Проверка статистических гипотез. Проверка гипотез о значении дисперсии

Статистическая гипотеза. Нулевая гипотеза. Конкурирующая гипотеза. Критическая область: левосторонняя, правосторонняя, двусторонняя. Критерии проверки гипотез о значении дисперсии.

Задачи для самостоятельного решения:

 

1) По данным двух выборок проверить гипотезу об однородности дисперсий

 

хi
ni

 

хi
ni

 

 

2) По данным двух выборок проверить гипотезу об однородности дисперсий

 

хi	12,4	16,4	20,4	24,4	28,4	32,4	36,4
ni

 

хi	12,4	16,4	20,4	24,4	28,4	32,4
ni

 

3) По данным двух выборок проверить гипотезу об однородности дисперсий

 

хi
ni

 

хi
ni

 

4) По данным двух выборок проверить гипотезу об однородности дисперсий

 

хi
ni

 

хi
ni

 

 

5) По данным двух выборок проверить гипотезу об однородности дисперсий

 

хi	10,2	10,9	11,6	12,3		13,7	14,4
ni

 

хi	10,2	10,9	11,6	12,3		13,7
ni

 

6. На двух станках производят одну и туже продукцию, контролируемую по наружному диаметру изделия. Из продукции станка А было проверено 16 изделий, а из продукции станка В – 25 изделий. Выборочные оценки математических ожиданий и дисперсий контролируемых размеров составили s_A²=1,21, s_B²=1,44. Проверить гипотезу о равенстве дисперсий при уровне значимости α=0.1.

 

7. Точность работы станка проверяется по дисперсии контролируемого размера изделий, которая не должна превышать 0,1. Взята проба из 25 случайно отобранных изделий, причем получено, что выборочная дисперсия контролируемого размера равна 0.2. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить, обеспечивает ли станок необходимую точность.

 

8. Четыре исследователя параллельно определяют процентное содержание углерода в сплаве, причем первый исследователь произвел анализ 25 проб, второй 33, третий – 29, четвертый – 33 проб. Исправленные выборочные средние квадратические отклонения оказались соответственно равными 0,05; 0,07; 0,10; 0,08. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу об однородности дисперсий в предположении, что процентное содержание углерода в сплаве распределено нормально.

 

9. 4 фасовочных автомата настроены на отвешивание одного и того же веса. На каждом автомате отвесили по 10 проб, а затем эти же пробы взвесили на точных весах и нашли по полученным отклонениям исправленные дисперсии: 0,012; 0,021; 0,025; 0,032. Можно ли при уровне значимости 0,05 считать, что автоматы обеспечивают одинаковую точность взвешивания?

 

Занятие 4

Критерии согласия. Критерии согласия для корреляционных показателей. Критерии согласия относительно долей

Критерии согласия для корреляционных показателей. Критерии согласия относительно долей

Критерии согласия. Проверка гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции. Критерии согласия относительно долей.

Таблица 4.1 - Критерии согласия для корреляционных показателей. Критерии согласия относительно долей

1) 2) 3)	(по таблице Лапласа) 1) 2) 3)	1) принимаем Н0 2) принимаем Н0 3) принимаем Н0
1) 2) 3) (Биномиальные распределения)	(по таблице Лапласа) 1) 2) 3)	1) принимаем Н0 2) принимаем Н0 3) принимаем Н0
	Распределение Стьюдента с k степенями свободы , k=n-2	принимаем Н0

Критерий корреляции Пирсона позволяет определить, какова теснота (или сила) корреляционной связи между двумя показателями, измеренными в количественной шкале. При помощи дополнительных расчетов можно также определить, насколько статистически значима выявленная связь.

1. Сопоставляемые показатели должны быть измерены в количественной шкале.

2. Посредством критерия корреляции Пирсона можно определить лишь наличие и силу линейной взаимосвязи между величинами. Прочие характеристики связи, в том числе направление (прямая или обратная), характер изменений (прямолинейный или криволинейный), а также наличие зависимости одной переменной от другой - определяются при помощи регрессионного анализа.

