрим в начале задачу управления состояниями:

x E Rⁿ, u E R^r, w E Rⁿ,

Найти управление переводящее сист. из начального сост. хо заданного нами, в конечное сост. x(N) за N шагов. Мв можем выбирать управление, исходя из различных требований. Наиб. простое решение получается, если использовать квадратичный критерий качества J_N:

J_N=S(i=1..N, {x^T(i)V₁(i)x(i)+U^T(i-1)V₂(i-1)U(i-1)} (2)

удем искать управление так, чтобы этот критерий минимизировать.

U(i)=mu_i(x’(i))

x’(i) — расширенный вектор-столбец, составл. из всех (x(0))

x’(i)= |.. | (x(N))

V1, V2 — симметрические весовые матрицы.

Для простоты будем считать их диагональными, тогда смысл слагаемых в критерии 2 становится ясным:

S(j=1..n, x_jV_jjx_j)= S(j=1..n, V_jjx²_j)

x_j — отклонение состояний от их желаемых значений.

Тогда 1-е выр-ние в 2 дает сумму квадратов отклонений сост. сист.

По аналогии 2-е слагаемое м.б. записано в виде:

S(j=1..n, u_jV2_jju_j)= S(j=1..n, V2_jju²_j) — сумма квадратов взвешенных управлений.

Целесобразно управление выбирать так, чтобы J_N-> min за счет U(i)/

В данном сл. этих управлений будет N с r неизвестными компонентами.

исключая тривиальные случаи(когда N->0 и r->0) размерность этой сист. будет велика и решать ее будет сложно.

Пошаговое решение этой задачи реализуется с использованием динамич. программирования, кот. было предложено Бэуманом и базируется на след. принципе оптимальности:

при любом нач. сост. и оптимальном нач. управлении последующее управление должно быть оптимальным относитльно состояния, возникщего в рез-те нач. управления.

Этот принцип позволяет решать задачу опт. управления по шагам в обратном порядке. Делается предположение, что в (n-1) точку мы пришли оптимально.

Пусть J’_N=min J_N

u

J_N=min...min S(i=1..N, {x^T(i)V₁(i)x(i)+U^T(i-1)V₂(i-1)U(i-1)} (4)

u(0) u(N-1)

(отражает критерий n-шагового упраления).

Принцип оптимальности: мы иожеи не сразу найти все U, а определить вначале последнее управление U(N-1).

Рассмотрим задачу одношагового управления,. кот. совпадает с решением задачи определения U(N-1) при N-шаговом управлении.

Обозначим J₁={x^T(i)V₁(i)x(i)+U^T(i-1)V₂(i-1)U(i-1)} (5)

на N-1 шаге подставим в 5 значение состоянийв соотв. с моделью 1.

Т. к. в 1 векторы U и W входят одинаковым образом, то для краткости письма W опустим:

x(i+1)=A(i)x(i)+B(i)u(i)

тогда

J₁={x^TA^Tv₁Ax+x^TA^Tv₁Bu+u^TB^Tv₁Ax+u^TB^Tv₁Bu+u^Tv₂u}={x^TA^Tv₁Ax+2x^TA^Tv₁Bu+u^T(B^Tv₁B+v₂)u}

Чтобы значение критерия было оптимально мы можем использовать известные из анализа рез-ты J₁=J₁(u(N-1))

dJ₁/du(N-1)=0

В рез-те дифференцирования мы получим след. выражение:

dJ₁/du=2x^TA_Tv₁B+2u^T(B^Tv₁B+v2)=0

u(N-1)=-(B^T(N-1)v₁(N-1)B(N-1)+v₂(N-1))^-1B^T(N-1)v₁(N-1)A(N-1)x(N-1) (6)

Это оптимальное в сысле 5 управление.

u(N-1)=S(N-1)x(N-1) (7)

S=-{B^T(N-1)v¹(N-1)B(N-1)+v₂(N-1)}^-1B^T(N-1)v₁(N-1)A(N-1) (8)

8 — оптимальный регулятор — матрица обратной связи.

Если управление одношаговое x(0)->x(1), то наша сист. построенная в соответствии с регулятором 8, обеспечивает решение данной залачи.

Если подставим в 7 и 8:

u(0)=S(0)x(0)

S(0)=-{B^T(N-1)v₁(N-1)B(n-1)+v₂(N-1)}^-1 (?)

Если ур-ние (?) подставить в 1, то мы получим требуемое значение x(1). Если бымы при подстановке выражения критерия J₁ подставляли ур-ния системы без сокращения W(i), то в рез-те перемножения x^T(N-1)v₁(N-1)x(N-1), из кот. 2 содержащие произведение W на U и сохранились бы после взятия производных и матр. ОС приняла бы вид:

S’(N-1)=-{B^T(N-1)v₁(N-1)B(N-1)+v₂(N-1)}^-1*[B^T(N-1)v₁(N-1)A(N-1)+B^T(N-1)v₁(N-1)D(N-1)]

U(N-1)=S₁(N-1)x(N-1)+S₂(N-1)W(N-1) (9)

S₁ — совпадает с S(N-1) в ф-ле 7,

S₂(N-1)=-{..}-1*[B^T(N-1)v₁(N-1)D(N-1)] (10)

В (9) два слагаемых, которые определяют управление по отклонению x и возмущению w.

блок зад.

об-кт 1

S2(N-1)

x(N)

блок задержки

 

x(N-1)

S1(N-1)

 

 

(все стрелки двойные)

 

Если решается общая задача отыскания N-шагового управления, то нужно сделать следущее: подставить управление по (7) в (???) и вычислить значение этого критерия, затем найденное значение состояния в (N-1) момент в соответствии с найденным управлением подставляется в модель и находится выражение состояния для (N-2) момент и для критерия оптимальности на управление U(N-1) и U(N-2). Благодаря принципу Бэумана и применению динамического??? получается рекуррентная формула для вычисления управления и критерия оптимальности на шагах от (N-1) до 0.