Количественное значение одной единицы разряда называется весом разряда.

Численно вес разряда определяется через основание Е системы счисления и номер i разряда: Еⁱ. Так в десятичной системе вес i-го разряда равен 10ⁱ, а в двоичной - 2ⁱ.

Понятие веса разряда позволяет легко перейти от двоичного числа к десятичному с помощью полинома вида:

N₁₀ = X_n2ⁿ + X_n-12^n-1 +...+ X₀2⁰,
где Х_i - значение i-го разряда (0 или 1).

Так для числа 10010₂ получаем: 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ = 18₁₀.

 

Обратный переход производится путём последовательного деления десятичного числа на 2 (основание системы счисления) до тех пор, пока частное не окажется меньше 2.

Правило преобразования покажем на примере десятичного числа 29.

Остаток от первого деления заносится в

1 1 1 0 1 29:2=14:2=7:2=3:2=1 младший разряд двоичного числа. Т.к. ча-

281462 стное больше 2, то деление продолжается.

1 0 1 1 Остаток второго деления заносится в сле-

дующий более старший разряд и т.д. На-

конец, последнее частное, меньшее основа-ния системы счисления, заносится в старший разряд двоичного числа.

 

В реальных системах и устройствах длина двоичных чисел ограничена разрядной сеткой.

Разрядной сеткой называется общее число разрядов, отведённых в данной системе или устройстве для представления двоичных чисел.

Разрядная сетка определяется по формуле: n=ù log₂(M_max + 1)é,

где M_max - наибольшее из диапазона десятичных чисел, которые могут быть обработаны данной системой или устройством. Односторонние скобки означают, что результат вычисления следует округлить до ближайшего наибольшего целого. Например, результат 2.01 следует округлить до 3.

Обратно, при заданной разрядной сетке n, верхняя граница диапазона десятичных чисел определяется по формуле: M_max = 2ⁿ -1.

Общее же количество десятичных чисел, которые можно представить с помощью n двоичных разрядов, определяется формулой: M = 2ⁿ.

 

Кроме двоичной в цифровой технике используются 8- и 16-ричная системы счисления. Введены они только из соображений удобства записи программ и то лишь на языках низкого уровня (машинном - языке нулей и единиц, или Ассемблера), а потому являются вспомогательными.

Алфавит 8-ричной системы счисления состоит из восьми арабских цифр от 0 до 7.

Алфавит 16-ричной системы счисления состоит из 10 арабских цифр от 0 до 9 и шести латинских букв: A-10, B-11, C-12, D-13, E-14, F-15.

Переход от 8- и 16-ричных чисел к десятичным и обратно аналогичен случаю двоичных чисел, но с учётом того, что основанием данных систем счисления является не 2, а 8 и 16, соответственно.

 

Переход от двоичных чисел к 8-ричным производится по следующему правилу. Двоичное число, начиная с младших разрядов, разбивается на

011100101₂ триады (тройки символов). Если длина числа не кратна

трём, то оно дополняется старшими нулевыми разряда-

345₈ ми. Каждая триада записывается символами 8-ричного

Алфавита.

011110100101₂ При переходе к 16-ричным числам двоичное число

разбивается на тетрады (четвёрки символов), каждая

7А5₁₆ из которых записывается символами 16-ричного алфа-

Вита.

К сожалению, не существует явных алгоритмов перевода чисел из 8- в 16- ричную систему счисления и обратно. Поэтому в этих случаях используется

710₈ В3С1₁₆ промежуточное двоичное

000111001000₂ 001011001111000001₂ представление: исходное

1С8₁₆ 131701₈ число переводится в двоичное, а затем по выше приведённому правилу - в искомое.

 

1.3. Формы представления двоичных чисел.

Чтобы обмен информацией между отдельными устройствами и системами стал возможен, необходимо выполнить как минимум два условия.

Во-первых, кодовые слова должны быть одинаковой длинны, иначе говоря - одинаковой разрядности. Действительно, во времени кодовые слова передаются непрерывно друг за другом и при различной длине сложно установить границу между ними. При одинаковой же длине для этого достаточно всего лишь каждый раз отсчитывать известное число разрядов.

Во-вторых, должно быть установлено определённое правило записи чисел в разрядной сетке. Это даёт возможность определить, например, положение старшего и младшего разрядов в изображении числа.