3. Количество сопоставляемых величин должно быть равно двум. В случае анализ взаимосвязи трех и более параметров следует воспользоваться методом факторного анализа.

4. Критерий корреляции Пирсона является параметрическим, в связи с чем условием его применения служит нормальное распределение сопоставляемых переменных. В случае необходимости корреляционного анализа показателей, распределение которых отличается от нормального, в том числе измеренных в порядковой шкале, следует использовать коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

5. Следует четко различать понятия зависимости и корреляции. Зависимость величин обуславливает наличие корреляционной связи между ними, но не наоборот.

Расчет коэффициента корреляции Пирсона производится по следующей формуле:

Значения коэффициента корреляции Пирсона интерпретируются исходя из его абсолютных значений. Возможные значения коэффициента корреляции варьируют от 0 до ±1. Чем больше абсолютное значение r_xy – тем выше теснота связи между двумя величинами. r_xy = 0 говорит о полном отсутствии связи. r_xy = 1 – свидетельствует о наличии абсолютной (функциональной) связи. Если значение критерия корреляции Пирсона оказалось больше 1 или меньше -1 – в расчетах допущена ошибка.

Для оценки тесноты, или силы, корреляционной связи обычно используют общепринятые критерии, согласно которым абсолютные значения r_xy < 0.3 свидетельствуют о слабой связи, значения r_xy от 0.3 до 0.7 - о связи средней тесноты, значения r_xy > 0.7 - о сильной связи.

Более точную оценку силы корреляционной связи можно получить, если воспользоваться таблицей Чеддока:

Абсолютное значение rxy	Теснота (сила) корреляционной связи
менее 0.3	слабая
от 0.3 до 0.5	умеренная
от 0.5 до 0.7	заметная
от 0.7 до 0.9	высокая
более 0.9	весьма высокая

Оценка статистической значимости коэффициента корреляции r_xy осуществляется при помощи t-критерия, рассчитываемого по следующей формуле:

Полученное значение t_r сравнивается с критическим значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы n-2. Если t_r превышает t_крит, то делается вывод о статистической значимости выявленной корреляционной связи.

Пример 4.1

Целью исследования явилось выявление, определение тесноты и статистической значимости корреляционной связи между двумя количественными показателями: уровнем тестостерона в крови (X) и процентом мышечной массы в теле (Y). Исходные данные для выборки, состоящей из 5 исследуемых (n = 5), сведены в таблице:

N
X
Y

 

1. Вычислим суммы анализируемых значений X и Y:

Σ(X) = 951 + 874 + 957 + 1084 + 903 = 4769

Σ(Y) = 83 + 76 + 84 + 89 + 79 = 441

2. Найдем средние арифметические для X и Y:

M_x = Σ(X) / n = 4769 / 5 = 953.8

M_y = Σ(Y) / n = 441 / 5 = 82.2

3. Определим значения суммы квадратов отклонений Σ(d_x²) и Σ(d_y²):

Σ(d_x²) = 25918.8

Σ(d_y²) = 98.8

4. Найдем значение суммы произведений отклонений Σ(d_x x d_y):

Σ(d_x x d_y) = 1546.2

5. Рассчитаем значение коэффициента корреляции Пирсона r_xy по приведенной выше формуле:

6. Найдем значение t-критерия для оценки статистической значимости корреляционной связи:

Критическое значение t-критерия найдем по таблице, где при числе степеней свободы f = n-2 = 3 и уровне значимости p = 0.01 значение t_крит = 5.84. Рассчитанное значение t_r (7.0) больше t_крит (5.84), следовательно связь является статистически значимой.

7. Сделаем статистический вывод:

Значение коэффициента корреляции Пирсона составило 0.97, что соответствует весьма высокой тесноте связи между уровнем тестостерона в крови и процентом мышечной массы. Данная корреляционная связь является статистически значимой (p<0.01).

 

Занятие 5

Критерии согласия. Критерии однородности выборок

§ 6. Критерий согласия Пирсона . Критерий Вилкоксона однородности выборок