Тема 3. Функции одной переменной

I. Математический анализ

Тема 1. Множества

1. Понятия множества, подмножества. Множества конечные и бесконечные. Пустое множество. Мощность множества.

2. Числовые множества. Операции над множествами (объединение, пересечение, дополнение, декартово произведение) и их свойства.

3. Границы множества. Открытые и замкнутые множества. Понятие окрестности точки.

 

Тема 2. Последовательности

4. Понятие последовательности. Числовые последовательности и их свойства. Операции над последовательностями.

5. Ограниченность и монотонность числовой последовательности.

6. Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах суммы, произведения, частного последовательностей.

7. Предел числовой последовательности. Сходимость последовательности. Необходимое условие сходимости последовательности.

8. Достаточное условие сходимости последовательности (теорема Вейерштрасса). Теорема о единственности предела сходящейся последовательности.

9. Числовая последовательность. Примеры числовых последовательностей — арифметическая и геометрическая прогрессии. Определение общего члена и суммы n–первых членов прогрессий.

 

Тема 3. Функции одной переменной

10. Понятие функции одной переменной. Область определения и область значений функции. Числовые функции.

11. Элементарные функции, их свойства и графики. Способы задания функции.

12. Ограниченность и монотонность функций.

13. Бесконечно малые и бесконечно большие величины и их свойства.

14. Предел функции на бесконечности и в точке. Правила вычисления пределов.

15. Непрерывность функции в точке и на множестве. Непрерывность суммы, произведения и частного непрерывных функций; непрерывность сложной функции.

16. Точка разрыва функции; классификация точек разрыва.

17. Основные свойства непрерывных функций на отрезке: теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях функции; теорема о существовании корня; теорема о промежуточном значении функции, теорема об ограниченности функции.

 

Тема 6. Функции нескольких переменных

37. Понятие функции нескольких переменных. График функции двух переменных. Линии уровня функции двух переменных.

38. Полное и частные приращения функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции.

39. Частные производные первого и второго порядка функции нескольких переменных, их определения и правила вычисления.

40. Дифференциал функции нескольких переменных. Достаточное условие дифференцируемости функции.

41. Необходимое условие существования полного дифференциала функции двух переменных.

42. Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточные условия экстремума функции двух переменных.

43. Глобальный экстремум функции; теорема Вейерштрасса.

44. Метод наименьших квадратов; построение эмпирических формул способом наименьших квадратов (линейная и показательная зависимости).

 

II. Линейная алгебра

Тема 8. Векторный анализ

61. Понятие п -мерного вектора. Линейные операции над векторами. Свойства линейных операций.

62. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения векторов.

63. Ортогональные векторы.

64. Линейная комбинация и линейная зависимость векторов.

65. п – мерное линейное векторное пространство. Метрика линейного пространства.

66. Размерность и базис линейного пространства. Разложение вектора по базису. Единичный базис.

67. Евклидово векторное пространство.

 

Тема 9. Система п линейных уравнений с п неизвестными

68. Векторная форма записи системы линейных уравнений.

69. Решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса.

Тема 11. Линейные операторы

88. Линейные операторы, действия над ними. Матрица линейного оператора.

89. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

90. Квадратичные формы. Квадратичная форма канонического вида. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы.

 

Ш. Задачи оптимизации

Тема 13. Классические методы оптимизации

100. Общая постановка задачи оптимизации.

101. Классическая задача на условный экстремум. Необходимое и достаточные условия условного экстремума.

102. Метод множителей Лагранжа для решения классической задачи на условный экстремум.

 

Тема 18. Основные понятия теории вероятностей

129. Понятия испытания и случайного события. Частота и относительная частота появления события в серии испытаний. Вероятность случайного события.

130. Совместные и несовместные события. Полная группа событий. Событие, благоприятствующее данному. Равновозможные события. Совокупность элементарных исходов.

131. Классическое определение вероятности. Простейшие свойства вероятности.

132. Основные правила комбинаторики. Сочетания, перестановки, размещения.

133. Частота и относительная частота появления события в серии испытаний. Стохастическая устойчивость случайного события. Статистическое определение вероятности.

 

Тема 24. Выборочный метод

155. Выборочный метод. Задачи математической статистики.

156. Генеральная совокупность и выборка. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка.

157. Варианты, частоты и относительные частоты. Дискретный вариационный ряд.

158. Частота и относительная частота, соответствующие заданному интервалу. Интервальный вариационный ряд.

159. Гистограмма и полигон.

160. Накопленные относительные частоты. Эмпирическая функция распределения. Кумулята.

161. Числовые характеристики выборки (выборочная средняя, выборочная дисперсия, выборочное стандартное отклонение).

 

I. Математический анализ

Тема 1. Множества

1. Понятия множества, подмножества. Множества конечные и бесконечные. Пустое множество. Мощность множества.

2. Числовые множества. Операции над множествами (объединение, пересечение, дополнение, декартово произведение) и их свойства.

3. Границы множества. Открытые и замкнутые множества. Понятие окрестности точки.

 

Тема 2. Последовательности

4. Понятие последовательности. Числовые последовательности и их свойства. Операции над последовательностями.

5. Ограниченность и монотонность числовой последовательности.

6. Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах суммы, произведения, частного последовательностей.

7. Предел числовой последовательности. Сходимость последовательности. Необходимое условие сходимости последовательности.

8. Достаточное условие сходимости последовательности (теорема Вейерштрасса). Теорема о единственности предела сходящейся последовательности.

9. Числовая последовательность. Примеры числовых последовательностей — арифметическая и геометрическая прогрессии. Определение общего члена и суммы n–первых членов прогрессий.

 

Тема 3. Функции одной переменной

10. Понятие функции одной переменной. Область определения и область значений функции. Числовые функции.

11. Элементарные функции, их свойства и графики. Способы задания функции.

12. Ограниченность и монотонность функций.

13. Бесконечно малые и бесконечно большие величины и их свойства.

14. Предел функции на бесконечности и в точке. Правила вычисления пределов.

15. Непрерывность функции в точке и на множестве. Непрерывность суммы, произведения и частного непрерывных функций; непрерывность сложной функции.

16. Точка разрыва функции; классификация точек разрыва.

17. Основные свойства непрерывных функций на отрезке: теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях функции; теорема о существовании корня; теорема о промежуточном значении функции, теорема об ограниченности функции.